向量空间的基

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1、 定 理 5.1.1 -向 量 空 间 的 基 定 义 5.1.1 非空集合 称为域 上的向 量 空 间 V F(vector space)或线 性 空 间 (linear space), 如果 关于 V加法（记作“+”）运算构成一个交换群，并且对每个 , 在 中可惟一地确定一个元素 (称为 k F v V V kv k与 的标 量 乘 法 )，使得对所有的 ， , 以 v ,l m F ,u v V下四个条件都满足： (M1) ; ( ) ( )lm v l mv (M2) ; ( )l m v lv mv (M3) ; ( )l u v lu lv (M4) . 1v v 向量空间中的元素

2、称为向 量 (vector). 域中的元素称为标 量或者纯 量 (scalar). 注 在 高 等 代 数 课 程 中 , 我 们 涉 及 到 的 向 量 空 间 （ 或 线 性 空 间 ） 的 基 域 都 是 数 域 ,是 无 限 域 , 且 是 特 征 为 零 的 域 , 但 我 们 这 里 的 基 域 可 以 是 一 般 的 域 , 它 可 以 是 有 限 域 , 且 域 的 特 征 也 可 以 是 素 数 . 例 1 集 合 是 域 上 的 1 2( , , , ) | n n iF a a a a F F向 量 空 间 , 其 加 法 运 算 和 标 量 乘 法 运 算 分 别 为

3、1 2 1 2 1 1 2 2( , , , ) ( , , , ) ( , , , )n n n na a a b b b a b a b a b 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nk a a a ka ka ka 例 2 设 是 素 数 , 则 是 一 个 域 . 系 数 在 p pZpZ上 的 一 元 多 项 式 环 是 上 的 向 量 空 间 . p xZ pZ 例 3 复 数 域 是 实 数 域 上 的 向 量 空 间 , 运 算 C R是 通 常 的 复 数 的 加 法 和 乘 法 运 算 . 例 4 域 上 的 所 有 矩 阵 的 集 合 关 于 F 2

4、2 2( )M F如 下 矩 阵 的 加 法 和 标 量 乘 法 运 算 构 成 上 的 向 量 空 F间 1 2 1 2 1 1 2 23 4 3 4 3 3 4 4a a b b a b a ba a b b a b a b 1 2 1 23 4 3 4a a ka kak a a ka ka 例 5 （ 这 个 例 子 是 例 3的 推 广 . 虽 然 它 看 上 去 很 平 常 ,但 却 是 域 论 中 最 重 要 的 例 子 之 一 ） 设 是 域 ， E 是 的 子 域 , 那 么 是 上 的 向 量 空 间 . 向 量 空 间 FEEF的 运 算 就 是 域 中 的 运 算 .

5、因 此 , 根 据 第 三 章 定 理 E3.6.5, 每 个 域 都 可 看 成 是 某 个 素 域 上 的 向 量 空 间 . 定 义 5.1.2 设 是域 上的向量空间， 是 的 V F U V非空子集. 如果 关于 的运算也构成 上的向量空 U V F间, 则称 为 的子 空 间 U V 例 6 集 合 是 上 22 1 0 0 1 2 5 | , , a x a x a a a a Z 5Z的 由 所 有 系 数 在 域 上 的 多 项 式 组 成 的 向 量 空 间 5Z 的 子 空 间 . 5 xZ 例 7 设 是 域 上 的 向 量 空 间 ， 是 VF 1 2, , , nv

6、 v vV中 的 向 量 (它 们 不 必 互 不 相 同 ), 那 么 子 集 1 2 1 1 2 2 1 2, , , | , , , n n n nv v v av a v a v a a a F 称 为 的 由 张 成 的 子 空 间 . 形 如 V 1 2, , , nv v v 的 元 素 称 为 的 线 性 组 1 1 2 2 n nav a v a v 1 2, , , nv v v 合 如 果 ， 那 么 我 们 称 张 成 1 2, , , nv v v V 1 2, , , nv v v 一 般 地 , 设 是 的 任 一 非 空 子 集 . 如 果 中 任 一 VB V

7、V元 素 都 是 中 有 限 多 个 元 素 的 线 性 组 合 , 则 称 张BB成 V 定 义 5.1.3 向量组 称为在 上线 性 1 2, , , nv v v F相 关 (linearly dependent), 如果存在不全为零的元 , 使得 . 如果 1 2, , , nk k k F 1 1 2 2 0n nk v k v k v 向量组在 上不是线性相关的, 则称为在 上线 性 无 FF关 (linearly independent). 例 8 设 , 则 中 的 向 量 组 2 0,1F Z 3F ， ， 在 上 是 线 性 无 关 的 . 因 为 假 (1,0,0) (1

8、,1,0) (1,1,1) F设 存 在 , 使 得 , ,a b c F (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1) (0,0,0)a b c 那 么 , 于 是 . ( , , ) (0,0,0)a b c b c c 0a b c 定 义 5.1.4 设 是 上的向量空间. 是 的 VF BV一个非空子集. 如果 中任一有限子集都在 线性无 B F关, 且 张成 , 则称 为 的基. B VB V 例 9 集 合 5,a a bV a ba b b Z是 上 的 向 量 空 间 . 则 我 们 可 以 证 明 5Z 1 1 0 1,1 0 1 1B 是 的 基 . V 首 先 我 们

9、 来 证 明 是 线 性 无 关 的 . B 假 设 有 , 使 得 5,a bZ 1 1 0 1 0 01 0 1 1 0 0a b 那 么 有 0 00 0a a ba b b 所 以 , , 从 而 线 性 无 关 . 其 次 , 中 任 何 0a b B V元 素 都 具 有 形 式 1 1 0 11 0 1 1a a b a ba b b 因 此 , 生 成 , 即 是 的 基 . B VB V 定 理 5.1.1 如果 和 都 1 2 , , , mu u u 1 2 , , , nw w w是域 上向量空间 的基, 那么 F V m n 证 假 设 . 不 妨 设 . m n m

10、 n 由 于 1 2, , , mu u u张 成 , 所 以 可 设 , 且 这 些 V 1 1 1 m mw k u k u 不 全 为 零 , 对 的 顺 序 适 当 重 排 后 可 ik F 1 2, , , mu u u设 ,则 张 成 . 1 0k 1 2, , , mw u u V 设 , 2 1 1 2 2 m mw l w l u l u 则 中 至 少 有 2, , ml l一 个 不 为 零 , 设 , 2 0l 则 张 成 继 续 1 2 3, , , , mw w u u V 这 样 下 去 , 有 张 成 . 1 2, , , mw w w V 但 此 时 是 1m

11、w 的 线 性 组 合 , 矛 盾 ! 1 2, , , mw w w 定 义 5.1.5如果一个向量空间 具有一个含 V n个元素的基, 则称 的维数(dimension)是 . 零空 V n间 称为是由空集张成的, 并规定它的维数是0. 0 可 以 用 集 合 论 的 方 法 证 明 每 个 向 量 空 间 都 有 基 . 以 有 限 多 个 元 素 为 基 的 向 量 空 间 (包 括 零 空 间 )称 为 有 限 维 向 量 空 间 (finite dimensional vector space), 否 则 称 为 无 限 维 向 量 空 间 (infinite dimensional vector space). 例 10 例 1中 的 域 上 的 向 量 空 间 是 维 的 , F nF n12 (1,0, ,0),(0,1, ,0), (0,0, ,1)neee 是 的 自 然 基 而 例 3中 的 向 量 空 间 是 上 的 nF p xZ pZ无 限 维 向 量 空 间 , 是 的 一 个 基 . | 0nx n 5 xZ