概率的公理化定义

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1、 第 三 节概 率 的 公 理 化 定 义 在 学 习 几 何 和 代 数 时 ， 我 们 已 经 知 道公 理 是 数 学 体 系 的 基 础 . 数 学 上 所 说 的“ 公 理 ” ， 就 是 一 些 不 加 证 明 而 公 认 的 前提 ， 然 后 以 此 为 基 础 ， 推 演 出 所 讨 论 对 象的 进 一 步 的 内 容 . 即 通 过 规 定 概 率 应 具 备 的基 本 性 质 来 定 义 概 率 . 下 面 介 绍 用 公 理 给 出 的 概 率 定 义 . 1933年 ， 前 苏 联 数 学 家 柯尔 莫 哥 洛 夫 给 出 了 概 率 的 公 理化 定 义 . 柯 尔

2、 莫 哥 洛 夫 提 出 的 公 理 为 数 很 少 且极 为 简 单 ， 但 在 此 基 础 上 建 立 起 了 概 率 论的 宏 伟 大 厦 . 概 率 的 公 理 化 定 义公 理 2 P()=1 (2)公 理 3 若 事 件 A1, A2 , 两 两 互 不 相 容 ， 则 有 (3)这 里 事 件 个 数 可 以 是 有 限 或 无 限 的 . )()()( 2121 APAPAAP 公 理 1 0 P(A) 1 (1) 设 E是 随 机 试 验 ， 是 它 的 样 本 空 间 ， 对于 中 的 每 一 个 事 件 A， 赋 予 一 个 实 数 ， 记为 P(A) ， 称 为 事 件

3、 A的 概 率 ， 如 果 集 合 函 数 P( ) 满 足 下 述 三 条 公 理 : 公 理 2 P()=1 (2) 公 理 3 若 事 件 A1, A2 , 两 两 互 不 相 容 ， 则 有 (3)这 里 事 件 个 数 可 以 是 有 限 或 无 限 的 . )()()( 2121 APAPAAP 公 理 1 0 P(A) 1 (1) 公 理 1说 明 ， 任 一 事 件 的 概 率 介 于 0与 1之 间 ；公 理 2说 明 ， 必 然 事 件 的 概 率 为 1；公 理 3说 明 ， 对 于 任 何 互 不 相 容 （ 互 斥 ） 的事 件 序 列 ， 这 些 事 件 至 少 有

4、 一 个 发 生 的 概率 正 好 等 于 它 们 各 自 概 率 之 和 . 由 概 率 的 三 条 公 理 ， 我 们 可 以 推 导出 概 率 的 若 干 性 质 . 下 面 我 们 就 来 给 出概 率 的 一 些 简 单 性 质 . 在 说 明 这 些 性 质 时 ， 为 了 便 于 理解 ， 我 们 常 常 借 助 于 文 氏 图 . 文 氏 图 S 设 边 长 为 1个 单 位的 正 方 形 的面 积 表 示 样 本 空 间S其 中 封 闭 曲 线围 成 的 一 切 点的 集 合 表 示 事 件 A 把 图 形 的面 积 理 解为 相 应 事件 的 概 率 性 质 1 0)( P

5、 即 不 可 能 事 件 的 概 率 为 0 . 由 再 利 用 公 理 2和 公 理 3即 得 . 此 为 互 不 相 容 事 件 概 率 的 加 法 公 式 。)()()( BPAPBAP 特 别 地 ， 若 A和 B互 不 相 容 ,则 有性 质 2（ 有 限 可 加 性 ）若 事 件 A1, A2 , An 两 两 互 不 相 容 ， 则 有 )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP 由 公 理 3可 得 。 例 1 设 一 批 同 类 产 品 中 有 50件 ， 其 中 5件 次品 。 现 从 中 任 取 3件 ， 求 其 中 至 少 有 一 件 次品 的 概 率 为

6、多 少 ？ S 因 为 AAS 互 斥与 AA1=P(S)=P(A)+P( )A AS 性 质 3 对 任 一 事 件 A ， 有 (4)(1)( APAP 此 性 质 在 概 率 的 计 算 上 很 有 用 ， 如 果正 面 计 算 事 件 A的 概 率 不 容 易 ， 而 计 算 其对 立 事 件 的 概 率 较 易 时 ， 可 以 先 计 算 ， 再 计 算 P(A).)(AP A )(1)( APAP 例 2 将 一 颗 骰 子 抛 掷 4次 ， 问 至 少 出 一 次“ 6”点 的 概 率 是 多 少 ？令 事 件 A=至 少 出 一 次 “ 6”点 A发 生 出 1次 “ 6”点

7、出 2次 “ 6”点 出 3次 “ 6”点 出 4次 “ 6”点 直 接 计 算 A的 概 率 较 麻 烦 , 我 们 先 来 计 算 A的对 立 事 件A=4次 抛 掷 中 都 未 出 “ 6”点 的 概 率 . )(1)( APAP 于 是 =0.5181296625 因 此 = =0.482)(AP 6666 由 于 将 一 颗 骰 子 抛 掷 4次 ,共 有 =1296种 等 可 能 结 果 ,5555 A而 导 致 事 件 =4次 抛 掷 中 都 未 出 “ 6”点 的 结 果 数 有 =625种 例 3 有 r 个 人 ， 设 每 个 人 的 生 日 是 365天 的任 何 一 天

