控制系统的状态空间描述

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1、 现 代 控 制 理 论 描 述 系 统 数 学 模 型 的 方 法 ： 内 部 描 述 ： 一 阶 微 分 方 程 （ 时 域 ） 从 传 递 函 数 的 零 点 、 极 点 分 布 得 出 系 统 定 性 特 性 ， 并 已 建立 起 一 整 套 图 解 分 析 设 计 法 ， 至 今 仍 得 到 广 泛 成 功 地 应 用 。电 机 内 部 工 作 原 理 利 用 状 态 分 析 法 ， 对 系 统 进 行 一系 列 特 性 分 析 ， 来 设 计 状 态 反 馈 和 输出 反 馈 。 经 典 控 制 理 论 的 传 递 函 数 描 述 方 法 的 不 足 之 处 ： 系 统 模 型 为

2、 单 输 入 单 输 出 系 统 ； 忽 略 初 始 条 件 的 影 响 ； 不 包 含 系 统 的 所 有 信 息 ； 无 法 利 用 系 统 的 内 部 信 息 来 改 变 系 统 的 性 能 。 复 杂 的 时 变 、 非 线 性 、 多 输 入 多 输 出 系 统 的 问 题 ， 需 要用 对 系 统 内 部 进 行 描 述 的 新 方 法 状 态 空 间 分 析 法 。 状 态 空 间 分 析 法 以 状 态 向 量 描 述 、 分 析 系 统 性 能 的 方 法 称 为 状 态 空 间 分 析 法 。它 具 有 下 列 优 越 之 处 ：便 于 在 数 字 计 算 机 上 求 解

3、；容 易 考 虑 初 始 条 件 ；能 了 解 并 利 用 处 于 系 统 内 部 的 状 态 信 息 ；数 学 描 述 简 化 ； 适 于 描 述 多 输 入 多 输 出 、 时 变 、 非 线 性 、 随 机 、 离 散 等 各 类系 统 ， 是 最 优 控 制 、 最 优 估 计 、 辨 识 、 自 适 应 控 制 等 现 代 控 制 系统 的 基 本 描 述 方 法 。 倒立摆控制系统 航天器控制系统机器人控 制系统导弹控制系统 3.2.1 状 态 向 量 与 状 态 空 间一 、 状 态 的 定 义 1、 定 义所 谓 系 统 状 态 ， 是 指 在 描 述 对 象 运 动 的 所

4、有 变 量 中 ， 必 定 可 以 找 到 数 目 最小 的 一 组 变 量 ， 它 们 足 以 描 述 对 象 的 全 部 运 动 。状 态 变 量 : 该 变 量 组 中 的 每 个 变 量 称 为 状 态 变 量 。 2、 有 关 定 义 的 两 点 说 明1） 足 以 描 述 系 统 全 部 运 动 的 含 义 ： 只 要 确 定 了 这 组 变 量 在 某 一 初 始 时 刻 的 值 ， 并 且 确 定 了 从 这 一 初 始 时 刻 起 （ ） 的 输 入 量 函 数 ，则 对 象 的 全 部 变 量 在 此 刻 和 （ ） 的 运 动 都 唯 一 确 定 了 。 0t t 0t

5、t0t t 2） 数 目 最 小 的 含 义 ： 是 指 这 个 变 量 组 中 的 每 个 变 量 都 是 相 互 独 立 的 。 二 、 状 态 向 量若 一 个 系 统 有 n个 状 态 变 量 ： ， 用 这 n个 状态 变 量 作 为 分 量 所 构 成 的 向 量 ， 就 称 为 该 系 统 的 状 态 向 量 ， 用 表 示 。 )(,),(),( 21 txtxtx n)(tx )(tx )( )( )()( 21 tx tx txt nx 三 、 状 态 空 间 状 态 空 间 ： 所 有 n维 状 态 向 量 的 全 体 便 构 成 了 实 数 域 上 的 n维 状 态 空

