拉氏变换及反变换课件.ppt

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1、机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换一 、 拉 普 拉 斯 变 换 （ 2） 常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换（ 3） 拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 二 、 拉 普 拉 斯 反 变 换 内 容 （ 1） 定 义拉 氏 变 换 对 是 求 解 常 系 数 线 性 微 分 方 程 的 工 具 。把 线 性 时 不 变 系 统 的 时 域 模 型 简 便 地 进 行 变 换 ， 经 求 解 再 还 原 为 时间 函 数 。概 述 补 充 ： 变 换 及 反 变 换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换1. 定 义 反 变 换Laplace 当 f(t)含 有 冲 激 函 数

2、项 时 ， 此 项 0ttfsF stde)()( 0 正 变 换aplaceL拉 氏 变 换 积分 上 限 说 明 ： 一 、 拉 普 拉 斯 变 换 ( 0)t F(s)=f(t)f(t)= -1F(s)表 示 为 ：ttfsF stde)()( 0 0 de)(j21)( jj ssFtf st ttfttf stst de)(de)( 000 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 f(t) ， t 0,)称 为 原 函 数 ， 属 时 域 。 原 函 数 用 小 写 字 母 表 示 ， 如 f(t) ， i(t)， u(t) F(s) 称 为 象 函 数 ， 属 复 频 域 。 象 函

3、 数 F(s) 用 大 写 字 母 表 示 ,如 F(s) ， I(s)， U(s)。 js 称 为 复 频 率 。 f(t) F(S)L L_拉 普 拉 斯 变 换 对 ， 记 为 ： 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 0e1 sts 0 de0 tst )()(.1 tutf s12.2 常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 （ 单 位 阶 跃 函 数 ） 00 01)( tttu tu(t)F(s)= 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 0)(e1 tasas as 1 )(e)(.2 tutf at 0e e e dat at st t j 1e jt s (指 数 函 数

4、 ) ）（ ）（ 000)(f te tt tF(s)= 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换)()(.3 ttf 00 d)( tt = 10 ( ) ( )e dstt t t （ 单 位 脉 冲 函 数 ） )0( )0(0)( ttt 1)( dtt (t) t0 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 ）（ ）（ 000)(f tt tt （ 单 位 斜 坡 函 数 ） f(t) t0ttf )(.4 dtesest stst 010F(s)=Lf(t)= dtte st 0 21s 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换0elim stnt t nttf )(.5 stnst ed0n

5、ststn tsst dee 0 0 ttsn stn de0 1 0 e dn n stt t t n nt s 1 nt （ 幂 函 数 ） 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 n nt s 1 nt 1n当 ， 21 t s ；n当 2， 2 32 t s ； 依 次 类 推 ， 得 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换常用函数的拉普拉斯变换表 ttne-atte -attne-ate-jwtu(t)(t)(n)(t) 1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换1 f1

6、(t) e-t t0例 题 求 图 示 两 个 函 数 的 拉 氏 变 换 式 ssF 1)( 1 f2(t) e-t t 0解 由 于 定 义 的 拉 氏 变 换 积 分 上 限 是 0 ， 两 个 函 数 的 拉 氏变 换 式 相 同 ( 0)t 当 取 上 式 的 反 变 换 时 ， 只 能 表 示 出 0t 区 间 的 函 数 式 1 e ts 1 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换2.3 拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 一 、 线 性 性 质 1 1 1 2j j js s 2 2s )11( ssA1 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( )f t F s f

7、t F s 若 1 2 ( ) ( )a f t b f t则 )()( 21 sbFsaF (1 e )tA 例 1 sin t例 2 j j1 (e e )2j t t 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换二 、 微 分 定 理 sin1 022 tss 22 s s ( ) ( )f t F s设 d ( ) ( ) (0 )df t sF s ft 则 1 dcos (sin )dt tt 例 1 )0()0()()(d 222 fsfsFsdt tf ）（）（）（ 0.00)()(d )1(21n nnnnn ffsfssFsdt tf 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换初 态 为

8、 r(0-)及 r/(0-)， 原 始 值 为 e(0-)=0， 求 r(t)的 象 函 数 。解 ： 设 r(t)， e(t)均 可 进 行 拉 氏 变 换 即 有 E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t) 对 方 程 两 端 进 行 拉 氏 变 换 ， 应 用 线 性 组 合 与 微 分 定 理 可 得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s) 整 理 合 并 得（ S 2+a1S+a0） R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1 0 )()()()()( 0101

