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1、第 二 节 极 限 的 运 算函数极限的四则运算法则 几 种 不 定 式 的 求 法0 001 、 消 去 公 共 的 趋 于 的 因 子A A 002 、 （ 不 等 于 ） 003 通 分、 AB4 消 去 分 子 分 母 的 最 高 次 幂、 05 A 、 1. 1sinlim0 x xx 一 、 两 个 重 要 极 限x sinx/x0.5 0.9588510770.2 0.9933466540.1 0.9983341660.01 0.9999833330.001 0.9999998330.0001 0.9999999980 1sinxx x 时 ，0 1sinxx x 时 ， 1.
2、1sinlim0 x xx D A B C O x 一 、 两 个 重 要 极 限 -0 sinlim 1x xx 同 理 可 证 00 sinlim 1sinlim 1 1lim sin 1xx x xxxx x x （ ）（ ） （ ）（ ）（ ） （ ） 0 sin2lim 12x xx 3 sin 3lim 13x xx 00 sinlim 1sinlim 1 1lim sin 1xx x xxxx x x （ ）（ ） （ ）（ ）（ ） （ ） 3 31lim sin 1x x x 例 6 求 xxx 4sin3sinlim0 . 解 0 0sin3 3lim lim .sin43
3、 44x xx xxx xx 0 0sin3 sin3 3lim lim( )sin4 3 sin4x xx x xx x x 03 1 3lim sin44 44x xx 例 7 求 20 cos1lim x xx . 解 22 20 0 2sin1 cos 2lim limx x xxx x 0 sin sin 22 2lim( )42 2x x xx x 12 例 8 求 30 sintanlim x xxx 解 30 3 30 0tan sinlim sin sin sin sin coscoslim lim cosx x xx xxx x x x xxx x x 21 cos 17
4、( 0)2x xx 由 例 知 30 tan sin 1lim 2x x xx 故 3 20 0sin (1 cos ) sin 1 cos 1lim limcos cosx xx x x xx x x x x 2. e11lim xx x 解 释 说 明 ： 列 出 xx 11 的 数 值 表 (如 下 表 )， 观 察 其 变 化 趋 势 . 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000 .2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 xx 11 x 从 上 表 可 看 出 ,当 x 无 限 增 大 时 ,函 数 xx 11
5、变 化 的 大 致 趋 势 ,可 以 证 明 当 x 时 , xx 11 的 极 限 确 实 存 在 ,并 且 是 一 个 无 理 数 ,其 值 为 718282828.2e ,即 e11lim xx x ( ) ( ) 1( )( ) 0 1lim 1 e1 ( )lim 1 e lim 1 ( ) exx xx xx xx x 例 9 求 xx x 31lim . 333 3lim 1 lim 1 xxx xx x 解 1 33 33lim 1 exx x 例 10 求 2lim 1 xx x . 解 所 求 极 限 类 型 是 1 型 . ( 2)22 2lim 1 lim 1 xxx
6、xx x ( 2)2 22lim 1 xx ex 例 11 求 2lim 3 xx xx . 2 3 1 1lim lim lim 13 3 3x x xx xx x xx x x 3 31lim 1 3 3 31 1lim 1 lim 1 e.3 3xxx xx xx x 小 结 :求 极 限 方 法(3)两 个 重 要 的 极 限 公 式 第 三 节 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量三、无穷小量与无穷大量 无 穷 小 量 的 性 质定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .类似可证: 有限个无穷小之差仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 . 常量与无穷小的乘
7、积是无穷小 . 定理3 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求.sinlim x xx 解: 1sin x 01lim xx利用定理 2 可知sin 1lim lim sin 0 . x xx xx x ,0时x xxx sin,3 2都是无穷小,引例 . xxx 3lim 20 ,0 20sinlim x xx , xxx 3sinlim0 ,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无 穷 小 的 比 较 定义. ,0lim 若则称 是的高阶无穷小, )( o,lim 若若,1lim 若 ,0lim C ,设是同一变化过程中的无穷小,记作则称 是 的低阶无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作 0 1limx x 例 如 ：
极限的运算与无穷小量无穷大量