6、 间 。 状 态 轨 迹 ： 在 状 态 空 间 中 ， 时 间 t是 一 个 参 变 量 ， 某 一 时 间 t的 状 态 是 状态 空 间 中 的 一 个 点 ， 而 一 段 时 间 下 状 态 的 集 合 称 为 系 统 在 这 一 时 间 段 的 状态 轨 迹 ， 有 时 也 称 作 相 轨 迹 。四 、 输 入 向 量 和 输 出 向 量 输 入 向 量 ： 将 系 统 的 各 个 输 入 量 看 成 一 个 列 向 量 。 )(tu )( )( )()( 21 tu tu tut lu l 输 出 向 量 ： 将 系 统 的 各 个 输 出 量 看 成 一 个 列 向 量 。 )(

7、ty )( )( )()( 21 ty ty tyt my m 1、 系 统 状 态 变 量 的 选 取 不 是 唯 一 的 ， 但 状 态 的 数 目 是 一 定 的 ；2、 系 统 的 状 态 和 系 统 的 输 出 是 两 个 不 同 的 概 念 。 系 统 的 输 出 通 常 有 明 确 的 物 理 含 义 ， 是 可 以 测 量 的 ； 系 统 的 状 态 不 一 定 有 物 理 含 义 ， 不 一 定 可 以 测 量 ； 在 线 性 系 统 中 ， 输 出 是 系 统 状 态 变 量 中 某 一 个 或 某 几 个 的 线 性 组 合 。 3.2.2 状 态 空 间 表 达 式一

8、、 状 态 方 程 1、 状 态 方 程 的 定 义所 谓 状 态 方 程 ， 就 是 描 述 系 统 的 状 态 之 间 以 及 输 入 和 状 态 之 间 动 态 关 系 的一 阶 微 分 方 程 组 。 2、 状 态 方 程 的 标 准 形 式 ),;,( ),;,( ),;,( 2121 2121222 2121111 lnnnn ln ln uuuxxxfxdtdx uuuxxxfxdtdx uuuxxxfxdtdx 向 量 矩 阵 形 式 为 )(),()( ttt uxfx )( )( )()(:)( 21 tx tx txtt nxx 状 态 向 量 luuutt 21)(:)

9、( uu 输 入 向 量 )()()()(:)( 21 nfffff 1n 维 的 函 数 向 量 3、 线 性 定 常 系 统 的 状 态 方 程 lnlnnnnnnnn llnn llnn ubububxaxaxax ubububxaxaxax ubububxaxaxax 22112211 222212122221212 121211112121111 向 量 矩 阵 形 式 为 )()()( ttt BuAxx nnnn nnaaa aaa aaa 21 22221 11211A nn 维 的 系 数 矩 阵 nlnn llbbb bbb bbb 21 22221 11211B ln 维

10、 的 系 数 矩 阵 二 、 输 出 方 程 1、 输 出 方 程 的 定 义所 谓 输 出 方 程 ， 就 是 描 述 系 统 输 出 量 与 状 态 和 输 入 量 之 间 相 互 关 系 的 代 数方 程 组 。 2、 输 出 方 程 的 标 准 形 式 ),;,( ),;,( ),;,( 2121 212122 212111 lnmm ln ln uuuxxxgy uuuxxxgy uuuxxxgy 向 量 矩 阵 形 式 为 )(),()( ttt uxgy )( )( )()(:)( 21 ty ty tytt myy 输 出 向 量 )( )()()(:)( 21nggggg 1

11、m 维 的 函 数 向 量 3、 线 性 定 常 系 统 的 输 出 方 程 lmlmmnmnmmm llnn llnn udududxcxcxcy udududxcxcxcy udududxcxcxcy 22112211 222212122221212 121211112121111 向 量 矩 阵 形 式 为 )()()( ttt DuCxy mnmm nnccc ccc ccc 21 22221 11211C nm 维 的 系 数 矩 阵 mlmm llddd ddd ddd 21 22221 11211D lm 维 的 系 数 矩 阵 三 、 状 态 空 间 表 达 式 （ 状 态 空

12、 间 模 型 ）线 性 定 常 系 统 的 状 态 空 间 模 型 ： 将 状 态 方 程 和 输 出 方 程 合 在 一 起 ， 即 )()()( )()()( ttt ttt DuCxy BuAxx或 DC BA 四 、 状 态 空 间 模 型 与 传 递 函 数 的 比 较G(s)U(s) Y(s) 状 态 方 程 输 出 方 程 nxxx21 传 递 函 数 只 能 描 述 系 统 外 部 的 输 入 输 出 关 系 ， 并 不 能 反 映 系 统 内 部 状 态 的变 化 ， 我 们 称 之 为 外 部 描 述 。状 态 空 间 表 达 式 将 输 入 输 出 间 的 信 息 传 递

