隐函数与参量函数微分法

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1、2.4 隐函数与参量函数微分法一 、 隐 函 数 的 导 数 定 义 : 由方程F(x,y)=0所确定的函数y=y(x)称为. y=f (x)形式的函数称为. 如果从F(x,y)=0中解得y=f (x), 称为. 问 题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导?例 1:求由方程 xyex +ey =0所确定的隐函数y=y(x)0, xdxdydxdy的导数及其在x=0处的值, 即例 2: 设x 4xy +y4=1, 求 y 在点(0, 1)处的值. 例3: .,lnarctan 2222 dxyddxdyyxxy求设再 证 反 函 数 的 求 导 法 则dxdyy )(1 )(1ydxdy 设x

2、=(y)为直接函数, y=f (x)为其反函数, y=f (x)可视为由方程x(y)=0确定的一个隐函数. 由隐函数求导法则, 在方程x=(y)两边对x求导,得即二 、 对 数 求 导 法 方 法 : 先 在 方 程 两 边 取 对 数 , 然 后 利 用 隐 函 数 的 求导 方 法 求 出 导 数 . 目 的 是 利 用 对 数 的 性 质 简 化 求导 运 算 . 对 数 求 导 法 .例 5: .,)4( 1)1( 23 yex xxy x 求设例 6: ., dxdyyx xy求设例 4：的导数求)4)(3( )2)(1( xx xxy 2211 nnaxaaxaaxayy .),0

3、(2 sin yxxy x 求、 设 )1sinln(cos xxxxyy )sinln(cossin xxxxx x .,)()()(1 21 21 dxdyaxaxaxy nanaa 求、 设 )( )()()(ln)()()(1 xu xuxvxuxvxfxf 一般地, 对幂指函数 (u(x)0)的情形:等式两边取对数, 得 两边对x求导得)( )()()(ln)()()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv 三 、 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数 )( )(ty tx若参数方程则称.确定y与x间的函数关系, 消去参数, 得:例如:由 22ty tx ,2

4、xt 得参 量 函 数y=-1(x)22 )2(xty 42x xy 21问 题 : 消参困难或无法消参如何求导?连续的反函数 t =-1(x), 在参数方程 )( )(ty tx中, 设函数x=(t)具有单调则 再设函数x=(t), y=(t)都可导, 且(t)0, 由复合函数及反函数的求导法则得: dxdtdtdydxdy dtdxdtdy 1 )( )(tt dtdxdtdydxdy 即dxdtttdtd )( )()(22 dxdydxddxyd 容易漏掉)(1)( )()()()( 2 tt tttt .)( )()()()( 322 t ttttdxyd 即若设函数x=(t), y

5、=(t)都二阶可导, 且(t)0, 则 例 11: 求摆线2)cos1( )sin( ttay ttax在处的切线方程.例 12: 322 2,11 ydxydyxdxdyty tx 证明设例13(书后练习) : 332 ,arctan)1ln( dxydtty tx求设 四 、 相 关 变 化 率 dtdydtdx与设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数, 而变量x与y之间在一定的关系, 这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率.存在某种关系, 从而它们的变化率之间也存 相 关 变 化 率 问 题 : 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 解 : 设时刻 t 水深为h(t), 水库内水

6、量为V(t), 则060 4000m234000)( htV dtdhhdtdV 38000上式两边对t求导得,/28800 3小时米dtdV ,20米时当 h小时米/104.0dtdh水面上升之速率 例 14: 河水以8米3/秒的流量流入水库中, 水库形状是长为4000米, 顶角为120的水槽, 问水深20米时, 水面每小时上升几米? y的 函 数 的 求 导 设函数y=y(x)由方程e y +xy=e所确定, 求.022 xdxyd适 用 的 范 围.,52 arctan2 dxdyetyy tx t求设 )10(1sin 22 2 yyt ttx,)(xyy .dd 22xy 五 、 小

7、 结隐 函 数 求 导 法 则 : 直接对方程两边求导; 对 数 求 导 法 : 对方程(函数)两边取对数, 经适当运算后, 按隐函数的求导法则求导; 参 数 方 程 求 导 : 实质上是利用了复合函数的求导法则; 相 关 变 化 率 : 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解 法 : 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解. 思 考 题 )( )(ty tx )( )(ttyx )0)( t设, 由可知:)( )(ttyx 对吗？思考题解答不对. xx ydxdy dxdtdtyd x )(1)( )( ttt t 求 .,xexy 解 : xydd yxdd方 法 1 xe1y1

8、xe1 1方 法 2 等 式 两 边 同 时 对 求 导y1 yxdd xe yxdd yxdd xe1 11. 设 yxdd , 求 01sin 323 2 yte ttxy .dd 0txy解 ： txdd ye tydd0dd txy2. 设 方 程 组 两 边 同 时 对 t 求 导 , 得26 ttydd tsin 0dd tytey cos te te yy sin1 costxtydddd 0)26)(sin1( cos ty y tte te 2e0t 3. 设 ,)2( 2)(sin 3 2lntan xxxxxy xx 求 .y1y 2y提 示 : 分 别 用 对 数 微 分 法 求 ., 21 yy 答 案 : 21 yyy )1sinln(sec)(sin 2tan xxx x3 2ln )2( 31 xxx x )2(3 2)2(3ln21 xxxxx 4. )1,0,0( babaaxxbbay bax两 边 取 对 数yln 两 边 对 x 求 导yy baln xa xb bax axxbbay baln xa xbbaxln lnln xba lnln axb