9、22 tebtetddbtratrtddatrtdd 例 3 某 动 态 电 路 的 输 入 输 出 方 程 为 012 101 )0()0()()()()( asas rrassEbbssR 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换三 、 积 分 定 理 例 ( ) ( )f t F s设 0 1 ( )d ( )t f F ss 则 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换四 、 时 域 平 移f(t) f(t-t 0)平 移 ( ) ( )f t F s设 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 22)( s s2)( 1 s例 1 例 2 e tt e cos t t 五 、 S域 平 移 (

10、) ( )f t F s设 e ( ) ( )t f t F s 则 22)( s例 3 e sin t t 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换六 、 初 值 定 理 和 终 值 定 理 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st 初 值 定 理 若 f(t)=F(s)， 且 f(t)在 t = 0处 无 冲 激 ， 则 存 在 时)(lim tft )(lim)(lim)( 0 ssFtff st 终 值 定 理 f(t)及 其 导 数 f (t)可 进 行 拉 氏 变 换 ， 且 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换例 1 11lim)( 0 sstu st例 2 2215)(

11、sssI 3)/21 2/11 5(lim)2215(lim)0( sssssi ss例 3 1)111(lim)( 0 sssti st 1 1( ) 1 e 1-tI s s s 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换as 1 11)()0( limlim assssFf ss 01)()( limlim 00 assssFf ss例 4： 已 知 F(s)= 解 ： 由 初 值 定 理 得 ， 求 f(0)和 f()由 终 值 定 理 得 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 1 1 2 21 2 1 28 ( ) ( ), ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f t F s f

12、t F sf t f t F s F s ：若 卷则时 域 积 性L L例 右 图 所 示 电 路 中 ， 电 压 源 为 ，试 用 时 域 卷 积 定 理 求 零 状 态 响 应 电 流 i(t)。 )()( tuetu tai 七 、 时 域 卷 积 性 i(t)R L)(tu i)s()()( iUsLsIRsI 解 （ 1） 写 出 系 统 动 力 学 方 程（ 2） 作 Laplace变 换 得 )()()( tudttdiLRti i 系 统 方 框 图h(t)Ui(s) H(s) I(s) 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换零 状 态 响 应 电 流I(s)=Ui(s)H(s)

13、= ui(t) H(s) )( te ta )()()( 1 teeaLRL tLRta LsRU sIi 1)s()(H(s) LRsLas 111= -1I(s)i(t)=（ 4） 应 用 时 域 卷 积 定 理（ 3） 求 系 统 传 递 函 数 h(t)Ui(s) H(s) I(s)（ 5） 作 Laplace反 变 换 得 LsR1 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 1 1 2 21 2 1 29 ( ) ( ), ( ) ( )( ) ( ) ( )1 ( )2f t F s f t j F sf t f t F s Fs s ： 若 域 卷 则积 性 L LL八 、 S域 卷

14、 积 性九 、 尺 度 变 换 性 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换的基本性质表 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换的基本性质表 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换本 讲 小 结 ：拉 普 拉 斯 变 换 定 义常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换(1) 利 用 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普

15、拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 作 业1、 写 出 拉 普 拉 斯 变 换 定 义 式2、 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换1(s-1)2_ 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换二 、 拉 普 拉 斯 反 变 换 1、 由 象 函 数 求 原 函 数 （ 2） 经 数 学 处 理 后 查 拉 普 拉 斯 变 换 表 )()()()( 21 sFsFsFsF n )()()()(

16、21 tftftftf n f(t)=L-1F(s)（ 1） 利 用 公 式 jj1( ) ( )e d 02j stf t F s s t 较 麻 烦 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换象 函 数 的 一 般 形 式 ： )( )( )()( 1 10 11021 mnbsbsb asasasF sFsF nnn mmm 2、 将 F(s)进 行 部 分 分 式 展 开 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换nsssF ，有 单 实 根）（ 12 0)(1 nnssksskssksF 2211)( (s)( 1 FLtf 1)()( 11 sssFssk 2)()( 22 sssFssk n

17、ssnn sFssk )()( )( 1ss )( 1ss)( 1ss)( 1ss 等 式 两 边 同 乘 (s-s1) =0 ni tsi ik1 e 22111 nnss kss kss kL (t0) 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换21 321 sksksk5.2)( 01 SssFk 2( ) 2.5 5e 1.5e ( 0)t tf t t )2)(1( 52 sss ss例 1 )23( 5)( 2 2 sss sssF 5)1)( 12 SssFk 5.1)2)( 23 SssFk解 ： F(S) (s)( 1 FLtf 2( ) 2.5 5e 1.5e ( 0)t tf

