信息的表示课件

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1、中国铁道出版社第六章第六章 信息的表示信息的表示重点内容：定点数的表示方法；浮点数的表示方法；文字信息的表示；其他信息的表示。6.16.1 概述直到在16世纪的某个时期，欧洲才采用了十进制数字（基数为10）的计数体系（或称为数制）。而此前阿拉伯和印度已经使用十进制数近一千年了。今天，我们理所当然地认为，数字243代表的是2个100加上4个10，再加上3。虽然，0表示什么都没有。但事实上，大家都知道1和10这两个数所代表的意义有着实质性的差别。6.1.1 位置编码系统任意数字的值都可以通过表示成某个基数（或称为底，Radix）的乘幂形式。通常也称为权重编码系统（Weighted Numberin

2、g System），因为数的每一个位置都是基数的幂次方。例如：(243.51)(243.51)10 10 210 2102 2+410+4101 1+310+3100 0+510+510-1-1+110+110-2-2(23)23)1010 23 232 2+13+131 1+23+230 0 (212)(212)3 3(22)(22)10 10 12 124 4+02+023 3+12+122 2+12+121 1+02+020 0 (10110)(10110)2 2位置编码系统中所使用的有效数字的数目等于系统的基数的大小。例如，在十进制体系中有10个数字09，而在三进制体系（基数是3）中的

3、数字为0、1、2。不同的基采用下标的形式来表示，例如(33)10。在计算机科学中，两个最重要的数制是二进制（基数为2）和十六进制（基数为16）。另外一个比较重要的数制是八进制（基数为8）。6.1.1 位置编码系统在选择计算机数值的表示方式时，应当全面考虑以下几个因素：要表示数的类型 可能遇到的数值范围 数值精确度 数据存储和处理所需要的硬件代价6.1.2 数值在计算机中的表示由于数据是存储在存储器中，而存储器只能存储二进制位串，因此，数据的计算机表示需要解决下面的问题：正负号的表示和小数点的表示。计算机中常用的数据表示格式有两种：定点格式浮点格式6.1.2 数值在计算机中的表示数值在计算机中的

4、表示具有如下特点：二进制表示数据的编码化正负号的数字化小数点位置的约定数据有模6.1.2 数值在计算机中的表示6.26.2 定点数的表示所谓定点数，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。由于约定在固定的位置，小数点就不再使用记号“”来表示。从原理上讲，小数点位置固定在哪一位都可以，但是通常将数据表示成纯小数或纯整数。6.26.2 定点数的表示常用概念：真值：书写表示的数值，如3、5等，这些数据由人识别。机器数或机器码：数值在计算机中的编码表示，为二进制数串形式，供机器使用。数值编码的内容就是在计算机中如何把真值映射为机器码。约定将字的最高位（最左位）作为符号位对待，若最左位是0，则数是

5、正的；若最左位是1，则为负数。又称为符号幅值表示法。以一个n位数为例，最左位为符号位，其余n-1位为整数的幅值（绝对值）。例如：1800010010 18100100106.2.1 原码表示法一般情况下，对于定点整数，原码表示的定义是：6.2.1 原码表示法一般情况下，对于定点小数，原码表示的定义是：6.2.1 原码表示法以位定点整数原码为例，说明了原码和真值在数轴上的映射关系：6.2.1 原码表示法原码的性质 原码的最高位表示符号，0为正，1为负。0在原码表示中不唯一，有0、0之分。n位原码总共有2n种编码，共可表示2n1个数，因为0用了两个编码。负数的原码大于正数的原码。原码的实质是表示数

6、值的绝对值，因此由真值转换为原码的方法是：将将 写成写成0 0，写成写成1 1，数值位不变。数值位不变。6.2.1 原码表示法原码的优点表示很直观便于实现乘、除法运算 原码的缺点加减运算时既要考虑数的符号，又要考虑幅值，才能进行所要求的运算，处理较为复杂。0有两种表示，这样很不方便，因为它比单一表示法增加了测试零（计算机经常完成的一种操作）的困难。6.2.1 原码表示法有模运算是指在一定数值范围内进行的运算。例如，最常见的有模运算环境是钟表，因为钟表表盘上最大刻度是12，任何运算结果都不会超过12，超过12之后又成了1。我们常用的实数运算则属于无模运算。由于在计算机中采用有限的二进制位来表示数

