高二数学生活中的优化问题举例3

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1、鹿 邑 三 高 高 二 数 学 组 史 琳生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 用 导 数 法 确 定 函 数 的 单 调 性 时 的 步 骤 是 ：（ 1） 求 出 函 数 的 导 函 数 f (x)（ 2） 求 解 不 等 式 f (x)0， 求 得 其 解 集 ， 再 根 据 解 集 写 出 单 调 递 增 区 间（ 3） 求 解 不 等 式 f (x)0， 求 得 其 解 集 ， 再 根 据 解 集 写 出 单 调 递 减 区 间注 、 单 调 区 间 不 以 “ 并 集 ” 出 现 。 导 数 的 应 用 一 :判 断 单 调 性 、 求 单 调 区 间一 、 复 习 与 引 入

2、1. 一 般 地 ,求 函 数 的 极 值 的 方 法 是 : 解 方 程 f(x)=0.当 f (x0)=0时 . 如 果 在 x0附 近 的 左 侧 右 侧 ,那 么 ,f(x0) 是 极 大 值 ;（ 左 正 右 负 极 大 ） 如 果 在 x0附 近 的 左 侧 右 侧 ,那 么 ,f(x0) 是 极 小 值 .（ 左 负 右 正 极 小 ）0)( xf 0)( xf0)( xf 0)( xf2.导 数 为 零 的 点 是 该 点 为 极 值 点 的 必 要 条 件 ,而 不 是 充 分 条 件 .导 数 的 应 用 二 :求 函 数 的 极 值 设 函 数 f(x)的 图 象 在 a

3、,b上 是 连 续 不 断 的 曲 线 ,那么 它 必 有 最 大 值 和 最 小 值在 a,b上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 步 骤 如 下 :求 y=f(x)在 (a， b)内 的 极 值 (极 大 值 与 极 小 值 ); :将 函 数 y=f(x)的 各 极 值 与 f(a)、 f(b)（ 即 端 点 的函 数 值 ） 作 比 较 ,其 中 最 大 的 一 个 为 最 大 值 ,最 小 的 一个 为 最 小 值 . 导 数 的 应 用 三 ： 求 函 数 的 最 值 . ,., . ，问题解决一些生活中的优化数本节我们运用导值的有力工具小导数是求函数最大我们知道习前面的学过通通

4、常称为这些问题最省、效率最高等问题最大、用料生活中经常遇到求利润优化问题 高汽油的使用效率何时最例1 ?2 ?,1 :,.v w,h/km: vL:w,的含义是什么汽油的使用效率最高汽油的消越量越大是不是汽车的速度越快思考下面两个问题根据你的生活经验的函数速度是汽车汽油的消耗量之间有一定关系单位与汽车的速度单位汽油的消耗量我们知道 ., ., ,使汽油使用效率最高效率虑如何提高汽油的使用这就需要考行驶最长路程或每升汽油能够使汽车耗量最少即每千米路程的汽油消的使用效率最高我们希望汽油当汽车行驶路程一定时现实生活中 .G, ,.km: s,L: w,swG, G.km/L:的 最 小 值 问 题就

5、 是 求量 最 少 每 千 米 路 程 的 汽 车 消 耗求这 样单 位程 表 示 汽 车 行 驶 的 路单 位表 示 汽 油 消 耗 量 其 中那 么量每 千 米 平 均 的 汽 油 消 耗 表 示如 果 用程 的 比 值油 消 耗 量 与 汽 车 行 驶 路 就 是 研 究 汽单 位研 究 汽 油 的 使 用 效 率 . ,., ,; , 工 具导 数 往 往 是 一 个 有 力 的 在 这 个 过 程 中使 问 题 得 到 解 决提 出 优 化 方 案 质性再 通 过 研 究 相 应 函 数 的型相 应 的 函 数 模 建 立 与 其和 分 析并 对 数 据 进 行 整 理统 计 数 据

6、 大 量 的的 途 径 之 一 是 通 过 搜 集优 化 问 题解 决 .vfg 14.1)h/km:(v)h/：L,(g ， , 所 示 的 函 数 关 系 之 间 有 如 图单 位行 驶 的 平 均 速 度 与 汽 车单 位耗 量 即 每 小 时 的 汽 油 消率 汽 油 平 均 消 耗过 程 中 汽 车 在 行 驶人 们 发 现对 数 据 进 行 分 析 、 研 究 并通 过 大 量 的 统 计 数 据 ? ,呢油使用效率最高的问题解决汽中的数据信息我们如何根据这个图象那么51015 30 50 60 09 012o h/kmv h/Lg 14.1 图 ., ,v)h/L:,(g,. 的

7、 问 题解 决 汽 油 使 用 效 率 最 高图 象 中 的 数 据 信 息 然 后 利 用之 间 关 系 的 问 题汽 车 行 驶 的 平 均 速 度 与单 位油 消 耗 量 即 每 小 时 的 汽消 耗 率 油 平 均将 问 题 转 化 为 汽我 们 首 先 需 要因 此问 题解 决 汽 油 使 用 效 率 最 高从 图 象 中 我 们 不 能 直 接 ? ?vfg,14.1使用效率最高否表示在此点处汽油的它是最小值的意义是什么函数如图 51015 30 50 60 09 012o h/kmv h/Lg 14.1 图 .t/S t/WSWG 因 为解 的问 题 就 转 化 为 求这 样 v

