高等数学第二章PPT

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1、第 一 节 导 数 的 概 念一 、 导 数 概 念 的 引 出二 、 导 数 的 定 义三 、 求 导 数 举 例四 、 单 侧 导 数五 、 可 导 与 连 续 的 关 系六 、 小 结 一 、 导 数 概 念 的 引 出1.自 由 落 体 运 动 的 瞬 时 速 度 问 题 0t t,0时 刻 的 瞬 时 速 度求 t t如 图 , ,0 tt 的 时 刻取 一 邻 近 于 ,t运 动 时 间sv t 平 均 速 度 00tt ss ).(2 0 ttg ,0时当 tt 取 极 限 得 0 0( )lim 2t t g t tv 瞬 时 速 度 .0gt 2.切 线 问 题 割 线 的

2、极 限 位 置 切 线 位 置 播 放 T0 x xo xy )(xfy C NM如 图 , 如 果 割 线 MN绕 点M旋 转 而 趋 向 极 限 位 置MT,直 线 MT就 称 为 曲 线C在 点 M处 的 切 线 .极 限 位 置 即 .0,0 NMTMN ).,(),( 00 yxNyxM设的 斜 率 为割 线 MN 00tan xx yy ,)()( 0 0 xx xfxf , 0 xxMN C 沿 曲 线 的 斜 率 为切 线 MT .)()(limtan 0 00 xx xfxfk xx 二 、 导 数 的 定 义 ,)( ,)( ,0 );()( ,) (, )( 000 00

3、0 0 0 xxyxxfy xxfy xx yxfxxfy yxx xxx xxfy 记 为处 的 导 数在 点数 并 称 这 个 极 限 为 函处 可 导在 点 则 称 函 数时 的 极 限 存 在之 比 当 与如 果得 增 量 取相 应 地 函 数时仍 在 该 邻 域 内 点处 取 得 增 量在当 自 变 量有 定 义 的 某 个 邻 域 内在 点设 函 数定 义 .)()(lim)( 0000 h xfhxfxf h 其 它 形 式 .)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx x xfxxfxyy xxxx )()(limlim 00000 ,d )(ddd 00 xx

4、xx xxfxy 或即 . ,0慢 程 度 而 变 化 的 快因 变 量 随 自 变 量 的 变 化反 映 了 它处 的 变 化 率点 导 数 是 因 变 量 在 点 x .)(, )( 内 可 导在 开 区 间就 称 函 数处 都 可 导 内 的 每 点在 开 区 间如 果 函 数 Ixf Ixfy 关 于 导 数 的 说 明 ： .d )(ddd),(, .)(. )(, xxfxyxfy xfxfIx 或记 作 的 导 函 数这 个 函 数 叫 做 原 来 函 数导 数 值 的 一 个 确 定 的都 对 应 着对 于 任 一 x xfxxfy x )()(lim0即 .)()(lim)(

5、 0 h xfhxfxf h 或注 意 : .)()(.1 00 xxxfxf 播 放 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 三 、 求 导 数 举 例步 骤 : );()()1( xfxxfy 求 增 量 ;)()()2( x xfxxfxy 算 比 值 .lim)3( 0 xyy x 求 极 限例 1 .)()( 的 导 数为 常 数求 函 数 CCxf 解 h xfhxfxf h )()(lim)( 0 hCCh 0lim .0.0)( C即 例 2 .)(sin)(sin,sin)( 4 xxxxxf 及求设 函 数解 h xhx

6、x h sin)sin(lim)(sin 0 2 2sin)2cos(lim0 hhhxh .cos x.cos)(sin xx 即 44 cos)(sin xx xx .22 例 3 .)( 的 导 数为 正 整 数求 函 数 nxy n解 h xhxx nnhn )(lim)( 0 !2 )1(lim 1210 nnnh hhxnnnx 1 nnx.)( 1 nn nxx即更 一 般 地 )(.)( 1 Rxx )( x例 如 , 12121 x .21x)( 1 x 11)1( x .12x 例 4 .)1,0()( 的 导 数求 函 数 aaaxf x解 h aaa xhxhx 0li

