初中数学统计与概率模块9-2概率讲义（含答案解析）

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1、概率题型练题型一随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件,其中，必然事件发生的概率为1,即P（必然事件）=1;不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0;如果4为不确定事件（随机事件），那么0尸（Z）0D.角平分线上的点到角的两边的距离相等解：4、可能会出现两正，两反或一正一反或一反一正等4种情况，故错误，不合题意；8、x应取不等于0的数

2、，故错误，不合题意；C、取一个实数a,|a|20,故错误，不合题意；。、正确，属于必然事件，符合题意.故选：D变式1工.“一个不透明的袋中装有三个球，分 别 标 有1,2,x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可 能 是（）A.4 S.5 C.6 P.7【答 案】A【解析】【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可.【详解】解：根据题意可得，X 的值可能为4.如果是5、7、6,那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背.故选：A.【点睛】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性

3、是正确解答的关键.题型二可能性的大小随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算.（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.例 2.在一个不透明的袋子中装

4、有2个红球、5个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同.从中任意摸出1个球，摸到 色的球的可能性最大.（填“红”、“白”或“黑”）【解析】解：在袋子中，白球个数最多,球.故答案为：白变 式 22.不透明的袋子中装有10个黑球、袋子中摸出一个球，则（）A.这个球一定是黑球C.这个球可能是白球所以从袋子中任意摸出一个球，可能性最大的是白1 个白球，它们除颜色外无其它差别，随机从B.事先能确定摸到什么颜色的球D.摸到黑球、白球的可能性大小一样【答案】C【解析】【详解】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小.摸到黑球的可能性是；摸到白球

5、的可能性是,故选C.题型三等可能事件(1)定义：对于有些随机试验来说，每次试验只可能出现有限个不同的试验结果，再出现所有这些不同结果的可能性是相等的.(2)等可能事件概率的计算方法尸(A)=，所包含的基本事件数加基本事件的总数例 33.五张不透明的卡片，正面分别写有实数-1,A，V9 5.06006000600006(相邻两个6 之间0 的个数依次加1).这五张卡片除正面的数不同外其余都相同,将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是()1 2 人 3 4A.-B.C.-D.一5 5 5 5【答案】8【解析】【分析】通过有理数和无理数的概念判断，然后利用概率计算公

6、式计算即可.【详解】有理数有:-1,5无理数有：4 1，5.06006000600006.；2则取到的卡片正面的数是无理数的概率是，故选：B.【点睛】本题主要考查了有理数、无理数的概念和简单概率计算，先判断后计算概率即可.变式34.一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次，朝上的面的数字小于3的概率为.【答案】【解 析】【分 析】根据概率公式直接求解即可.【详 解】:共6个数字，其 中 小 于3的 数 有2个7 1投掷一次，朝上的面的数字小于3的概率为擀二.故答案为：【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键.题型四概率的意义fn（1）一般地

7、，在大量重复实验中，如果事件/发生的频率,会稳定在某个常数夕附近，M那么这个常数,就叫做事件N的概率，记为P（N）=p.（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现.（3）概率取值范围：OWpWl（4）必然发生的事件的概率尸CA）=1；不可能发生事件的概率尸（A）=0（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于0（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可

8、以解决一些实际问题.例 4.某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正 面 朝 上 的 概 率 为.【解析】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：-.2故答案为：-.2变 式4S.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为g,遇到黄灯的概率为:，那么他遇 到 绿 灯 的 概 率 为.【答案】|【解析】【分析】【详解】试题分析：.经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，.在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1,.在路

9、口遇到红灯的概率为:，遇到黄灯的概率为g,遇到绿灯的概率为1 1 3=j考点：概率的意义点评：此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有八种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现侬种结果，那么事件A的概率P Q)=丝n题 型 五 概 率 公 式(1)随机事件/的概率尸(A)=事件N 可能出现的结果数所有可能出现的结果数(2)P(必然事件)=1(3)P(不可能事件)=0例5 1个暗箱里装有5个黑球，3个白球，2个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸 到 红 球 的 概 率 是.解：从中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中摸到红球的有2种结果,2 1.摸到

