高中数学选修1-1第三章课件334生活中的优化问题举例人教A版

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1、 一 、 如 何 判 断 函 数 函 数 的 单 调 性 ？ f(x)为 增 函 数f(x)为 减 函 数 设 函 数 y=f(x) 在 某 个 区 间 内 可 导 ，二 、 如 何 求 函 数 的 极 值 与 最 值 ？求 函 数 极 值 的 一 般 步 骤 （ 1） 确 定 定 义 域 （ 2） 求 导 数 f(x)（ 3） 求 f(x)=0的 根 （ 4） 列 表 （ 5） 判 断求 f(x)在 闭 区 间 a,b上 的 最 值 的 步 骤 ： (1) 求 f(x)在 区 间 (a,b)内 极 值 ；(2) 将 y=f(x)的 各 极 值 与 f(a)、 f(b） 比 较 ,从 而 确

2、定 函 数 的 最 值 。 生 活 中 经 常 遇 到 求 利 润 最 大 、用 料 最 省 、 效 率 最 高 等 问 题 ， 这些 问 题 通 常 称 为 优 化 问 题 .通 过 前面 的 学 习 ， 我 们 知 道 ， 导 数 是 求函 数 最 大 （ 小 ） 值 的 有 力 工 具 ，本 节 我 们 运 用 导 数 ， 解 决 一 些 生活 中 的 优 化 问 题 . 例 1： 海 报 版 面 尺 寸 的 设 计 学 校 或 班 级 举 行 活 动 ， 通 常 需 要 张 贴 海 报 进 行宣 传 。 现 让 你 设 计 一 张 如 图 3.4-1所 示 的 竖 向 张 贴的 海 报

3、 ， 要 求 版 心 面 积 为 128dm2， 上 、 下 两 边 各空 2dm， 左 、 右 两 边 各 空 1dm， 如 何 设 计 海 报 的尺 寸 ， 才 能 使 四 周 空 白 面 积 最 小 ？x 图 3.4-1 分 析 ： 已 知 版 心 的 面积 ， 你 能 否 设 出 版 心 的高 ， 求 出 版 心 的 宽 ， 从而 列 出 海 报 四 周 的 面 积来 ？ S因 此 , =16是 函 数 的 极 小 值 点 ， 也 是 最 小 值 点 .所 以 当版 心 高 为 16dm， 宽 为 时 8dm， 能 使 四 周 空 白 面 积 最 小 。 128( ) ( 4)( 2)

4、 128S 5122 8, .0 = 2512( ) 2 0, 16S 解 得 16( 舍 去 )令 128于 是 宽 为 16128= =8 解 :设 版 心 的 高 为 m,则 版 心 的 宽 为 m， 此 时 四 周 空白 面 积 为 x x128 .0 ,16016,0 xs xxsx 时 ，； 当时 ，当 你 还 有 其 他 解 法吗 ？ 例 如 用 基 本不 等 式 行 不 ？ 规 格 （ L） 2 1.25 0.6价 格 （ 元 ） 5.1 4.5 2.5例 2： 饮 料 瓶 大 小 对 饮 料 公 司 利 润 的 影 响 下 面 是 某 品 牌 饮 料 的 三 种 规 格 不

5、同 的 产 品 ， 若 它 们的 价 格 如 下 表 所 示 ， 则（ 1） 对 消 费 者 而 言 ， 选 择 哪 一 种 更 合 算 呢 ？（ 2） 对 制 造 商 而 言 ， 哪 一 种 的 利 润 更 大 ？ 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形 瓶 装 的 某 种 饮 料 ， 瓶 子 的 制 造成 本 是 0.8pr2分 ， 其 中 r是 瓶 子 的 半 径 ， 单 位 是 厘 米 ， 已 知 每 出售 1ml的 饮 料 ， 制 造 商 可 获 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 造 的 瓶 子 的最 大 半 径 为 6cm， 则 每 瓶 饮 料 的 利 润 何 时 最

6、大 ， 何 时 最 小 呢 ？ 2( )= 0.8 -2 0 = 2( ) ，f r r r r令 得r (0， 2) 2 (2， 6f (r) 0f (r) - +减 函 数 增 函 数 -1.07p解 ： 每 个 瓶 的 容 积 为 : 每 瓶 饮 料 的 利 润 ： 3 24( ) 0.2 0.83y f r r rp p 3 2= 0.8 ( - )3r r )60( r解 ： 由 于 瓶 子 的 半 径 为 r， 所 以 每 瓶 饮 料 的 利 润 是 ryo )3(8.0)( 23 rrrf p2 31、 当 半 径 为 2cm时 ,利 润 最 小 ,这 时 f(2)0,2、 当

