随机过程的发展

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1、随机过程的发展随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随 机因素的影响，它本身具有随机性，因此xn,n=1,2，便是一个随机过程。类似地，森林中某 种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置 百货公司每天的顾客数,等等， 都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随 机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质（是否连续、可微等等）？分子从一点出发能达 到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何 进行的，要经

2、过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会 分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这 些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，A.A马尔可夫研究过一列有特定 相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出 了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要 的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，A.H. 柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法；三年后，A只辛钦发表

3、了平稳过程的相关理 论。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关 于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L杜布的名著 随机过程论问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了 关于布朗运动的随机微分方程的理论（见随机积分），为研究马尔可夫过程开辟了新的道路； 近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的 理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果， 在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学

4、者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、 停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、 希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法 在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形 上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与 位势、各种特殊过程的专题讨论等。随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方

5、 程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活 动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应 用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、 遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作 用更为显著。随机过程的定义 设（Q,F,p）为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时 间)，如果对每个tWT,有定义在Q上的实随机变量x(t)与之对应，就称随机变量族x= x(t),tWT为一随机过程(简称过程)。研究得最多的是T为实数集R = (q, 8

6、)的子集的情 形；如果T为整数n的集，也称xn为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd (d为大于 1的正整数)的子集，则称x为多指标随机过程。过程x实际上是两个变元(t,3)(tWT,3 WQ)的函数，当t固定时，它是一个随机变量；当 W固定时，它是t的函数，称此函数为随机过程(对应于3)的轨道或样本函数。如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,)为可测空间(即 E为任意非空集,为E的某些子集组成的o域)，称X=(X(3), weo)为取值于E的随机元， 如果对任一 Be&w：x(w)eBeF。特别如果为Rd中全体波莱尔集所成的o域(称波莱尔 域)，则取值于Rd中

7、的随机元即d维随机向量。如果其中RT为全体实值函数/=(/(t),teT) 的集,而为包含一切RT中有限维柱集的最小o域，则取值于E的随机元x即为上述的(实 值)随机过程。如对每个teT,有取值于E的随机元x(t)与之对应，则称x(t)，teT为取值于 E的随机过程。以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1，B1)的随机过程。有穷维分布族一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律(见概率分布)，对随机过 程x=x(t)，teT起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意n个tjeT，i=1, 2,n, 考虑的联合分布函数，全体联合分布称为x的有穷维分布族,它显然满足下列相容性条件 对(1,2,，n

8、)的任一排列(入1,入2,，入n). 若mvn,贝鴨反之，有著名的柯尔莫哥洛夫定理：设已给T及一族分布函数如果它满 足、，则必存在概率空间(Q,F,p)及定义于其上的随机过程x,而且x的有穷维分布族重 合于F。从测度论的观点看，每一随机过程x=x(t)，teT在(RT，BT)上产生一概率测度PX,称为x 的分布，它在上述柱集上的值就是正态过程有穷维分布都是正态分布的随机过程,又称高斯过程。就象一维正态分布被它 的均值(见数学期望)和方差所确定一样，正态过程x(t)，teT被它的均值函数m(t)=Ex(t)和 协方差函数入(s,t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所确定，其中A(s, t)

9、是对称非负定函数，即A(s, t)=A(t,s),而且对任意的tjeT及实数aj, 1in,有反之，对任给的有限实值函数m(t)和对称非负定函数入(s,t)，由柯尔莫哥洛夫定理可 证，存在一个正态过程，以m(t)为其均值函数，以入(s,t)为其协方差函数根据中心极限定理，许多实际问题中出现的随机过程可近似地视为正态过程。此外，正态 过程有一系列的好性质，如它的最佳线性估计重合于条件期望，这一点在应用上是很方便的， 既准确又便于计算。因此正态过程在实际中有广泛的应用，在无线电通讯及自动控制中尤为 重要。为方便计，设 m(t)呏 0。任取 tj，teT，用 L(x(t1),x(t2), .,x(t

10、n)表示由 x(t1),x(t2),.,x(tn) 的线性组合所构成的希尔伯特空间，x(t)在此空间上的投影记作称为x(t)关于x(t1), x(t2),，x(tn)的最佳线性估计,即线性最小均方误差估计;条件期望 E(x(t)|x(t1),x(t2),，x(tn)则是非线性的最小均方误差估计。对正态过程来讲，这两种估计 以概率1相等。可分性设F是p-完备的，即F包含任何概率为零的集的一切子集。在随机过程的研究中,Q 的某些重要的子集并不能由事件(即F中的元素)经可列次集运算而得到。例如对一切若T 不可列，则作为不可列多个事件的交,A未必是一个事件，也就谈不上它的概率。为了解决这类 问题，杜布

11、引进了随机过程可分性的概念。称过程x关于T的某一可列稠集Q可分(或简称 可分)，是指除了一个概率为零的集N外,x在每一 teT处的值，可以用限于Q的x在t附近 的值来任意逼近；即任给不属于N的w，存在rjeQ,使得rjt,且x(rj,w)x(t,w)o所谓Q 为T的稠集，是指T的每一点必是Q中某个点列的极限。如果x关于Q可分，则可以证 明上述的A是一个事件，而且有p(A) = p(w:|x(r,w)|a,对一切reQ)。如果过程x关于T 的任一可列稠集都可分，则称x完全可分。设x=x(t)，teT与Y=Y(t),teT为定义在概率空间(Q, F，p),上的两个随机过程,如果对 任何teT,p(