10、红球的概率是一=一.10 5故答案为：.变 式66.在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为:，那么盒子内 白 色 乒 乓 球 的 个 数 为.【答 案】4【解 析】【分析】先求出盒子内乒乓球的总个数，然后用总个数减去黄色乒乓球个数得到白色乒乓球的个数.【详 解】解：盒 子 内 乒 乓 球 的 总 个 数 为=6（个），白色乒乓球的个数6-2=4（个），故 答 案 为4.【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的 概 率P（A）=事 件A可能出现的结果数千所有可能出现的结果数.题型六几何概率所谓

11、几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G,又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M,假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的 度 量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型.关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投 掷 一 个 点 点 用 落 在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比,即P=g的测度G的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积比,体积比等

12、.例 67.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上.如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（)9 9 5【答案】8【解 析】【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值.4【详解】解：观察这个图可知：黑 砖（4块）的 面 积 占 总 面 积（9块）的.小 球4最终停留在黑砖上的概率是故选：B.【点睛】本题考查概率的简单计算，正确使用公式是关键.变 式6.8.欧 阳 修 的 卖油翁中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.

13、若 铜 钱 是 直 径 为3 c m的圆面，中 间 有 边 长 为1 c m的正方形孔.现随机向铜钱上滴一 滴 油（油滴的大小忽略不计），那么油滴落入孔中的概率为.【答 案】三49万【解 析】【分析】分别求出铜钱和中间正方形孔对的面积，然后利用儿何概率计算.3 9 7 r【详 解】解：正 方 形=1,s 1sli=（万x不二彳-,1 _ 4P=9兀 9兀 T4故答案为：.9万【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是：能分别求出满足基本事件和总的基本事件的“儿何度量”，最后代入公式求解.题 型 七 列 表 法 与 树 状 图 法(1)当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表

14、的方式，列出所有可能的结果，再求出概率.(2)列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件”或8的结果数目加，求出概率.(3)列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.(4)树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果.(5)当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.例7:某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出

15、一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是一.解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：生小明小东小聪小红小明小红小东小红小聪小红小慧小明小慧小东小慧小聪小慧共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种,(小聪和小慧)=.6故答案为：一.6变 式7q.在一个不透明的口袋中，装 有A,B,C,D 4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是.【答案】4【解 析】【详解】试题分析：画树状图如下：开始考点：列表法与树状图法；概率公式.题 型 八 概 率 的 应 用（游 戏 公 平 性）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，

16、然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.例89甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和 为7”算甲赢，掷出”和为8”算乙赢，这个游戏是否公平？（）A.公平 B.对甲有利 C.对乙公平 D.不能判断【答案】13【解 析】【分 析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有5 0%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的概率是否相等，求 出概率比较，即可得出结论.【详解】两骰子上的数字之和是7的 有3+4=7；4+3=7,2+5=7；5+2=7,1+6=7；6+1=7共6种情况，和 为8的 有2+6=8；6+2=8,3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，甲赢的概率大

17、，故选：B.【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.变 式8i l.甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（）A.游戏的规则由甲方确定B.游戏的规则由乙方确定C.游戏的规则由甲乙双方商定D.游戏双方要各有5 0%赢的机会【答案】D【解析】【分析】根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有5 0%赢的机会.【详解】根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有5 0%赢的机会，AA.游戏的规则由甲方确定，故此选项错误；B.游戏的规则由乙方确定，故此选项错误；C.游

18、戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误；D.游戏双方要各有5 0%赢的机会，故此选项正确.故选D【点睛】此题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平.题 型 九 概率的 应 用（转盘与抽奖）利用几何概率的计算方法进行计算.例 9工 2.二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为2 4 份，每 1 5 度就是一个节气，统称“二十四节气”.这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”.如 图，指针落在惊蛰、春分、清 明 区 域 的 概 率 是.【答案】IO【解析】【分

