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1、波动方程积分形式近似 2 2 2 2( ) / ( ) ( )k c r r r表示处于有界区域 V的一个非均匀介质,而在区域外2 2 2 ( ) ( )b b bk k r r 2 2( ) ( ) ( )bk g r r,r r -r三维无界空间中的格林函数2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b bk q k k r r r r r2 2( ) ( ) ( )k q r r r 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sV bV dV g qdV g k k r r,r rr,r r r方程第一项表示没有非均匀介质时源 所产生的场，即入射场 ，一旦我们知道了体
2、积 V内的总场，任意地方的波场 即可求得 Born近似 散射体与背景的反差很小即 很小 作近似2 2bk k2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )inc bV dV g k k r r r,r r r( ) ( )inc r r 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) inc b incV dV g k k r r r,r r r 如果散射体的尺寸的量级为L 由量纲分析，2 2 2 31( ) , , b b r Vg k k k dV LL r,rBorn近似的限制条件变成2 2 1b rk L 近似成立条件可见在低频情况下 即使 依然成立 Born近似变得非常好 高频情形下 只
3、有当 时近似成立，即 1bk L1r ( ) ( )( ) ( ) bik i iincr e e r e b br k-k r k-k r( ) 1Lbk - k 1b rk L Rytov近似2 2 ( ) ( ) 0k r r( )( ) ie rr 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ii r r rr r r r 2 2 2( ) ( ) ( ) 0i k r r r 非线性方程用微扰法求解0 1( ) ( ) ( ) r r r2 2 20 0( ) ( ) ( ) 0bi k r r r 2 21 0 1 1( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 0i O
4、 r r2 2( ) bO k k r 令假设 很小，那么 更小0 ( )0 i re 2 2 20 1 0 1 0 1 0( ) ( ) ( )bk i i O r1 21( ) 2 2 0 1 0( ) ( )bk i O r1 00( ) ( ) ( ) ( )( )i d g r Or r r r,r rRytov近似 1( )0( ) ( ) ir r e r 近似成立条件是等式中第一项远小于第二项，即21( ) ( )O r低频成立条件 高频极限下 代入近似条件，得到 比Born近似宽松2 2 1b rk L 1( ) ( )( ) bik i i rr e e e br k-k
5、r1r 两种近似的关系 Rytov近似中即 很小时， 1( ) r 1( )0 0 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )ir r e r i r r r1 1 0( ) ( ) ( )r i r r 用 乘以 的积分表达式 可以得到Born公式0( )i r 1( ) r1 0( ) ( ) ( ) ( )V d g O r r,r rr r可见在弱散射条件下二者趋于同一近似 de Wolf approximation标量波动方程背景介质波速 ，背景波数扰动函数22 2( ) ( ) 0( ) pc xx 0( )c x 0/k c2 2 20 02 20( )( ) 1 ( )( )
6、c s sF c s xx xx2 2 2( ) ( ) ( ) ( )k p k F p x x x Lipmann-Schwinger equation背景介质中的格林函数0 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )vp p k d g F p x x x x; x x x( )g x; xLipmann-Schwinger equation de Wolf approximation MFSB (multiple forescattering single backscattering) approximation: and are the renormalized, multipl
7、e forescattered field and Greens function 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f fvp p k d g F p x x x x; x x x( )fp x ( )fg x; x 接收点 处的散射场可以表示为2 3( , ) ( , ) ( ) ( )f fT TvP z k d g z F p x x x ; x x x( , )T z x 在薄板内，前向散射场保持不变，格林函数可以用均匀介质中的形式代替对方程应用Fourier变换，得到其中 代入后得到12 2 0( , ) ( ) ( ) ( )z fT T TzP z K k dz
8、d g z F p x ,K ; x x x0 2 2( ) ,2 T Ti z z iT T Tig z z e e k K x,K ; ,x K12 2( , ) ( , ) ( , )2 T Tz i z z i fT T T TziP z K k dze d e F z p z K xx x x Implement procedure slice the whole medium into thin-slabs perpendicular to the propagation direction. A weak scattering condition holds for each thin-slab1 .对薄板入口处的入射波作Fourier变换转换到波数域 2 .计算波数域的薄板内自由传播的波场，在薄板各个深度内作FT的反变换到空间域内，与介质作互相关得到反向散射波场 3 .将反向散射波场转换到波数域内得到散射波场，乘以权重系数 ，自由传播至薄板入口处，用多屏传播算子传至表面即得反向散射场 4 .计算薄板出口处的前向散射场，加入入射场中，得到下一薄板处的入射场 5 .循环这一过程，在表面累加所有的反向散射即得到接收的散射场2i
波动方程积分形式近似