7、m)( haa hhx 1lim0 .lnaax .ln)( aaa xx 即 .e)e( xx 例 5 .)1,0(log 的 导 数求 函 数 aaxy a解 h xhxy aah log)(loglim0 .elog1)(log aa xx 即 .1)(ln xx xxh xhah 1)1(loglim0 hxah xhx )1(loglim1 0 .elog1 ax 例 6 .0)( 处 的 可 导 性在讨 论 函 数 xxxf解 xy xyo,)0()0( hhh fhf hhh fhf hh 00 lim)0()0(lim ,1hhh fhf hh 00 lim)0()0(lim

8、.1),0()0( ff即 .0)( 点 不 可 导在函 数 xxfy 2.右 导 数 :1.左 导 数 : ;)()(lim)()(lim)( 0000 00 0 x xfxxfxx xfxfxf xxx ;)()(lim)()(lim)( 0000 00 0 x xfxxfxx xfxfxf xxx 函 数 )(xf 在 点 0 x 处 可 导 左 导 数 )( 0 xf 和 右导 数 )( 0 xf 都 存 在 且 相 等 . 四 、 单 侧 导 数 如 果 )(xf 在 开 区 间 ba, 内 可 导 ， 且 )(af 及)(bf 都 存 在 ， 就 说 )(xf 在 闭 区 间 ba

9、, 上 可 导 . . ,),( ),()( 000可 导 性 的讨 论 在 点设 函 数 xxxx xxxxf x xfxxf x )()(lim 000若 x xxxx )()(lim 000 ,)( 0 存 在xf 则 )(xf 在 点 0 x 可 导 ， ,)( 0 存 在xfx xfxxfx )()(lim 000若 x xxxx )()(lim 000 ,)()( 00 axfxf 且 .)( 0 axf 且 o xy )(xfy T0 xM1.几 何 意 义 )(,tan)( , )(,( )()( 0 000 为 倾 角即切 线 的 斜 率 处 的在 点 表 示 曲 线 xf

10、xfxM xfyxf切 线 方 程 为法 线 方 程 为 ).)( 000 xxxfyy ).()(1 000 xxxfyy 例 7 ., )2,21(1 方 程 和 法 线 方 程并 写 出 在 该 点 处 的 切 线斜 率 处 的 切 线 的在 点求 等 边 双 曲 线 xy解 由 导 数 的 几 何 意 义 , 得 切 线 斜 率 为21 xyk 21)1( xx 2121 xx .4所 求 切 线 方 程 为法 线 方 程 为 ),21(42 xy ),21(412 xy .044 yx即 .01582 yx即 2.物 理 意 义 非 均 匀 变 化 量 的 瞬 时 变 化 率 .变

11、速 直 线 运 动 :路 程 对 时 间 的 导 数 为 物 体 的瞬 时 速 度 . .ddlim)( 0 tststv t 交 流 电 路 :电 量 对 时 间 的 导 数 为 电 流 强 度 .ddlim)( 0 tqtqti t 非 均 匀 的 物 体 :质 量 对 长 度 (面 积 ,体 积 )的 导数 为 物 体 的 线 (面 ,体 )密 度 . 五 、 可 导 与 连 续 的 关 系定 理 凡 可 导 函 数 都 是 连 续 函 数 .证 ,)( 0可 导在 点设 函 数 xxf )(lim 00 xfxyx )( 0 xfxy xxxfy )( 0)(limlim 000 xx

12、xfy xx 0.)( 0连 续在 点函 数 xxf )0(0 x 连 续 函 数 不 存 在 导 数 举 例 .,)( )()(,)(.1 000函 数 在 角 点 不 可 导的 角 点为 函 数 则 称 点若连 续函 数 xf xxfxfxf xy2xy 0 xy 例 如 , ,0, 0,)( 2 xx xxxf .)(0,0 的 角 点为处 不 可 导在 xfxx 注 意 : 该 定 理 的 逆 定 理 不 成 立 . 3 1 xy xy0 1 )(.)( ,)()(limlim ,)(.2 0 0000 0 不 可 导有 无 穷 导 数在 点称 函 数 但连 续在 点设 函 数 xxf

13、 x xfxxfxy xxf xx 例 如 , ,1)( 3 xxf .1处 不 可 导在 x .,)( )(.3 0点 不 可 导则指 摆 动 不 定 不 存 在在 连 续 点 的 左 右 导 数 都函 数 xxf ,0,0 0,1sin)( xxxxxf例 如 , .0处 不 可 导在 x 01 1/ 1/ xy .)( )(, ,)(.4 0 00不 可 导 点 的 尖 点为 函 数则 称 点符 号 相 反 的 两 个 单 侧 导 数且 在 点若 xfx xxf xyo xy 0 xo)(xfy )(xfy 例 8 .0 ,0,0 0,1sin)(处 的 连 续 性 与 可 导 性在讨