19、析】首先由图可得此转盘被平分成了 24等份，其中惊蛰、春分、清明区域有3份，然后利用概率公式求解即可求得答案.【详解】如图，此转盘被平分成了 24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份，3 1.指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：三=：.24 8故答案为。O【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比.变 式91 3.超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会.摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元.一次性购物满300元者，如果不摇奖可返还现金15元.（1）摇奖一次，获一等奖的概率是多

20、少？（2）老李一次性购物满了 300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算，请你帮他算算.【答案】（1），（2）参与摇奖划算，见解析.【解析】【分析】（1）找到红色区域的份数占总份数的多少即为获得一等奖的概率，（2）游戏是否合算，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.【详解】解：（1）整个圆周被分成了 16份，红色为1份，.获 得一等奖的概率为：1记，1 2 4(2)转转盘：6 0 x +5 0 x +4 0 x =2 0,1 6 1 6 1 6.,2 0 元1 5 元，转转盘划算.【点睛】本题主

21、要考查了古典型概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的m可能性相同，其 中 事 件A出 现m种结果，那 么 事 件A的 概 率P(A)=,难度适n中.题 型 十 利 用 频 率 估 计 概 率(I)大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.(2)用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.(3)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.例1014.已知不透明的袋中只装有黑、白两种

22、球，这些球除颜色外都相同，其中白球有3 0个，黑 球 有 个.随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀,再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的 值 约 为()A.2 0 B.3 0 C.4 0 D.5 0【答 案】A【解析】【详解】分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n.n详解：根据题意得：=一=0.4,计算得出：n=2 0,故 选A.点睛：根据概率的求法，找准两点:全部情况的总数;符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.变 式101 5 .在“抛掷正六面体

23、”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数 字“6”朝上的频率的变化 趋 势 接 近 的 值 是.【答案】76【解析】【分析】随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率.【详解】解：如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近6故答案为：y.6【点睛】实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率.实战练1 6 .从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（）1 1 2A.-B.-C.-D.15 3 3【答案】C【解析】【分析】让 2除以总人数即为所求的可能性.【详解】选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲

24、，丙；乙，丙；三种情况.故甲被选中的可能性是;.3故选C.【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.1 7.掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是（）A.必有3次正面朝上C.至少有1 次正面朝上B,可能有3次正面朝上D.不可能有6次正面朝上【答案】B【解析】【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案.【详解】解：掷硬币问题，正、反面朝上的次数属于随机事件，不是确定事件，故A,C,D错误.故选：B.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生

25、的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.1 8.已知一组数据：10,8,6,10,8,13,11,12,10,10,7,9,8,12,9,11,12,9,10,1 1,则频率为0.2的范围是（）A.67 B.10-11 C.89 D.12-13【答案】P【解析】【分析】分别计算出各组的频数，再除以20即可求得各组的频率，看谁的频率等于0.2.【详解】A 中,其频率=2+20=0.1 ；B 中，其频率=6+20=0.3；C 中，其频率=8+20=0.4；D 中，其频率=4+20=0.2.故选D.【点睛】首先数出数据的

26、总数，然后数出各个小组内的数据个数，即频数.根据频率=频数+总数进行计算.1 9.在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.7 5,则袋中白球有（）A.5 个 B.15 个 C.20 个 D.35 个【答案】A【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意得：解得：x=5,经检验：x=5是分式方程的解，故袋中白球有5个.故选A.【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，

27、利用如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=：是解题关键.2。正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正【答案】8【解析】【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值即可解决问题;【详解】.由图可知，黑色方砖2块，共有9块方砖，2,黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值=,米粒停在黑色区域的概率是2.9故选B.【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率.2 1.一个布袋里装有

28、2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是自理的概率为（）13 17A.B.C.-D.2 1 0 5 1 0【答案】A【解析】【分析】根据概率公式解答即可.【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共1 0 个球，从中摸出一个球是白球的概率为：盘=工1 0 2故选A.【点睛】本题考查了随机事件概率的求法.如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=n2 2.将分别标有“学”“习”强”国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出