13、 分 为 两 段 来 描 述 。 第 一 段 是 输 入引 起 系 统 内 部 状 态 发 生 变 化 ， 用 状 态 方 程 描 述 ； 第 二 段 是 系 统 内 部 的 状 态变 化 引 起 系 统 输 出 的 变 化 ， 用 输 出 方 程 描 述 。 由 此 可 见 ， 状 态 空 间 表 达 式在 一 定 程 度 上 描 述 了 系 统 内 部 变 量 的 变 化 ， 所 以 我 们 称 之 为 内 部 描 述 。 较 之 传 递 函 数 ， 状 态 空 间 描 述 的 优 点 有 ：3、 状 态 空 间 分 析 是 一 种 时 域 分 析 方 法 ， 可 用 计 算 机 直 接

14、在 时 域 中 进 行 数值 计 算 。2、 由 前 面 的 分 析 可 以 看 出 ， 对 于 不 同 维 数 的 系 统 ， 可 以 采 用 同 一 表 达 方式 来 进 行 描 述 ， 由 此 可 见 从 低 维 系 统 得 到 的 结 论 可 以 方 便 地 推 广 到 高 维 系统 ， 只 是 计 算 复 杂 一 些 而 已 。1、 可 以 方 便 地 描 述 多 输 入 多 输 出 系 统 ；五 、 状 态 空 间 模 型 的 结 构 图 ADB Cxu x y 六 、 状 态 空 间 表 达 式 的 非 唯 一 性假 设 和 是 我 们 为 某 一 系 统 选 定 的 两 组 不

15、 同 状 态 变 量 ， 和 之 间 有一 一 对 应 的 变 换 关 系 即 可 逆 变 换 关 系 ， 对 于 线 性 系 统 而 言 ， 这 种 关 系 就 是线 性 非 奇 异 变 换 ， 既 与 之 间 必 有 关 系x *x x *xx *x *Pxx 其 中 为 非 奇 异 常 数 矩 阵P设 以 为 状 态 向 量 时 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 为x DuCxy BuAxx 而 以 为 状 态 向 量 时 系 统 的状 态 空 间 表 达 式 为*x uDxCy uBxAx * *下 面 我 们 来 推 导 两 者 之 间 的 对 应 关 系 。 DuCxy Bu

16、Axx *Pxx DuCPxy BuAPxxP * * DuCPxy BuPAPxPx 11* * DD CPC BPB APPA* 1* 1* 设 以 为 状 态 向 量 时 系 统 的状 态 空 间 表 达 式 为x DuCxy BuAxx 表 明 ， 在 同 一 系 统 中 ， 不 同 的 状 态 向 量 所 对 应 的 系 数矩 阵 之 间 有 相 似 变 换 关 系 。APPA 1* C cui1u R L 2u例 试 建 立 下 图 所 示 电 路 网 络 的 状 态 方 程 和 输 出 方 程 。解 ： （ 1） 描 述 系 统 的 微 分 方 程 为 dttduCti tutu

17、dttdiLtRi )()( )()()()( 2 12 12 211 1 11xCx uLxLxLRx选 择 系 统 的 状 态 变 量 为 ， ， 输 入 ix 1 )(22 tux 1uu 写 成 向 量 矩 阵 形 式 为 uLxxC LLRxx 0101 1 2121输 出 ， 写 成 向 量 矩 阵 形 式 为2uy 2110 xxy （ 2） 描 述 系 统 的 微 分 方 程 为 dtdqti tuCqdttdiLtRi)( )()()( 1 12 211 11xx uLxLCxLRx选 择 系 统 的 状 态 变 量 为 ， ， 输 入 ix 1 qx 2 1uu 写 成 向

18、 量 矩 阵 形 式 为 uLxxLCLRxx 0101 1 2121 输 出 ， 写 成 向 量 矩 阵 形 式 为22 1 xCCquy 2110 xxCy qiuic xx , 01 1,01 1 LCLRC LLR AA C10 01P cu1i 2i1u 1R 2R1L 2LC 2u例 试 建 立 下 图 所 示 电 路 网 络 的 状 态 方 程 和 输 出 方 程 。 2222 11111 21 iRdtdiLu udtdiLiRu idtduCi c cc 122223121 , uuiRuyixixux c 3221223 11111112 211 1 11 11 xLRxL