14、论 函 数 x xxxxxf解 ,1sin 是 有 界 函 数x 01sinlim0 xxx .0)( 处 连 续在 xxf处 有但 在 0 x x xxxy 00 1sin)0( x 1sin .11,0 之 间 振 荡 而 极 限 不 存 在和在时当 xyx .0)( 处 不 可 导在 xxf 0)(lim)0( 0 xff x 六 、 小 结1. 导 数 的 实 质 : 增 量 比 的 极 限 ; 2. axf )( 0 )( 0 xf ;)( 0 axf 3. 导 数 的 几 何 意 义 : 切 线 的 斜 率 ;4. 函 数 可 导 一 定 连 续 ， 但 连 续 不 一 定 可 导

15、 ;5. 求 导 数 最 基 本 的 方 法 : 由 定 义 求 导 数 ;6. 判 断 可 导 性 不 连 续 ,一 定 不 可 导 .连 续 直 接 用 定 义 ;看 左 右 导 数 是 否 存 在 且 相 等 . 思 考 题 函 数 )(xf 在 某 点 0 x 处 的 导 数 )( 0 xf与 导 函 数 )(xf 有 什 么 区 别 与 联 系 ？ 思 考 题 解 答 由 导 数 的 定 义 知 ， )( 0 xf 是 一 个 具 体 的 数 值 ， )(xf 是 由 于 )(xf 在 某 区 间 上 每 一 点 都 可 导 而 定 义 在 I 上 的 一 个 新 函 数 ， 即Ix

16、 ， 有 唯 一 值 )(xf 与 之 对 应 ， 所 以 两 者 的 区 别 是 ： 一 个 是 数 值 ， 另 一 个 是 函 数 两 者 的 联 系 是 ： 在 某 点 0 x 处 的 导 数 )( 0 xf 即 是 导 函 数 )(xf 在 0 x 处 的 函 数 值 I 一 、 填 空 题 ： 1.设 )(xf 在 0 xx 处 可 导 ， 即 )( 0 xf 存 在 ， 则 _)()(lim 000 x xfxxfx , _)()(lim 000 x xfxxfx . 2.已 知 物 体 的 运 动 规 律 为 2ts (米 )， 则 该 物 体 在 2t 秒 时 的 速 度 为

17、_ . 3.设 3 21 )( xxy , 22 1)( xxy , 53 223 )( xxxxy ,则 它 们 的 导 数 分 别 为 xydd 1 =_ ，xydd 2 =_ ， xydd 3 =_ . 练 习 题 4. 设 2)( xxf , 则 )(xff _ ； )(xff _. 5. 曲 线 xy e 在 点 )1,0( 处 的 切 线 方 程 为 _. 二 、 在 下 列 各 题 中 均 假 定 )( 0 xf 存 在 ， 按 照 导 数 的 定 义 观 察 下 列 极 限 ， 分 析 并 指 出 A表 示 什 么 ？ 1. Axx xfxfxx 0 0 )()(lim0 ；

18、2. Ahhfh )(lim0 ， 其 中 )0(0)0( ff 且 存 在 ； 3. Ah hxfhxfh )()(lim 000 . 三 、 证 明 ： 若 )(xf 为 偶 函 数 且 )0(f 存 在 ， 则 0)0( f . 八 、 设 有 一 根 细 棒 ， 取 棒 的 一 端 作 为 原 点 ， 棒 上 任 意 点 的 坐 标 为 x ， 于 是 分 布 在 区 间 1,0 上 细 棒 的 质 量 m 是 x 的 函 数 )(xmm 应 怎 样 确 定 细 棒 在 点0 x 处 的 线 密 度 （ 对 于 均 匀 细 棒 来 说 ， 单 位 长 度 细 棒 的 质 量 叫 作 这

19、 细 棒 的 线 密 度 ） ？ 练 习 题 答 案 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极

20、 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率

21、 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 . 2.导 函 数 (瞬 时 变 化 率 )是 函 数 平 均 变 化 率 的 逼 近函 数 .