12、x(t)=Y(t)=1,则称x与Y等价(x与Y互为修正)；这时，x和Y有相同的有穷维 分布族。虽然任给的过程x未必可分，但杜布证明了下列重要结果：对任一过程x,必存在 与它等价的可分过程Y。因此在讨论仅与有穷维分布有关的性质时，可取一可分过程Y来 代替Xo过程x称为随机连续，如果对任一 toeT，在依概率收敛的意义下(见概率论中的收敛)有，对 随机连续的过程x,必存在一个完全可分过程Y与之等价。可测性 为了研究样本函数对t的积分等问题，需要x(t,w)关于两个变量(t,w)的可测性。设 T是R中某区间，B(T)是T中全体波莱尔集所成的o域,B(T)xF表示乘积o域,p=LxP表示 勒贝格测度L

13、(见测度论)与p的乘积测度，表示B(T)xF关于p的完备化o域。称随机过程x为可测的，如果对任一实数a,有：称随机过程x为波莱尔可测的，如果对 任一实数a,有。如果过程x随机连续，则必存在与x等价的、可测而且完全可分的过程 Yo有时还需要更强的可测性。设给了 F的一族子o域, teT,其中T=R+=【O, 8),满足： 单调性，对st,嶅；右连续性，完备性，F0包含F的一切概率为零的集。称x为-适应的，如果对任一t, xt为可测；称xt为-循序可测的，如果对任一teT及实数a, 有(s,w):x(s,w)a, st(【0,t】)xo循序可测过程一定是适应的而且是波莱尔可测的，但逆之不然，除非样

14、本函数性质较好。 例如所有样本函数都右连续的适应过程一定是循序可测。使一切样本函数右连续的适应过程 都可测的TxQ上的最小o域，称为可选o域，关于可选o域可测的过程称为可选过程。可 见，可选可测性是比循序可测性更强的一种可测性。进一步，使一切样本函数连续的适应过 程都可测的T xQ上的最小o域，称为可料o域，关于可料o域可测的过程称为可料过程。 这又是一种比可选可测性更强的可测性。可以证明，样本函数左连续的适应过程都是可料过 程。轨道性质 当人们观察物体作随机运动时，最感兴趣的问题之一是它的轨道性状，因此随机过程论中一个重要问题是研究轨道性质，例如探讨在什么条件下，过程的轨道X(t,3), a

15、t0，0，c0，使得对任意的tea,b,t+Ate 【a,b】，有,则过程的轨道以概率1在【a,b】上一致连续。设可分过程x(t)，te【a,b】 随机连续，而且存在常数p0, q0, r0, c0，使得对任意的at1t2t30,a0,使得x的轨道就以概率1连续。停时这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事，它带来了许多新的研究课题， 而且扩大了理论的应用范围。早在1945年，J.L.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停 时的思想。60年代杜布、E.5.登金(又译邓肯)、R.M.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马 尔可夫过程的研究；70年代，由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善。直观

16、上，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量t的随机化。例如，灯 泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻T,T(3)=inft0,x(t,3)eA,且约定inf=w,当x的轨道连续而且A是一个闭集时， T就是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t0, Tteox(u),u0,总有Tte。 这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻 T是否不迟于t这一信息应包含在之中。类似于，对停时t可以定义o域，其中为包含一切的最小o域。Ft可理解为过程到t为止 的全部信息。停时有许多好的性质，例如，若Tl、t

17、2是停时，则Tlv t2、t1a t2也是停时，其中,;还有， 这里表示包含、的最小o域；进一步，若Tn是一列停时，则也是停时。更细致地研究停时， 需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。二阶过程均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要 结果之一是它的积分表示。设F是可测空间(a ,A)上的有限测度，如果对每一 AeA，有一复 值随机变量Z(A)与它对应，且满足：E|Z(A)|2 8；则称Z=Z(A), AeA为(a , A)上的 正交随机测度。定义在a上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2 (a , A, F)。给了一个正交随机测度乙一族函

18、数,，就可以产生一个二阶过程，满足它的二阶矩为(2)反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示(2),就一定存在一个正交随机测度乙 使过程本身有积分表示(1)。(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的 实二阶过程x(t),te【a,b)】,则有级数展开式其中nn是标准正交实随机变量序列，即； 6nm=0，n=m时Qnm=1)，入n是积分方程的本征值，屮n是相应的本征函数(t,s)=Ex(t)x (s)。特殊随机过程类对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正 态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分 支过程

19、等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结 构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发，可以构造出许多其他过程。这两种过程 的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶梯函数。广义过程正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D 为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数Q的集，定义在D上的连续线性泛函称为广 义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑DxQ上的二元函数x(Q,3)，如果对固定的 3,X(,3)WDX是广义函数，而对固定的Q,X(Q, )是随机变量，则称X3)：QWD为定义在 (Q,F,p)上的广义过程。它在，啊上的联合分布为全体这种联合分布构成了广义过程X的有穷维分布族。前两阶矩分别称为均值泛函和相关泛函根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程 等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数022,2n,有限维分布都是正态分布，则 称X = X3)为广义正态过程。