湖南省永州市新田县第一中学高中数学 6 函数的极值与导数课件 理 新人教A版选修2-2

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1、1.3.2 1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：下关系：在某个区间在某个区间 内，如果内，如果，那么，那么函数函数 在这个区间内单调递增；如果在这个区间内单调递增；如果，那么函数，那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递减。单调递减。知识回顾知识回顾(2)(2)求导数求导数(3)(3)解不等式解不等式;或解不等式或解不等式 .(1)求求 的定义域的定义域D D(4)与定义域求交集与定义域求交集利用导数讨论函数单调性的一般步骤利用导数讨论函数单调性的一般步骤:(5)写出单调区间写出单调区间htoab观

2、察：如下图，我们发现，当观察：如下图，我们发现，当t=a时，高台跳水时，高台跳水运动员距离水面的高度最大，那么函数运动员距离水面的高度最大，那么函数h(t)在此在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应的导数的符号有什么变化规律？相应的导数的符号有什么变化规律？思考：思考：思考：对于一般的函数思考：对于一般的函数y=f(x)是否也有类似的性质呢？是否也有类似的性质呢？如下图如下图(1)(2)函数函数y=f(x)在在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x

3、)在这些点在这些点附近的导数值是多少？在这些点附近，附近的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的导数符号有什么变化规律？符号有什么变化规律？yxoabyxocd efgh(1)(2)【函数极值的定义】【函数极值的定义】设函数设函数y=f(x)在在x=x0及其附近有定义，及其附近有定义，(1)如果在如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即函数值都大，即f(x)f(x0)，则称，则称 f(x0)是函数是函数 y=f(x)的一个极小值。记作的一个极小值。记作:y极小值极小值=f(x0)，点点x0为极大值点。为极大值点。极大值与极小值统称为极值极

4、大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点极大值点与极小值点统称为极值点【关于极值概念的几点说明】【关于极值概念的几点说明】(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的画的是函数的局部性质局部性质；(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值;(3)函数的极大函数的极大(小小)值可能不止一个值可能不止一个,而且而且函数的极大值未必大于极小值函数的极大值未必大于极小值;(4)函数的极大函数的极大(小小)值只能在定义域内部取得，值只能在定义域内部取得，不能在定义区间的端点取得不能在定义区间的端点取得;观

5、察上述图象，观察上述图象，说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。yxocd efgh【问题探究】【问题探究】函数函数y=f(x)在极值点的导数值为多少在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律在极值点附近的导数符号有什么规律?yxoab 一般地，当函数一般地，当函数 在点在点 处连续时，判断处连续时，判断 是极是极大（小）值的方法是：大（小）值的方法是：（1）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那，那么么 是极大值是极大值 （2）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那，那么么 是极小值是极小值注注：导数为：导数

6、为0的点不一定是极值点的点不一定是极值点【函数的极值与导数的关系】【函数的极值与导数的关系】【函数的极值与导数的关系】【函数的极值与导数的关系】当当例例1 1、求函数求函数 的极值的极值 例题讲解例题讲解解：解：当当x变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：+00+极大值极大值y2(-2,2)-2x极小值极小值令令 ，解得，解得当当 时，时，y有极大值，并且有极大值，并且当当 时，时，y有极小值，并且有极小值，并且小结小结 （3）检查）检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么负，那么 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极

7、大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值在这个根处取得极小值(列表求极值列表求极值)（2）求方程）求方程 的根的根（1）求导数）求导数 .求可导函数求可导函数 的极值的步骤如下：的极值的步骤如下：例例2 2、求函数求函数 的极值的极值 解：解：当当x变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：无极值无极值极小值极小值0无极值无极值y+0+001(0,1)0(-1,0)-1x令令 ，解得，解得当当 时，时，y有极小值，并且有极小值，并且例例例例3:3:已知已知已知已知 ，在在在在 时取得极值，且时取得极值，且时取得极值，且时取得极值，且 ，求，求，求，求 的表达式。的表达式。的表达

8、式。的表达式。一般地，当函数一般地，当函数 在点在点 处连续时，判断处连续时，判断 是极是极大（小）值的方法是：大（小）值的方法是：（1）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那，那么么 是极大值是极大值 （2）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那，那么么 是极小值是极小值注注：导数为：导数为0的点不一定是极值点的点不一定是极值点【函数的极值与导数的关系】【函数的极值与导数的关系】【函数的极值与导数的关系】【函数的极值与导数的关系】当当 （3）检查）检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么负，那么 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值在这个根处取得极小值(列表求极值列表求极值)（2）求方程）求方程 的根的根（1）求导数）求导数 .求可导函数求可导函数 的极值的步骤如下：的极值的步骤如下：作业：作业：P32 A组组 4、5(1)(3)