19、dtdix uLxLRxLdtdix iCiCdtdux c 3212 132 1222 111321 00 01001 01 110 xxxRy uLxxxLRL LRL CCxxx 3.2.2 状 态 微 分 方 程 的 解buaxx 考 虑 标 量 的 一 阶 微 分 方 程 ),()()0()( sbUsaXxssX 用 拉 氏 变 换 解 有 ： )()0()( sUas basxsX t taat dbuexetx 0 )( )()0()( 定 义 矩 阵 指 数 函 数 为 ： .2)( k!AtAAIA exp k22A kt ttte ！ )(AI 1 ss )Aexp()(

20、 tt ) BU(s)A-sIx(0)A-sIX(s) -1-1 .)d)Bu(-A(texp)exp(At)x(0 x(t) t0 上 式 也 经 常 写 做 状 态 转 移 矩 阵 的 形 式 )d(0)(t) t0 Bu)(x)(x tt BuAxx .000)()( )()( )()()()()( 211 221 11121 nnnn nnn xxxtt tt tttx tx tx 系 统 的 零 输 入 响 应 为 ： 1.3 传 递 函 数 矩 阵例 ： 系 统 如 下 图 所 示 ， 输 入 为 和 ， 输 出 为 。1u 2u 2x 1u R 2u R RC C1x 2x1i

21、2i 3i 解 ： 列 写 回 路 的 电 压 方 程 和 节 点 的 电 流 方 程 322 211 223 122 111 idtdxCi idtdxCi xuRi xRxx uRix选 取 为 状 态 变 量 ， 输 出 ， 得 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 为21,xx 2xy 2 2212 1211 121 112xy uRCxRCxRCx uRCxRCxRCx 设 初 始 条 件 为 零 ， 对 上 式 两 端 进 行 拉 普 拉 斯 变 换 ， 得 )(1)(2)(2)( )(1)(1)(2)( 2212 1211 suRCsxRCsxRCsxs suRCsxRCsxR

22、Csxs消 去 并 整 理 得)( 1 sx )(34 2)(341)( 222212222 suRCssCR RCssuRCssCRsx 写 成 向 量 矩 阵 形 式 为 )( )(34 2341)( 212222222 su suRCssCR RCsRCssCRsx )()()( ssGs uy 其 中 :)(su 输 入 变 量 的 Laplace变 换 象 函 数:)(sy 输 出 变 量 的 Laplace变 换 象 函 数 )()( 2 sxs y )( )()( 21 su susu:)(sG 传 递 函 数 矩 阵 一 、 传 递 函 数 矩 阵 )( )( )()( 21

23、su su su lsu )( )( )()( 21 sy sy symsy:)(tu 维 输 入 向 量l :)(ty 维 输 出 向 量m )()()( )()()( )()()()( 21 22221 11211 sss sss ssssG mlmm llggg ggg ggg 则 对 应 的 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵 为 )()()()()()()( 2211 sussussussy liliii ggg )(0)( )()( jkujiij ksu sys 所 有g )(sGu y多 输 入 量 多 输 出 量 的 对 象 常 用 复 线 框 来 表 示 二 、 传 递 函

24、 数 矩 阵 与 状 态 空 间 表 达 式 之 间 的 关 系 DuCxy BuAxx )()()( )()()( 1 sss sss uDxCy uBAIx )()()()()()( 11 ssssss uDBAICuDuBAICy DBAIC 1)()( ssG )()()( )()()( sss ssss uDxCy uBxAx )()()( )()()( sss sss uDxCy uBxAI 三 、 传 递 函 数 矩 阵 的 不 变 性对 于 一 个 系 统 而 言 ， 其 状 态 空 间 表 达 式 不 是 唯 一 的 ， 但 其 传 递 函 数 矩 阵 是不 变 的 。 Du