8、g,? vg,.什 么 表 示从 图 象 上 看最 小 值 .g,v vg,24.1的 直 线 的 斜 率 点表 示 经 过 原 点 与 曲 线 上可 以 看 出从 图 ,我 们 可 以 发 现继 续 观 察 图 象 .h/km90 .,度 约 为 在 此 切 点 处 速其 斜 率 最 小当 直 线 与 曲 线 相 切 时 5 1015 30 50 60 09 012o h/kmv h/Lg km/Lvg斜率gv 24.1 图 .L,90f,2 4.1, .h/km90, , , 约 为即中 切 线 的 斜 率 是 图每 千 米 的 汽 油 消 耗 量 就值 上 看 从 数此 时 的 车 速

9、约 为量 最 少 即 每 千 米 的 汽 油 消 耗的 使 用 效 率 最 高 要 使 汽 油当 汽 车 行 驶 距 离 一 定 时因 此 磁盘的最大存储量问题例2 ?1储、检索信息的吗你知道计算机是如何存 ?2你知道磁盘的结构吗 ?3信息盘存储尽可能多的如何使一个圆环状的磁 .34.1 .bit,10,. ,. , .所示构造如图磁盘的特单元通常称为比这个基本或可分别记录数据根据其磁化与否基本存储单元为磁道上的定长的弧可作区域成扇形扇区是指被圆心角分割成的同心圆轨道磁道是指不同半径所构道和扇区化成磁并由操作系统将其格式有磁性介质的圆盘磁盘是带盘上计算机把信息存储在磁背景知识 34.1 图rR

10、., .n,m ,相同的比特数所有磁道具有磁盘格式化时要求要求检索的方便为了数据度不得小于每比特所占用的磁道长于磁道之间的宽度必须大为了保障磁盘的分辩率 ?)( ,r2 ? ,r1 . Rr ,R:何信息最外面的磁道不存储任存储量磁盘具有最大的为多少时量越大磁经盘的存储越小是不是环形区域的与它的存储区是半径介于的磁盘现有一张半径为问题.每 磁 道 的 比 特 数磁 道 数存 储 量解 .mrR ,m ,Rr以 磁 道 数 最 多 可 达 所任 何 信 息且 最 外 面 的 磁 道 不 存 储度 必 须 大 于 由 于 磁 道 之 间 的 宽之 间与设 存 储 区 的 半 径 介 于 34.1

11、图rR 34.1 图rR .rRrmn2nr2mrRrf , .nr2, , 磁 盘 总 存 储 量以 所道 上 的 比 特 数 可 达 到 即 每 条 磁一 条 磁 道 必 须 装 满 最 内为 获 得 最 大 存 储 量相 同 特 数又 由 于 每 条 磁 道 上 的 比 .,r, ,r1 磁 盘 的 存 储 量 越 大越 小不 是以 判 断 从 函 数 的 解 析 式 上 可的 二 次 函 数它 是 关 于 .0rf,rf2 计 算的 最 大 值为 求 .2Rr,0rf,r2Rmn2rf 解 得令 .mn2R, 2Rr,.0rf,2Rr;0rf,2Rr 2 最 大 存 储 量 为磁 盘

12、具 有 最 大 存 储 量时 当因 此时当时当 ?,r ,?,磁盘的存储量越大越小是不是此时储量那么如何计算磁盘的存正比与磁道的长度成如果每条磁道存储信息思考 利润的影响饮料瓶大小对饮料公司例3 ? ?,1道理吗你想从数学上知道它的一般比大包装的贵些物品市场上等量的小包装的你是否注意过 ?,2饮料公司的利润越大是不是饮料瓶越大 .cm6 ,2.0, mL1., r,r8.0. 2最大半径为且制造商能制作的瓶子分制造商可获利料的饮已知每出售单位是厘米瓶子的半径是其中分瓶子的制造成本是某种饮料装的瓶并出售球形某制造商制造背景知识 ?,2 ? ,1每瓶饮料利润最小瓶子半径多大时润最大能使每瓶饮料的利

13、瓶子半径多大时问题 23 r8.0r342.0rfy ,r 所 以 每 瓶 饮 料 的 利 润 是由 于 瓶 子 的 半 径 为解 .0r2r8.0rf 2 令.6r0 ,r3r8.0 23 .0rf,6,2r;0rf,2,0r .0rf,2r 时当时当 时当 .,rf ,0rf,2r;, ,rf,0rf,2r, 利 润 越 低即 半 径 越 大单 调 递 减示 它 表时半 径利 润 越 高即 半 径 越 大 单 调 递 增它 表 示时当 半 径因 此 ., ,02f,cm2 此 时 利 润 是 负 值瓶 子 成 本瓶 内 饮 料 的 利 润 还 不 够 表 示 此 种这 时利 润 最 小时半