18、t t 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换21122 ss 2( ) 2 ( ) 2e e ( 0)t tf t t t )2)(1( 32 ss s 例 2 23 772)( 22 ss sssF （ m = n， 用 长 除 法 ）解 ： F(S) (s)( 1 FLtf 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换有 共 轭 复 根）（ )( 2 2 sF 1 2( ) j jk kF s s s （ k1 , k2也 是 一 对 共 轭 复 数 ） )eeee( )jj)jj tt kk （ eee )(j)(j tttk2 e cos( ) ( 0)tk t t 1,2 js 假 设 只

19、有 两 个 根j1 ek k j2 ek k 设 解 ： (s)( 1 FLtf 则 欧 拉 公 式 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换52)( 2 ss ssF 2j11 s 6.26559.0212j1 2j12j1 2j11 js sk S 6.26559.021j21 2j1j21 2j12 js sk S )6.262cos(e559.02 tt 0)6.262cos(e12.1 ttt 例 1 2j12 s法 一 ： 部 分 分 式 法 展 开 ， 求 系 数 。 (s)( 1 FLtf 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换法 二 ： 522 ss s 2222 2)1( 12)

20、1( 1 ss s1( ) e cos2 e sin2 ( 0)2t tf t t t t ( ) 1.12e cos(2 26.6 ) ( 0)tf t t t 或 表 示 为 22 2)1( s s将 F2(s)改 写 为 (s )2 + 2 22 2)1( 11 ssF(S) = 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换有 相 等 的 实 根 （ 重 根 ）（ )(3 2 sF 21211211 )()( )()( ss ksskss sFsF 1)()( 212 SSsFssk 1)()(dd 211 SSsFsssk 21121 )()( kssksssF 等 式 两 边 同 乘 21)

21、( ss 1 11 2( ) e e ( 0)s t s tf t k k t t (s)( 1 FLtf 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换221 )1()1( s ks k2)1( 52)( sssF 3)1()1( 52 1222 Ssssk 2)52(dd 11 Sssk 0e3e2 tt tt 例 1 1)(2 有 相 等 的 实 根sF等 式 两 边 乘 2)1( s 212 )1()1)( kskssF 得 (s)( 1 FLtf 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换33221 )2()2()2( s ks ks k32 )2( 22)( s sssF例 2 2)2( )2(

22、22 23323 Sss ssk等 式 两 边 乘 3)2( s 32213 )2()2()2)( kskskssF 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换2)22()2()2( 22dd 223322 sS sss sssk 213 )2(2)2)(dd kskssFs 32 213 )2()2()2)( kskskssF 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换122dd21)2()2( )22(dd21 22332221 ss ssss sssk 2 2 2 2( ) e 2 e e ( 0)t t tf t t t t 32 )2( 2)2( 2)2( 1)( ssssF 1322 2)2)

23、(dd kssFs 213 )2(2)2)(dd kskssFs 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 )()( 1110 n mmm ss asasasF nnnn ss kss kss kssksF )()()()( 111121211 （ 4） 一 般 多 重 根 情 况 1)()( 1 SSnn sFssk 1)()(dd 11 SSnn sFsssk 1)()(dd21 1222 SSnn sFsssk 1)()(dd)!1( 1 1111 SSnnn sFsssnk 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换练 习 1: 10( 2)( 5)( ) ,( 1)( 3)s sF s s s

24、 s 已 知求 其 逆 变 换 31 2( ) 1 3kk kF s m ns s s 解 ： 部 分 分 解 法 （ ）1 0 0( )10( 2)( 5) 100( 1)( 3) 3s sk sF ss ss s 其 中 求 其 原 函 数 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换3 3 3( 3) ( )10( 2)( 5) 10( 1) 3s sk s F ss ss s 100 20 10( ) 3 1 3( 3)F s s s s 解 ： 3100 10( ) 20 ( )3 3t tf t e e u t 2 1 1( 1) ( )10( 2)( 5) 20( 3) s sk s F

