竞赛讲座(三角函数及其应用教师版)_中学教育-竞赛题

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1、学习必备 欢迎下载 三角函数及其应用 三角是代数与几何联系的“桥梁”，同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具 三角与代数【例 1】求证：20720sin31 证明：证法 1：由)2,0(,sin xxx，20799sin20sin，由)6,0(,3sinxxx，31939sin20sin 证法 2：2320sin420sin360sin3，设x20sin，则023343 xx，设2334)(3xxxf，21,0312)(2xxxf，函数)(xfy 单调区间)21,(，)21,21(，),21(，又2120sin0，及0231274)31(f，02757.13)207(f，20720sin31

2、【补充】求证：9210tan61 【练习】Nn，2n，求证：321cos31cos21cosn 证明：121311110nn，kk11sin0，nkkkkkkk,3,2,)1)(1(111sin11cos2222)11()4543()3432()2321()1cos31cos21(cos2nnnnn 2)32(21121nn，学习必备 欢迎下载 321cos31cos21cosn【例 2】CBA,为锐角ABC的三个内角，求证：233sinsinsin2CBA 证法 1：因为xysin在区间)2,0(上为上凸函数，由琴生(Jensen)不等式得 2333sin3sinsinsinCBACBA，又

3、由)2,0(,2sinxxx得，2)(2sinsinsinCBACBA 证法 2：CBACBABACBAsin2sin2sin2cos2sin2sinsinsin.233)46(332)2sin1)(2sin33(332)2sin1(2cos2)2sin1(2cos24322CCCCCC CBA,为锐角ABC的三个内角，不妨设CBA，CBACBA,，2cos2cos,22CBACBA，CCBACBABACBAsin2cos2sin2sin2cos2sin2sinsinsin 2sincos1sin2cos22CCCC【练习】CBA,为锐角ABC的三个内角，求证：23coscoscos1CBA

4、证明：CBABACBAcos2cos2cos2coscoscosCBAcos2cos2 2323)212(sin22sin212sin222CCC，2)(cos2cos2)2cos(2cosBABABA，2cos2cos2coscosBABABA，2BA2)(BA，2cos2)(cos2cosCBABA，角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已

5、知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数求最小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当时当时设则学习必备学习必备 欢迎下载 CCCBABABAsin2cos2sin22cos2cos2coscos，1cossincoscoscosCCCBA【例 3】已知1),1,0(,cabcabcba，求证：4331111222ccbbaa 证明：方法 1：由已知1),1,0(,cabcabcba，可设

6、2tan,2tan,2tanCcBbAa，其 中CBA,为 锐 角 ABC的 三 个 内 角，则AAAaasin212tan12tan122，BBBbbsin212tan12tan122，CCCccsin212tan12tan122，原不等式等价于233sinsinsin2CBA，证法见例 2 方法 2：)()()(122cbcabaacabcabaabcacabaaaa，222111ccbbaa)()(2cbcaba，只需证433)()(21cbcaba，即2)()(938cbcaba 由1),1,0(,cabcabcba，可知3cba，只需证加强不等式)()(9)(8cbcabacabca

7、bcba，即)2(9)3(8222222222222bcacabcbcabaabcbcacabcbcabaabc，即abc6bcacabcbcaba222222，由均值可知显然成立【练习】已知abccbacba,0,，求证：231111111222cba 提示：设CcBbAatan,tan,tan，原不等式等价于23coscoscos1CBA【变式】已知1),0(,cabcabcba，求证：231111222ccbbaa 提示：设2tan,2tan,2tanCcBbAa，原不等式等价于232sin2sin2sin1CBA 角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明

8、学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数求最小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当时当时设则学习必备学习必备 欢迎下载（或将cba,分别替换为cba1,1,1将变为上

9、面练习）【例 4】设12zyx，且2zyx，求乘积zyxcossincos的最大值和最小值 )12,245.(83246cos142cos1cos21cos)sin(21cos)sin()sin(21cossincos2zyxzzzyxzyxyxzyx)12,3.(81432cos142cos1cos21)sin(cos21)sin()sin(cos21cossincos2zyxxxzyxzyzyxzyx【练习】设CBA,是三角形的三个内角，求证：3233sin3sin3sin2CBA，并确定其中的等号何时成立 解析：不妨设 60A，则120CB，从而180)(23|230CBCB，由此可得)