7、半 径 为 6cm时 ， 利 润 最 大 。从 图 中 可 以 看 出 :从 图 中 ， 你还 能 看 出 什么 吗 ？ 例 3下 文 请 看 课 本 P111 解 ： 存 储 量 =磁 道 数 每 磁 道 的 比 特 数 设 存 储 区 的 半 径 介 于 r与 R之 间 ， 由 于 磁 道 之 间 的 宽度 必 须 大 于 m， 且 最 外 面 的 磁 道 不 存 储 人 行 信 息 ， 所 以磁 道 最 多 可 达 又 由 于 每 条 磁 道 上 的 比 特 数 相同 ， 为 获 得 最 大 的 存 储 量 ， 最 内 一 条 磁 道 必 须 装 满 ， 即每 条 磁 道 上 的 比 特

8、 数 可 达 到 所 以 ， 磁 道 总 存 储 量,mrR .2n rp .22 rRrmnrnrmrRrf pp（ 1） 它 是 一 个 关 于 r的 二 次 函 数 ， 从 函 数 的 解 析 式 上 可以 判 断 ， 不 是 r越 小 ， 磁 盘 的 存 储 量 越 大 . (2)为 求 的 最 大 值 ， 计 算 xf ,0 rf ,2 rRmnrf p令 0 rf解 得 2Rr ,02;02 rfRrrfRr 时 ，当时 ，当因 此 ， 当 时 ， 磁 道 具 有 最 大 的 存 储 量 ， 最 大存 储 量 为 2Rr .2 2mnRp 由 上 述 例 子 ， 我 们 不 难 发

9、 现 ， 解 决 优 化 问 题 的基 本 思 路 是 ：优 化 问 题 用 函 数 表 示 的 数 学 问 题用 导 数 解 决 数 学 问 题优 化 问 题 的 答 案上 述 解 决 优 化 问 题 的 过 程 是 一 个 典 型 的 数 学 建 模 过程 。 1:在 边 长 为 60cm的 正 方 形 铁 皮的 四 角 切 去 相 等 的 正 方 形 ,再 把它 的 边 沿 虚 线 折 起 (如 图 ),做 成 一个 无 盖 的 方 底 箱 子 ,箱 底 边 长 为多 少 时 ,箱 子 的 容 积 最 大 ?最 大 容 积 是 多 少 ?解 :设 箱 底 边 长 为 x,则 箱 高 h=

10、(60-x)/2.箱 子 容 积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令 ,解 得 x=0(舍 去 ),x=40.且V(40)=16000. 02360)( 2 xxxV由 题 意 可 知 ,当 x过 小 (接 近 0)或 过 大 (接 近 60)时 ,箱 子的 容 积 很 小 ,因 此 ,16000是 最 大 值 . 答 :当 x=40cm时 ,箱 子 容 积 最 大 ,最 大 容 积 16000cm3. 2:圆 柱 形 金 属 饮 料 罐 的 容 积 一 定 时 ,它 的 高 与 底 半 径 应怎 样 选 取 ,才 能 使 所 用 的 材 料 最 省 ?解 :设 圆

11、柱 的 高 为 h,底 半 径 为 r,则 表 面 积 S=2rh+2r2.由 V=r2h,得 ,则2rVh p .2222)( 222 rrVrrVrrS pppp 令 ,解 得 ,从 而 ,即 h=2r.042)( 2 rrVrS p 3 2pVr 232 )2( ppp VVrVh 33 224 pp VV 由 于 S(r)只 有 一 个 极 值 ,所 以 它 是 最 小 值 .答 :当 罐 的 高 与 底 直 径 相 等 时 ,所 用 的 材 料 最 省 . rh xy练 习 3 如 图 ,在 二 次 函 数f(x)=4x-x2的 图 象 与 x轴 所 围 成 的 图 形 中 有 一

12、个 内 接矩 形 ABCD,求 这 个 矩 形 的最 大 面 积 .解 :设 B(x,0)(0 x2), 则 A(x, 4x-x2).从 而 |AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故 矩 形 ABCD的 面 积为 :S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得 x=1.0)( xf而 0 x1时 , ,所 以 x=1是 f(x)的极 小 值 点 . 0)( xf 0)( xf所 以 当 x=1时 ,f(x)取 最 小 值 f(1)=1.从 而 当 x0时 ,f(x)1恒 成 立 ,即 : 成 立 . 2)1(211ln xxx3)1(321 x 作 业 ： 课 本 P37 习 题 1.4 A组 1、 3、 5 课 后 练 习 ： 学 案