29、一球，两次摸的球上的汉字组成“强国”的概率是（）A.-B.-C.-D.一8 6 4 2【答案】B【解析】【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“强国”的情况数，即可求出所求的概率.【详解】解：列表得：学习强国学学习学强学 同习习学习强习国强强学强习强国国W学国习国强1 2种可能的结果中，能组成“强国”有2种可能，共2种，,两次摸出的球上的汉字能组成“强国”的概率为，6故选：B.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.23.甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子（

30、每个面分别标有1,2,3,4,5,6这六个数字），如果朝上的数字大于3,则甲获胜，如果朝上的数字小于3,则乙获胜，你 认 为 获 胜 的 可 能 性 比 较 大 的 是.【答案】甲【解析】3 1【详解】1 2 3,4,5,6这六个数字中大于3的数字有3个:4,5,6,；.P（甲获胜）=乙=彳,6 22 1.1,2,3,4,5,6这六个数字中小于3的数字有2个:1,2,.P （乙获胜）6 3 /:,获胜的可能性比较大的是甲，故答案为:甲.24.根据你的经验，（1）分别写出下列事件发生的机会，用编号A、B、C把这些事件发生的机会在直线上表示出来.0 3 14 2 44在一个不透明的袋中装有红球3个

31、，白球2个，黑 球1个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出1个球，取 到 红 球 的 机 会 是;B、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为7的机会是；C、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是【答案】.。.0 .；24【解析】【分析】根据随机事件可能性大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数.二者的比值就是其发生的可能性大小.故可分别求出其概率【详解】解：A、袋中装有6 个球，其中红球3个故随机地从袋中取出1 个球，取3到红球的机会是:=162B、一枚普通正方体骰子，上没有7 点，故出现的点数为7 是不可能事件，故概率为 0;C、投掷两枚普通硬币，有 4 种情况；

32、出现两个正面只有一种情况，故其出现的机会是；在直线上表示如图所示.故答案为：y;0；.B C 4o 2 1 2 14 2 4【点睛】此题主要考查概率的求解，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.2 5.在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有3个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1 个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2 5 左右，则白球的个数约为 个.【答案】9【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时;随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在0.2 5 左右得到比例关系，列出方程求解即可.【详

33、解】设白球的个数约为a,根据题意得一三=0.2 5,解得：a=9,经检验：a=9 是分式方程的解，故答案为：9.【点睛】本题考查利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关系.2.6.如图，ANBC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知48=15,/C =9,8 c=1 2,阴影部分为AZBC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为_.7 T【答案】7【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理得出NBC是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的

34、面积，最后利用概率公式计算即可.【详解】v AB=15,AC=9,8 c =12,：.AC2+BC2 AB2,/S C是直角三角形，如图，设内切圆的半径为一，则S“sc=S“+邑c+S”以，即;=+氏，Ax9xl2=x9-r+xl2-r+xl5-r,2 2 2 2解得：r=3,则ZBC的面积为1/C 8 C =1X9X12=5 4,内 切 圆 的 面 积 为=9万，2 2因此，小鸟落在花圃上的概率为尸=N =g54 6故答案为：7-O【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键.2 7.小 强与小红两人下军棋，小强获胜的

35、概率为46%,小红获胜的概率是30%,那么 两 人 下 一 盘 棋 小 红 不 输 的 概 率 是.【答案】0.54【解析】【详解】下棋的结果有三种：赢，和，输；所以两人下一盘棋小红不输的概率=1-小强获胜的概率=1-0.46=0.54.故答案为0.54.点睛：本题主要考查了概率的定义，因为下棋的结果有三种：赢，和，输，所以每一个人下棋赢的概率+和的概率+输的概率=1,理解到小红不输的概率即是小红赢的概率+小红和的概率，而小红输的概率=小强获胜的概率.2.8.一个不透明的口袋中共有8 个白球、5 个黄球、5 个绿球、2 个红球，这些球除颜色外都相同.从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是