25、Cxy BuAxx *1* )()( DBAIC ssG uDxCy uBxAx * * DBPAPPICP 111 )(s DBPPAIPCP 111 )( s DBPPAICPP 111 )(s DBAIC 1)(s)(sG 例 ： 求 下 列 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵 。 DuCxy BuAxx 其 中 10 00 03,12 11 12,11 01,32 10 DCBA解 ： DBAIC 1)()( ssG 10 00 0311 0132 112 11 12 1ss 10 00 0311 012 1312 11 122312 ssss 10 00 03263 122 2632

26、312 ss ss ssss 113 2122 111 )2(3 s ss ss sss 例 ： 求 下 列 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵 。 DuCxy BuAxx 其 中 10 00,100 011,20 01 01,220 233 245 DCBA解 ： DBAIC 1)()( ssG 1)(1 AIs） 先 求（ 220 233 245)( ssss AI AI AIAI s sadjs )()( 1 )3)(1()5(26 )2(2)2)(5()2(3 )1(2)1(4)2)(1()2()1( 1 2 sss ssss ssssss )(2 sG阵） 求 系 统 的 传 递 函

27、 数 矩（ DBAIC 1)()( ssG 10 0020 01 01)2()1( )3)(1()5(26 )2(2)2)(5()2(3 )1(2)1(4)2)(1(100 011 2 ss sss ssss ssss )2()1( 496)1( 2 )2()1( 4)1( 1 2232 22 ss ssss sss 四 、 组 合 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 和 传 递 函 数 矩 阵 1、 并 联 连 接 11111 11111 uDxCy uBxAx 22222 22222 uDxCy uBxAx uDDxxCCy uBBxxA0 0Axx 212121 11212121 )

28、()()( 21 sGsGsG )()()()( 21 sGsGsGsG n 2、 串 联 连 接 11111 11111 uDxCy uBxAx 22222 22222 uDxCy uBxAx uDDxxCCDy uDBBxxACB 0Axx 2 122121 12 121212 121 )()()( 12 sGsGsG )()()()()( 121 sGsGsGsGsG nn 3、 反 馈 连 接 111 11111 xCy uBxAx 222 22222 xCy uBxAx 211 121212 21121 xx0Cy u0BxxACB CBAxx )()()()()()()( 11 s

29、QsFsQsQsFsQsH ml IIyu 在 反 馈 连 接 中 ， 若 则 称 为 单 位 矩 阵 反 馈 （ 单 位 反 馈 ）或 直 接 反 馈 。 ,)( I sFlm 且 1k 1k 11s 11s 11s)(1 su )(2 su )(1 sy )(2 sy控 制 器 被 控对 象 10 01)(sGc 10 01)(sH 1111 011)( ssssGP )()()()()()( 12 sGsGsHsGsGsG cPcP I 10 011111 01110 0110 011111 01110 01 1 ssssss 1111 01111111 0111 1 sssss s 2

30、1)2( 1 021 2 ssss )(21)( 11 sussy )(21)()2( 1)( 2122 sussusssy 1.4 根 据 系 统 的 微 分 方 程 建 立 状 态 空 间 表 达 式一 、 微 分 方 程 右 边 输 入 函 数 中 不 含 有 导 数 项 的 情 况 )()()()()( 01)1(1)( tbutyatyatyaty nnn )1(21 nn yx yx yx buxaxaxa buyayayayx xyx xyx nn nnnn 12110 )1(110)( 32 21 1xy ubxxxaaaxxx nnn 00000 010 2111021 nx

31、xxy 21001 二 、 微 分 方 程 右 边 输 入 函 数 中 含 有 导 数 项 的 情 况 ububububyayayay nnnnnnn 01)1(1)(01)1(1)( uuuuyuxx uuyuxx uyx nnnnnnnn 12)2(1)1(0)1(11 10112 01 uxaxaxa uuuuyx uxuuyx uxuyx nnn nnnnnn 12110 1)2(2)1(1)(0)( 231)2(0)2(2 1201 uxy 01 uxxxxaaaaxxxx nnnnnnn 1211211210121 1000 0100 0010 uxxxxy n 03210001