10、(23c o s)(23c o sCBCB再由0)(23s in CB，得到 )(23cos)(23sin2)(23cos)(23sin2CBCBCBCB，即)(3sin3sin3sinCBCB，于是2)(3sin3sin3sin3sin3sinCBACBA，为使23sin3sin3sinCBA，必须满足1)(3sin3sinCBA，0)(23sin CB，这是不可能的，从而23sin3sin3sinCBA 另一方面，由 60A可知，)(23cos)(23sin23sin3sin3sin3sinCBCBACBA)(23sin23sinCBAAA23cos23sinAA23cos)123(sin

11、2 33)23sin1)(323sin3(312)23sin1)(123(sin2AAAA 323)46(3124 当且仅当,1)(23cos),23sin1()323sin3(CBAA 即20,140CBA时，等号成立 角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的

12、最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数求最小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当时当时设则学习必备学习必备 欢迎下载 【例 5】对于任意的正数x、y、z、及ABC三内角A、B、C，总有：CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222 证明：0)sinsin()coscos(sinsin2sinsin)coscos(coscos2coscoscos2)coscos(cos2cos2cos2),(22222222222222222BzCyCyBzxCByzBzC

13、yCyBzxCByzCyBzAyzzyCyBzxCxyBzxAyzzyxzyxf CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222【补充】求证：02cos22cos22cos2222CxyBzxAyzzyx【变式】求证：)(21coscoscoszxyyzxxyzCzByAx 求证：23coscoscosCBA 求证：CabBcaAbccbacos2cos2cos2222 求证：CBABACACBCBAcossinsin2cossinsin2cossinsin2sinsinsin222 求证：)(21coscoscoscabbacabcCcBbAa【练习】给定正整数n，求最小的正数，使得

14、对于任何i),2,1)(2,0(ni，只要2212tantantannn，就有ncoscoscos21不大于 解析：1当2,1n时，33n，当1n时，33cos,2tan11，当2n时，,2tantan21设x12tan，则x4tan22，xx41111tan11tan11coscos221221 xxxxxxxxxxxx45345214545242411112 角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式

15、即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数求最小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当时当时设则学习必备学习必备 欢迎下载 设31,0(451txx，则341234111122ttxx，21coscos33241111xx，当2x即21时取等号 2当3n时，1n，先证1coscoscos21nn 不妨设n321，要证明式成立，只要

16、证2coscoscos321，2212tantantannn，故22tantantan321 2sin1sin1cos22iii，32322232sinsin22sinsin2coscos，322212322212tantan81cos1,tantan8tan，32223222323222321sinsincoscos8sinsintantan8tantancos，)sinsincoscos811(sinsin2coscoscos3222322232321 2coscoscos321，1sinsincoscos832223222 )tan1)(tan1(secsectantan83222322

17、23222 7tantan3222 若式成立，则式成立 角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数求最

18、小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当时当时设则学习必备学习必备 欢迎下载 A B C P 若式不成立，即7tantan3222，从而27tantan2212，32coscos21，21322coscoscos321从而式得证 现证1n为最小的 事实上，若10n，则取11na，从而存在,2,1)2,0(nii 使得)1,2,1(1tan,cos2niaaaii，122)1(2tannnnaa 从而2212tantantannn，但 12121coscoscoscoscoscosnn，当3n时，最小的正数为1n 综上所求最小正数)3(,1)2,1(,33nnnn【练习】设8,0,0,0ab

19、ccba，求证：21111111cba 三角与几何【例 6】已知点 P 是锐角ABC 内一点，使得PAB=PBC=PCA 求证：CBAPABcotcotcotcot 证明：证法 1：设zPCyPBxPA,，PAB=PBC=PCA=则 cos2222xccxy cos2222yaayz cos2222zbbzx)(cos2222cxbzaycba，又)(sin21cxbzaySABC，ABCScba4cot222，RabccbaRabcacbCCBBAACBA4422sincossincossincoscotcotcot222222，RabcCabSABC4sin21，CBAPABcotcotc

20、otcot 角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数求最小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当