36、.【答案】|【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及确定白球的个数，再根据概率公式解答即可.【详解】解：袋子中球的总数为8+5+5+2=20,而白球有8 个，则从中任摸一球，恰为白球的概率为卷=:2故答案为【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=-.n2名 现有张正面分别标有数字0,1,2,3,4,5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a,则使得关于x的一元二次方程X2-2X+?=0有实数根，且关于x的分式方程2匕 +2=J有解的概率为x-

37、2 2-x-【答案】76【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，综合两个结果即可得出答案.【详解】一元二次方程r-2 x +3=0有实数根，24 4 x 0.2/.a 1 5 元，转转盘划算.【点睛】本题主要考查了古典型概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其 中 事 件A出 现m种结果，那 么 事 件A的 概 率P（A）=,难度适n中.3L 2 0 2 0年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直

38、结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类,并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“比较重视 所占的圆心角的度数为并补全条形统计图；（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的 4 人有4,4 两名男生，Bi,历 两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率.【答案】（1）162；作图见解析；（2）160人；（3）【解析】【分析】（1）先 由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360乘以比较重视

39、”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求 出“重视”的人数，补全条形统计图即可；（2）由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；（3）画树状图，共 有 12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4 个，再由概率公式求解即可.【详解】（1）调查的学生人数为1620%=80（人），“比较重视”所占的圆心角的度数为360 X 1=162O,故答案为：162,“重视”的人数为80-4-36-16=24（人），补全条形统计图如图：即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为1 6 0人;(3)解：画树状图如图：月2 Bx B,A,Bl B,A1 A2 B,A2共 有1 2个等可能的结果，

40、恰好抽到同性别学生的结果有4个.4 1恰好抽到同性别学生的概率为一=-.1 2 3【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之 比.也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体.3 2.甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转).若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局.（1）请用画树状图或列表的方法

41、，写出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平.【答案】（1）（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿,红），（绿，黄），（绿，绿）共 9 种情况；（2）不公平.【解析】【分析】（1）采用画树状图的方法，列举出所有可能的情况；（2）分别求出甲乙获胜的概率，然后比较判定游戏是否公平.【详解】（1）树状图，如图所示：（红，红），（红，黄）,（红,绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄）,（绿，绿）共 9 种情况；（2）甲 获 胜）=p.2勺乙获胜）一p P勺甲获胜）,勺乙获胜）所以游戏不公平.【点睛】此题主要考查树状图列举的画法

42、以及概率的应用，熟练掌握，即可解题.3 3.甲乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的2 2 张卡片，其中写有“锤子”石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为4、5,6、7.两人先后各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负.（1）若甲先摸，则他摸出“剪子”的概率是多少？（2）若甲先摸出了“剪子”，则乙获胜的概率是多少？（3）若甲先摸，则他摸出哪种卡片获胜的可能性最大？【答案】（1）5；（2）；（3）甲先摸出“锤子”获胜的概率最大.【

43、解析】【分析】（1）（2）利用概率公式计算即可；（3）分四种情形分别求出甲胜的概率即可判断；【详解】（1）甲先摸，则他摸出“剪子”的概率=2=.2 2 1 1（2）甲先摸出了“剪子”，不透明的袋子中有“锤子”石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为4、5、5、7,4 +5 3乙要获胜需要抽出“锤子或石头”，乙 获 胜 的 概 率=丁 =三.2 1 7（3）甲先摸出了“锤子”并且获胜，乙需要摸出“石头”或“剪子”，甲胜的概率5 +6_ 1 1一方LIT甲先摸出了“石头并且获胜，乙需要摸出“剪子”，甲胜的概率=2=22 1 77 1甲先摸出了“剪子”并且获胜，乙需要摸出“布”，甲胜的概率=5=：2