25、 ss ss 解 ： s 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换3 25 9 7( ) ,( 1)( 2)s s sF s s s 已 知求 其 逆 变 换 ( )F s解 ： 长 除 法练 习 2: ( )F s解 ： 长 除 法因 为 mn， 故 采 用 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换79523 232 sssss 2332F(s) 2 ss ss sss 23 23 772 2 ss ss22 3s s 2 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换2 1 ( ) 2 1 2F s s s s 1 2( ) 2 1 2k kF s s s s 部 分 分 式 展 开 法 1 12 2 3(

26、 1) 2( 1)( 2)3 11 ss sk s s ssk s 其 中 2( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )t tf t t t e e u t 同 理 可 求 G(s)2F(s) s则233G(s) 2 ss s令 1 12 2 3( 1) 2( 1)( 2)3 11 ss sk s s ssk s 其 中 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换22 3( ) ,( 2 5)( 2)sF s s s s 已 知 求 其 逆 变 换2 3( ) ( 1 2)( 1 2)( 2)sF s s j s j s 解 ： 01 21 2 1 2 2kk ks j s j s 练 习 3: 机械工

27、程控制基础拉普拉斯变换及反变换21 1 23 1 2: ( 1 2)( 2) 5s js jk s j s 解 其 中 2 23 7( 1 2)( 1 2) 5ssk s j s j 1 2, ( , )5 5A jB A B 1 , 2即 k 2 3( ) ( 1 2)( 1 2)( 2)sF s s j s j s 解 ： 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换1, 2 1 2,5 5A B tt tFLtf 21 e57)22cos(arctane52(s)( （ t0） 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换32( ) ,( 1)sF s s s 已 知 求 其 逆 变 换 1311 12

28、 23 2( ) ( 1) ( 1) ( 1)kk k kF s s s s s 解 ： 31 2( ) ( 1) ( ) sF s s F s s 令练 习 4: 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换31 2( ) ( 1) ( ) sF s s F s s 令 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换2 03 0( )2 2( 1) s sk s F sss 3 2( ) ( 1) ( 1) ( )F s s s s s 23( ) 2 2 2 ( )2 t t tf t t e te e u t 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换2.5 用 拉 氏 变 换 法 求 解 常 微 分 方 程

29、1( )( ) 10 ( )(0( ) ( ) , 0,1,( ) ( ), 0,1,i i p pii j pj s s yy t Y s if mst F s j 则 ,n作 Laplace变 换 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换( )y t方 程 两 边 取 拉 氏 变 换 整 理 得 的 象 函 数 ( ) ( ) zsziy t ty t y 再 取 逆 变 换 得 解1 10 0 00 ( ) 0(0 )( ( )( ) (n i mi p ji ji p jn ni ii ipi izz sia s b sY s a s y a s F sY sY s 1 10 0 00 (

30、 ) 0(0 )( ( )( ) (n i mi p ji ji p jn ni ii ipi izz sia s b sY s a sy a s F sY sY s 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 2 ( ) (0 ) (0 ) 3 ( ) 3 (0 ) 2 ( )2 ( ) 6 ( )s Y s sy y sY s y Y ssF s F s 解 ： 方 程 取 拉 氏 变 换 得 例 1: 1 (t0)0 (t0) 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 22 7 5 3( ) 3 2 1 2zi sY s s s s s 部 分 分 解 2( ) (5 3 ) ( )t tz iy

31、 t e e u t 逆 变 换 得 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换 22( ) (3 4 ) ( )( ) (5 3 ) ( )t tz s t tz iy t e e u ty t e e u t 逆 变 换 得 2 2( 3)( ) 3 23 4 11 2zs sY s s s ss s s 部 分 分 解解 ： 2( ) ( ) ( ) (3 2 ) ( )t tzi zsy t y t y t e e u t 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换例 如 图 所 示 电 路 中 ， 电 压 源 为 ， 求 零 状 态 响 应 电 流 i(t)。 )()( tuetu tai i(

32、t)R L)(tui )s()0()()( iUissILRsI （ 1） 写 出 系 统 动 力 学 方 程（ 2） 作 Laplace变 换 得 )()()( tudttdiLRti i系 统 方 框 图Ui(s) H(s) I(s) 作 业 ：解 : 机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换得 零 状 态 响 应 电 流Ui(s)= ui(t) )(u)(1 teeLaR tLRta LsRUUsH ii )s()s()(I(s) LRsLas 111 tae = -1I(s)i(t)=而（ 3） 求 出 Ui(s) H(s) I(s)（ 5） 作 Laplace反 变 换 as 1Ls)(I(s) i R sU 21L1 LRskask （ 4） 用 部 分 分 式 法 ， 求 aLR 11k LRa 12k