8、 是 等 可 能 的 ， 试 求 事 件 “ 至 少 有 两人 同 生 日 ” 的 概 率 . rrPAP )365()( 365 rrPAPAP )365(1)(1)( 365 A为 求 P(A), 先 求 P( )解 ： 令 A=至 少 有 两 人 同 生 日 = r 个 人 的 生 日 都 不 同 A则 用 上 面 的 公 式 可 以 计 算 此 事 出 现 的 概 率 为 =1-0.524=0.476)(AP 美 国 数 学 家 伯 格 米 尼 曾 经 做 过 一 个别 开 生 面 的 实 验 ， 在 一 个 盛 况 空 前 、人 山 人 海 的 世 界 杯 足 球 赛 赛 场 上 ，

9、 他随 机 地 在 某 号 看 台 上 召 唤 了 22个 球 迷 ，请 他 们 分 别 写 下 自 己 的 生 日 ， 结 果 竟发 现 其 中 有 两 人 同 生 日 .即 22个 球 迷 中 至 少 有 两 人 同 生 日 的 概 率为 0.476. 表 3.1 人 数 至 少 有 两 人 同 生 日 的 概 率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所 有 这 些 概 率 都 是 在 假 定一 个 人 的 生 日 在 365天 的 任何 一 天 是 等 可 能 的

10、 前 提 下 计算 出 来 的 . 实 际 上 ,这 个 假 定并 不 完 全 成 立 ， 有 关 的 实 际概 率 比 表 中 给 出 的 还 要 大 . 当 人 数 超 过 23时 ， 打 赌 说 至少 有 两 人 同 生 日 是 有 利 的 . S )()( ABAPBP 0)( ABP移 项 得 第 一 式 ,便 得 第 二 式 . 再 由 )( ABA )()( ABPAP 由 可 加 性 性 质 4 设 、 B是 两 个 事 件 ， 若 , 则 有 )()()( APBPABP )()( APBP BABA S )()( )()( ABBPAP ABBAPBAP BAB 又 因再

11、由 性 质 4即 得 . )( ABBA 性 质 5 对 任 意 两 个 事 件 A、 B， 有 )()()()( ABPBPAPBAP AB AB 三 个 事 件 和 的 概 率 为 推 广 到 多 个 事 件 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC) n个 事 件 和 的 概 率 为 nji jini ini i AAPAPAP 111 )()()( nkji kji AAAP1 )( )()1( 211 nn AAAP )(),(),( ),(),(,)( ,)(,.4 BAPBAPBAP ABPBAPQBP PAPBA 试

12、求互不相容设事件例 它 给 出 了 概 率 所 必 须 满 足 的 最 基 本 的性 质 ， 为 建 立 严 格 的 概 率 理 论 提 供 了 一 个坚 实 的 基 础 . 下 面 ， 我 们 再 重 点 介 绍 加 法 公 式 及其 应 用 .这 一 讲 ， 我 们 介 绍 了概 率 的 公 理 化 定 义 由 概 率 所 必 须 满 足 的 三 条 公 理 ， 我 们推 导 出 概 率 的 其 它 几 条 重 要 性 质 . 它 们 在计 算 概 率 时 很 有 用 ， 尤 其 是 加 法 公 式 . 设 Ai =第 i封 信 装 入 第 i个 信 封 i =1,2,3 A=没 有 一

13、封 信 装 对 地 址 某 人 将 三 封 写 好 的 信 随 机 装 入 三 个 写好 地 址 的 信 封 中 ， 问 没 有 一 封 信 装 对 地址 的 概 率 是 多 少 ？直 接 计 算 P(A)不 易 ， 我 们 先 来 计 算 )(AP例 5 配 对 问 题 =至 少 有 一 封 信 装 对 地 址 则 A 321 AAAA 321 AAAA )()( 321 AAAPAP )()()( )()()()( 3213231 21321 AAAPAAPAAP AAPAPAPAP 31!3!2)()()( 321 APAPAP其 中 61!31)()()( 323121 AAPAAPA

14、AP 61!31)( 321 AAAP代 入 计 算 的 公 式 中)(AP 应 用 加 法 公 式 )()( 321 AAAPAP 31!31!21 )(1)( APAP于 是 ! 31313323 3231211 ! !1)1(!31!21 )!1)1(!31!211(1 1n n n n 推 广 到 n封 信 ,用 类 似 的 方 法 可 得 :把 n 封 信 随 机 地 装 入 n个 写 好 地址 的 信 封 中 , 没 有 一 封 信 配 对 的概 率 为 : 我 们 介 绍 了 加 法 公 式 及 其 应 用 :事 件 互 斥 时 的 加 法 公 式 事 件 相 容 时 的 加 法 公 式它 们 在 计 算 概 率 中 很 有 用 ， 要 牢 固 掌 握 .)()()( BPAPBAP )()()()( ABPBPAPBAP