14、 径 为 .,cm6 利 润 最 大时半 径 为 ?,)44.1 (, : 你 有 什 么 发 现上 观 察 图从 函 数 的 图 象直 接数 工 具 们 不 用 导我果如换 一 个 角 度 .,3r; ,cm3,03f ,3r,利 润 才 为 正 值时当好 相 等 成 本 恰饮 料 的 利 润 与 饮 料 瓶 的 时即 瓶 子 半 径 是 时当易 看 出图 象 上 容从 ? ,rf,2,0r解 释 它 的 实 际 意 义 吗 你 能是 减 函 数时当 . ,请 同 学 们 自 己 作 出 回 答题 的 问我 们 很 容 易 回 答 开 始 时通 过 此 问 题 的 解 决 o ry 2 23

15、 r3r8.0rf 44.1 图3 .,直观解释动画演示 : ,本思路是解决优化问题的基我们不难发现由上述例子.建模过程程是一个典型的数学上述解决优化问题的过优化问题用函数表示的数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题 练 习 ： ： 学 校 或 班 级 举 行 活 动 ， 通 常 需 要 张 贴海 报 进 行 宣 传 现 让 你 设 计 一 张 如 图 所 示的 竖 向 张 贴 的 海 报 ， 要 求 版 心 面 积 为上 、 下 两 边 各 空 2dm 左 、 右 两 边 各 空1dm 如 何 设 计 海 报 的 尺 寸 ， 才 能 使 四 周空 白 的 面 积 最 小 ？ 2128dm

16、则 有 xy=128， （ ）另 设 四 周 空 白 面 积 为 ，则 （ ）2( 2) 2 2 1S x y 由 （ ） 式 得 ： 128y x代 入 （ ） 式 中 得 ： 256( ) 4 8( 0).S x x xx 0 2256令 S(x)=0,即 4- x 22568, 4 8 8 72 )8128 16( )8x S dmy dm 最 小 面 积 （此 时 8x dm 解 ： 设 版 心 的 宽 为 x dm， 长 为 y dm xy2 1824 yx 解 法 二 ： 由 解 法 (一 )得256 256( ) 4 8 2 4 8S x x xx x 2 32 8 72 256

17、4 , 8( 0)x x x Sx 当 且 仅 当 即 时 取 最 小 值16128此 时 y= 8 8 16dm dm答 ： 应 使 用 版 心 宽 为 ， 长 为 ， 四 周 空 白 面 积 最 小 已 知 :某 商 品 生 产 成 本 与 产 量 q的 函 数 关 系 式 为100 4C q , 价 格 p与 产 量 q的 函 数 关 系 式 为12 5 8p q 求 产 量 q 为 何 值 时 ， 利 润 L 最 大 ？1(25 ) (100 4 )8L pq C q q q 解 ： 利 润 21 21 1008 q q 1 21, 0,4L q L 令 84q求 得 0L 当 时 ,

18、q 84, 0L 当 时 ,q 84,84q L当 产 量 为 时 ， 利 润 最 大 21 21 1008 q q 1(25 ) (100 4 )8L pq C q q q 另 解 ： 利 润 21 8412 4bq La 当 时 ， 的 值 最 大 h b 60 0 E D CB A分 析 :设 法 把 湿 周 l求 出 来 ,这 是 关 键 h b 60 0 E D CB A 分 析 :法 一 :这 是 一 个 几何 最 值 问 题 ,本 题可 用 对 称 性 技 巧 获得 解 决 . 法 二 :只 要 能 把 AE+BE代 数 化 ,问 题 就 易 解 决A 6 某 宾 馆 有 个 房

19、 间 供 游 客 居 住 ， 当 每 个 房 间 每天 的 定 价 为 元 时 ， 房 间 会 全 部 住 满 ； 房 间 的 单价 每 增 加 元 ， 就 会 有 一 个 房 间 空 闲 如 果 游 客 居住 房 间 ， 宾 馆 每 天 每 间 需 花 费 元 的 各 种 维 修费 房 间 定 价 多 少 时 ， 宾 馆 的 利 润 最 大 ？房 价 应 订 为 多 少解 :设 宾 馆 定 价 为 (180 10 x)元 时 ， 宾 馆 的 利 润 最 大 20)50()50)(10180( xxxW 800034010 2 xx 17,0)( xxW 求 得令 17,0)( xxW 时当

20、17,0)( xxW 时； 当最 大， 利 润当 Wx 17 （ 元 ）此 时 房 价 为 ： 3501710180 解 决 优 化 问 题 的 方 法 之 一 ： 通 过 搜 集 大 量 的 统 计 数 据 ，建 立 与 其 相 应 的 数 学 模 型 ， 再 通 过 研 究 相 应 函 数 的 性 质 ，提 出 优 化 方 案 ， 使 问 题 得 到 解 决 在 这 个 过 程 中 ， 导 数往 往 是 一 个 有 利 的 工 具 ， 其 基 本 思 路 如 以 下 流 程 图 所 示三 小 结优 化 问 题 用 函 数 表 示 数 学 问 题用 导 数 解 决 数 学 问 题优 化 问 题 的 答 案 建 立 数 学 模 型 解 决 数 学 模 型作 答 再 见