44、 1 34 +5 3甲先摸出了“布并且获胜，乙需要摸出“锤子”和石头”，甲胜的概率=三，2 1 7其中二最大，所以甲先摸出“锤子”获胜的概率最大.2 1【点睛】本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率尸（4）=竺.n5 4.如图所给的Z、B、。三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设/、B、C三个几何体的主视图分别是4、Bi、C i；左视图分别是Z 2、&、。2；俯视图分别是小、以、。3（1）请你分别写出小、，2、4 3、8 1、&、BA G、。2、。3图形的名称；（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相

45、同的9张卡片上，并将画有4、力2、4 3的三张卡片放在甲口袋中，画有8 1、B 2、&的三张卡片放在乙口袋中，画有G、。2、。3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片.画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？ABC面【答案】（1）4、4是矩形，/3是圆；Bl、B2、&都是矩形；G是三角形，。2、C34是矩形；（2）三张卡片上的图形名称都相同的概率是；游戏对双方不公平，理由

46、见解析.【解析】【分析】（1）通过观察几何体，直接写出它们三种视图的名称则可；（2）按照题意画出树状图，可得所有的等可能的结果数以及符合条件的等可能的结果数，再利用概率公式可得答案；根据树状图，分别求解小刚，小亮获胜的概率，从而可得答案.【详解】解：（1）由已知可得出、血 是矩形，小 是圆；Bi、&、&都 是 矩 形；G是三角形，。2、。3是矩形；（2）画出树状图如下：开始c1c2c3 C,CjCa c,C2 q C,c2 c3 C,c2c3 C,G G C,G G Q G G c A 6由树状图可知，共有2 7种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，12 4三张卡片上的图

47、形名称都相同的概率是丁=大；27 9游戏对双方不公平.12 4由可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同的概率是刀=,即 已 小 阚 获_ 4*9 3 1 1三 张 卡 片 上 的 图 形 名 称 完 全 不 同 的 概 率 是,即 尸,小 亮 获g=-，U9 9这个游戏对双方不公平.【点睛】本题考查的是三视图，还考查了通过画树状图求随机事件的概率.用到的知识点为：三视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形；概率=所求情况数与总情况数之比.培优练35.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马4,4，G，田忌也有上、中、下三匹马4，与，。2

48、,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：4 4 片 鸟 。1。2（注：4 B 表示力马与8马比赛，N马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C 4，&Bi，B C）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果

49、田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，y;（2）不是，田忌获胜的所有对阵是（。2 4,4耳,&G）,（G4，B2ci，4 B j,（4综 G4，），（52CC24，M）（鸟。”4综。2 4），!6【解析】【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率.【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.此时，比赛的所有可能对阵为：G&，再,B g）,（G

50、4，B2G，44）,84,8出，4）,（G4,4，%gJ,共四种.其中田忌获胜的对阵有（。2 4,4 月,男0，（。2 4，44），共两种，故此时田忌获胜的概率为吁=；.（2）不是.齐王的出马顺序为4，q，G时，田忌获胜的对阵是（。2 4,4 4，名。1）；齐王的出马顺序为4,G田 时，田忌获胜的对阵是（G4，8 2 G，44）；齐王的出马顺序为乌，4，G时，田忌获胜的对阵是（4 4,。2 4，与0；齐王的出马顺序为用,c”4时，田忌获胜的对阵是（4 4,8 2 0 1，0 2 4）；齐王的出马顺序为,4由 时，田忌获胜的对阵是（52CC24,44）；齐王的出马顺序为G,4,4时，田忌获胜的对

51、阵是出 品4综).综上所述，田忌获胜的所有对阵是(C2Ai,2Bl,B2Cl),(C2AB2CI，A2BI),(A2Bl,C2Ai，B2Ci),2cze24),(BzGC&CSj,(B C M B i G A).齐王的出马顺序为4,4，G时，比赛的所有可能对阵是(A2AI,B2BI,C2CI),(A2AI,C2B,B2CI),(B2A2,A2BI,C2CI),(B2AI,C2BA2C1),(。2 4,4 8,名。|),(C jJpB jB pJjC j),共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，所以，此时田忌获胜的概率上=9=1.36 6【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识,考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键.