21、时当时设则学习必备学习必备 欢迎下载 证法 2：由角元式赛瓦（Ceva）定理得1)sin(sin)sin(sin)sin(sinCBA，1)coscot)(sincoscot)(sincoscot(sinCCBBAA，01)cos(cot)coscossin(cot)cossinsin(cot)sin(23ACBACBAA 由CBACBACBACBAsinsinsinsincoscoscossincoscoscossin，CBACBACBACBAcoscoscos1cossinsinsincossinsinsincos得 0)1)cos(cot)sin(cot)1)cos(cot)sin(23

22、AAAA 0)1)(cot1)cos(cot)sin(2AA，0)1)cos(cot)sin(AA，CBACBACBACBACBAAAcotcotcotsinsinsincossinsinsincossinsinsincossin1)cos(cot 证法 3：（平面几何证法）略【练习】设 P 为ABC 内或边界上一点，点 P 到三边的距离为 PD、PE、PF 求证：)(2PFPEPDPCPBPA BPFCPEBPFCPEBPFCPECBPEPFCBPEPFPFPECBPEPFPFPEEFAPAsinsin)coscos()sinsin(sinsin2coscos2)cos(2sin222222

23、 ABPFACPEPAsinsinsinsin，同理BCPDBAPFPBsinsinsinsin，CAPECBPDPCsinsinsinsin，)(2)sinsinsinsin()sinsinsinsin()sinsinsinsin(PFPEPDBAABPFCAACPECBBCPDPCPBPA【补充】H为锐角ABC的垂心，FED,为垂足，求证：（1）垂足DEF的周长)(21coscoscoscbaCcBbAa；（2）H为垂足DEF的内心；（3）九点圆半径为外接圆半径的一半。提示：（1）ABCAEF，AABAEaEFcos，)(21)coscos)(cos(31coscoscoscbaCBAcb

24、aCcBbAa（切比雪夫不等式）A B C P D E F 角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数

25、求最小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当时当时设则学习必备学习必备 欢迎下载 PNMDCOBA或由排序不等式可得AcCbBaCcBbAacoscoscoscoscoscos BcAbCaCcBbAacoscoscoscoscoscos)(21coscoscoscbaCcBbAa（2）BBEFBED2；（3）RAAaAEFR2sincos)2sin(20 【例 7】半径为R的圆内接六边形 ABCDEF 中，AB=CD=EF=R，M、N、T、分别为 BC、DE、FA 中点，求证：MNT 为正三角形 证明：设,2 DOE2,2BOCFOA，则 90coscoscos3sincoscoscos

26、cos)150cos(coscos2coscos)60cos(coscos2coscoscos22222222222222222222RRRRRRRRRRMONOMONONOMMN 同理coscoscos3sincoscoscoscos2222222RRRRNT coscoscos3sincoscoscoscos2222222RRRRTM 只需证：22NTMN，即sincoscoscossincoscoscos22 即sincoscossincoscos22cos122cos1 只需证)sin(cos22cos2cos)sin(cos2)sin()sin(22cos2cos NTMN，同理TM

27、NT，MNT 为正三角形【练习】AB 为圆 O 的弦，C、D 分别为弦 AB 的三等分点，M、N 分别为劣弧AB上的三等分点，MC、ND 交于点 P，求证：APBAOB3 提示：APOMAPBAOB/3，建系证明直线AP与OM斜率相等 MTNFDBEAC2 2 2 角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下

28、载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数求最小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当时当时设则学习必备学习必备 欢迎下载 角与代数例求证证明证法由由证法设则设函数单调区间又及补充求证练习求证证明学习必备欢迎下载例为锐角的三个内角求证证法因为在区间上为上凸函数由琴生不等式得又由得证法为锐角的三个内角不妨设练习为锐角的三个内角法只需证即由可知只需证加强不等式即即由均值可知显然成立练习已知求证提示设原不等式等价于变式已知求证提示设原不等式等价于学习必备欢迎下载或将分别替换为将变为上面练习例设且求乘积的最大值和最小值练习设是三角能的从而另一方面由可知当且仅当即时等号成立学习必备欢迎下载例对于任意的正数及三内角总有证明补充求证变式求证求证求证求证求证练习给定正整数求最小的正数使得对于任何只要就有不大于解析当时当时当时设则学习必备