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1、西 南 交 通 大 学 数 学 建 模Matlab 符号运算 Matlab 符 号 运 算 介 绍q Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建立在功能强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进行符号运算时，它就请求 Maple 软件去计算并将结果返回给 Matlab。 q Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号作图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱还支持可变精度运算
2、，即支持以指定的精度返回结果。 Matlab 符 号 运 算 特 点u 计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的困扰。 u 符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式相近。u 符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数值解（封闭解不存在时）。 u 符号计算所需的运行时间相对较长。 Matlab 符 号 运 算 举 例u 求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 solve(a*x2+b*x+c)u 求的根 f (x) = (cos x)2 的一次导数 x=sym(x); diff(cos(x)2)u 计算 f (x) = x 2 在区间 a, b 上的定积分
3、syms a b x; int(x2,a,b) q 在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，可以是符号常量、符号变量、符号表达式等。符号对象是一种数据结构。符 号 对 象 与 符 号 表 达 式q 含有符号对象的表达式称为符号表达式，Matlab 在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别。q 符号矩阵/数组：元素为符号表达式的矩阵/数组。 u sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：q 符号对象的建立：sym 和 syms符 号 对 象 的 建 立例： a=sym(a) 符号变量 = sym(A)参数 A 可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串a 是符号变量b 是
4、符号常量 b=sym(1/3)c 是符号矩阵 c=sym(1 ab; c d) q 符号对象的建立：sym 和 syms符 号 对 象 的 建 立u syms 命 令用来建立多个符号变量，一般调用格式为：syms 符号变量1 符号变量2 . 符号变量n 例： syms a b c a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c); q 符号表达式的建立：例：建立符号表达式通常有以下2种方法：(1) 用 sym 函数直接建立符号表达式。(2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 y=sym(sin(x)+cos(x) x=sym(x); y=sin(x)+cos(x)符 号 表 达
5、式 的 建 立 Matlab 符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称和使用上，都与数值计算中的运算符和基本函数完全相同符 号 对 象 的 基 本 运 算q 基本运算符u 普通运算：+ 、- 、* 、 、/ 、u 数组运算：.* 、. 、./ 、.u 矩阵转置： 、.例： X=sym(x11,x12;x21,x22;x31,x32); Y=sym(y11,y12,y13;y21,y22,y23); Z1=X*Y; Z2=X.*Y; 符 号 对 象 的 基 本 运 算sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、l
6、og2、log10、sqrtabs、conj、real、imagrank、det、inv、eigdiag、triu、tril三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等q 基本函数 符 号 表 达 式 的 替 换subs(f,x,a) 用 a 替 换 字 符 函 数 f 中 的 字 符 变 量 x a 是 可 以 是 数/数 值 变 量/表 达 式 或 字 符 变 量/表 达 式若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵，则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或矩阵。q 用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量 subs 举 例 f=sym(2*u); subs(f,u,2) f2=su
7、bs(f,u,u+2) a=3; subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) syms x y f3=subs(f,u,x+y) subs(f3,x,y,1,2)ans=4f2=2*(u+2)ans=14ans=2*(a+2)+2)f3=2*x+2*yans=6u 例：指出下面各条语句的输出结果f=2*u 六 类 常 见 符 号 运 算q 因式分解、展开、合并、简化及通分等q 计算极限q 计算导数q 计算积分q 符号求和q 代数方程和微分方程求解 因 式 分 解u 因式分解factor(f) syms x; f=x6+1; factor(f)l factor 也可用于正整数的分
8、解 s=factor(100) factor(sym(12345678901234567890) l 大整数的分解要转化成符号常量 函 数 展 开u 函数展开expand(f) syms x; f=(x+1)6; expand(f)l 多项式展开l 三角函数展开 syms x y; f=sin(x+y); expand(f) 合 并 同 类 项u 合并同类项collect(f,v): 按指定变量 v 进行合并collect(f): 按默认变量进行合并 syms x y; f= x2*y + y*x - x2 + 2*x ; collect(f) collect(f,y) 函 数 简 化u 函数
9、简化y=simple(f): 对 f 尝试多种不同的算法进行简化，返回其中最简短的形式How,y=simple(f): y 为 f 的最简短形式，H ow 中记录的为简化过程中使用的方法。fRHOW2*cos(x)2-sin(x)23*cos(x)2-1simplify (x+1)*x*(x-1)x3-xcombine(trig)x3+3*x2+3*x+1(x+1)3factorcos(3*acos(x)4*x3-3*xexpand 函 数 简 化u 函数简化y=simplify(f): 对 f 进行简化 syms x; f=sin(x)2 + cos(x)2 ; simplify(f) sy
10、ms c alpha beta; f=exp(c*log(sqrt(alpha+beta); simplify(f) 函 数 简 化 举 例 syms c alpha beta; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); y1=simplify(f) g1=simple(f) g2=simple(g1)l 多次使用 simple 可以达到最简表达。3 23 81261)( xxxxf例：简化 分 式 通 分u 函数简化N,D=numden(f): N 为通分后的分子，D 为通分后的分母 syms x y; f=x/y+y/x; N,D=numden(f) 计 算 极 限limit(
11、f,x,a): 计算limit(f,a): 当默认变量趋向于 a 时的极限limit(f): 计算 a=0 时的极限limit(f,x,a,right): 计算右极限limit(f,x,a,left): 计算左极限lim ( )x a f x例：计算 ，h xhxL h )ln()ln(lim0 nn nxM 1lim syms x h n; L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) M=limit(1-x/n)n,n,inf) 计 算 导 数g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数g=diff(f,
12、v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数q diff syms x; f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x) 计 算 积 分int(f,v,a,b): 计算定积分int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分int(f,v): 计算不定积分int(f): 计算关于默认变量的不定积分 syms x; f=(x2+1)/(x2-2*x+2)2; I=int(f,x) K=int(exp(-x2),x,0,inf)( )ba f v dv( )f v dv例：计算 和 22 21( 2 2)xI dxx x 20 xK e dx 符 号 求 和 syms n; f=1/n2; S=
13、symsum(f,n,1,inf) S100=symsum(f,n,1,100)symsum(f,v,a,b): 求和symsum(f,a,b): 关于默认变量求和( )bv a f v例：计算级数 及其前100项的部分和21 1nS n例：计算函数级数 21n xS n syms n x; f=x/n2; S=symsum(f,n,1,inf) 代 数 方 程 和 微 分 方 程 求 解u 代数方程求解solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用字符串表示的方程、符号表达式或符号方程；l solve 也可解方程组(包含非线性)；l 得不到解析解时，给出数值解。u 微分方程求解 其 它 运 算u 反函数finverse(f,v)：求 f 关于指定变量 v 的反函数finverse(f)：求 f 关于默认变量的反函数 syms x t; f=x2+2*t; g1=finverse(f,x) g2=finverse(f,t)例：计算函数 的反函数 2 2f x t
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