32、1.5 根 据 系 统 的 传 递 函 数 建 立 状 态 空 间 表 达 式一 、 直 接 分 解 （ 虚 拟 输 出 法 ）实 现 ： 由 输 入 输 出 模 型 建 立 状 态 空 间 模 型 的 过 程 称 为 实 现 。最 小 实 现 ： 维 数 最 小 的 实 现 。本 节 讨 论 单 输 入 单 输 出 系 统 的 几 种 实 现 方 法 ， 即 采 用 分 解 的 方 法 ， 将 一 个n 阶 系 统 分 解 成 n 个 一 阶 系 统 。 传 递 函 数 的 分 解 有 三 种 方 法 ： 直 接 分 解(虚 拟 输 出 法 ） 、 串 联 分 解 和 并 联 分 解 。 这

33、 种 方 法 适 用 于 传 递 函 数 的 分 母 和 分 子 多 项 式 没 有 分 解 成 因 式 的 形 式 。 0122 0122)( )()( asasa bsbsbsU sYsG )()( 0122 0122 sUasasa bsbsbsY 引 入 虚 拟 输 出 量 )(sM )()()( )(1)( 0122 0122 sMbsbsbsY sUasasasM )()()()( )()()()( 012 012 tmbtmbtmbty tutmatmatma )(),( 21 tmxtmx 令 )()()()( )(1 222221112200102122 22211202 2

34、1 tuabxababxababxbxbxbty tuaxaaxaax xx )(1010 221212021 tuaxxaaaaxx )(222122112200 tuabxxababababy )( 222121 tuabxxccy 1c2b 2c21aa 20aa21a 1x2xu y 0111 0111)( asasasa bsbsbsbsG nnnn nnnn uabxxxa babababababy uaxxxaaaaaaxxx nnnn nnnnnnn nnnnnnn 21111100 2111021 )()()( 100000 010 ， 按 这 种 方 法 得 到 的 状 态

35、 空 间 模 型 ， 通 常 称 为 能 控 标 准 型 。时当 1na 二 、 串 联 分 解 这 种 方 法 适 用 于 传 递 函 数 已 被 分 解 为 因 式 的 形 式 ， 如221122)( )()( ps zsps zsabsU sYsG 是 实 常 数 。式 中 2121 , ppzz 22 pz 2p22ab 2xu y 11 pz 1p 1x )1)(1()( )()( 22211122221122 ps pzps pzabps zsps zsabsU sYsG uababxxppzpxx 2222212 22121 0 uabxxpzpzy 22212211 )()(

36、三 、 并 联 分 解 （ 部 分 分 式 法 ） 这 种 方 法 适 用 于 传 递 函 数 的 分 母 多 项 式 已 经 分 解 为 因 式 的 形 式 ， 如)()( )()( )()( 21 npspsps sQsU sYsG 1、 系 统 极 点 两 两 互 异 ni iips kdsG 1)( )()(lim sGpsk ipsi i ni ,2,1 u y 1k1p 1x nknp nx 2k2p 2x d u y1k 1p 1xnk np nx2k 2p 2x d a图 b图 (1)、 根 据 图 a 可 写 出 状 态 方 程 和 输 出 方 程 为 uxxxpppxxx

37、nnn 11100 000 212121 duxxxkkky nn 2121 (2)、 根 据 图 b 可 写 出 状 态 方 程 和 输 出 方 程 为 ukkkxxxpppxxx nnnn 21212121 00 00 00 duxxxy n 21111 2、 系 统 极 点 有 重 根 11221113 )()( pskps kps kdsG ni ii )()(lim sGpsk ipsi i ni ,4,3 )()()!1( 1lim 21111 1 sGpsdsdik iipsi 2,1i 1x2xu y 11k1p nknp nx 3k3p 3 x d 1p 12k uxxxxp

38、pppxxxx nnn 1110000 000 000 001 321311321 duxxxxkkkky nn 32131211 例 已 知 控 制 系 统 的 微 分 方 程 式 为 uuuyyyy 4359,30 a试 写 出 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 。解 ： 方 法 一 、 直 接 根 据 微 分 方 程 求 解,51 a ,92 a ,10 b 03 b,12 b,41 b030 b 1 0221 ab 5011212 aab 4100112203 aaab u 4151953 100 010 xx x001y ,30 a方 法 二 、 根 据 传 递 函 数 求 解,51 a ,92 a ,10 b 03 b,12 b,41 b 359 14)( )()( 23 2 sss sssU sYsG u 100953 100 010 xx x141y