7、据，因此计算机中的所有运算都是有模运算。6.2.2 补码表示法有模运算中，用模减一个数的结果称为该数的补数。对于有模运算来讲，减一个数等于加上该数对模的补数，补码就是按补数概念对数据进行编码的。在补码表示法中，正数用本身来代表，而负数用其补数来代表。6.2.2 补码表示法对于定点整数，补码表示的定义是：6.2.2 补码表示法对于定点小数，补码表示的定义是：6.2.2 补码表示法以位定点整数补码为例，说明了补码和真值在数轴上的映射关系：6.2.2 补码表示法求负数补码的方法：符号位置1，其余各位0变1，1变0，然后在最末位上加1；从低位向高位找到第一个1，这个1和右边各位的0保持不变，左边的各高

8、位按位取反。6.2.2 补码表示法补码的特性：最高位表示符号，0为正，1为负。0的表示唯一，即编码为全0的情况。补码表示法比原码表示法多表示一个数据，即最小的负数。图6-2中的-4（100）就是一个实例。负数补码值大于正数补码值。补码算术右移时，要将符号位复制。补码算术左移时，末位补0即可。定点整数补码位数扩展时，要将符号位向左复制；定点小数补码进行位数扩展时，只需要在原机器码后补0即可。6.2.2 补码表示法6.2.2 补码表示法【例6-2】将十进制数x（127、1、0、1、127）表示成二进制数及原码、补码值（使用8位二进制数）。解：十 进 制二 进 制原 码补 码1271011276.3

9、6.3 浮点数的表示使用定点表示法能表示以0为中心的一定范围的正、负的整数。通过重新假定小数点的位置，这种格式也能用来表示带有分数的数。但这种方法受到很大制约，它不能表示很大的整数，也不能表示很小的分数，即表示数的范围有限，这就引出了浮点数的表示方法。6.3.1 原理对于十进制数，人们使用科学计数法表示，通过动态地移动十进制小数点到一个约定位置，并使用10的指数来保持对此小数点的跟踪，从而允许只使用少数几个数字来表示很大范围的数。例如：976 000 000 000 000 9.761014 0.000 000 000 000 0976 9.7610-14。6.3.1 原理能以如下形式表示一个

10、数：SB E这样的数存储在一个二进制字的3个字段中：符号：正或负。有效数S（Significant）。指数E（Exponent）。基值B是隐含的并且不需存储，因为对所有数它都是相同的。一个典型的32位浮点格式最左位保存数的符号（0正，1负）。指数值存于位1位8。所用的表示法称为偏移表示法。一个称为偏移的固定值，从字段中减去，才得到真正的指数。字的最后一部分是有效数，称为尾数。此例的基值被认为是2。01 89 31符号位符号位偏移指数偏移指数有效数有效数6.3.1 原理浮点数的规格化（Normalized）表示 若不对浮点数的表示做出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。为了提高数据的表示精

11、度，当尾数的值不为0时，其绝对值应0.5，即后数域的最高有效位应为l，否则要以修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一要求的表示形式。对于补码而言，即尾数最高两位必须相异。0.1xx.x 和 1.0 xx.x 规格化 0.0 xx.x 和 1.1xx.x 非规格化6.3.1 原理【例6-3】假设由S、E、M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非规格化浮点数x，其真值表示为：x(1)S(1.M)2E-128问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是什么？解：最大正数：x 1(12-23)21270111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 111

12、16.3.1 原理最小正数：x 1.02-128最小负数：x 1(12-23)2127最大负数：x 1.02-1280000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00001111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11111000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00006.3.1 原理6.3.2 二进制浮点表示的IEEE标准IEEE标准定义的32位单精度浮点数格式IEEE标准定义的64位双精度浮点数格式01 89 31符号位S偏移阶码E尾数M01 1112 63符号位S偏移阶码E尾数M未指定1.99263未指定1.

13、98231值的数目未指定253未指定223分数数目未指定2046未指定254指数数目63523123有效数宽（位数）未指定10-30810+308未指定10-3810+38数的范围（基值10）1638210221022126最小指数1638310231023127最大指数未指定1023未指定127指数偏移1511118指数宽（位数）79644332字宽（位数）双精度扩展双 精 度单精度扩展单 精 度参 数6.3.2 二进制浮点表示的IEEE标准以32位单精度浮点数为例，其偏移值为127，尾数有一位隐藏位，一个规格化的32位浮点数x的值可表示为：6.3.2 二进制浮点表示的IEEE标准IEEE标

14、准中数的分类 对于指数值范围在1254（单精度）和12046（双精度），表示了一个规格化的非零浮点数。指数是偏移的，故真正指数范围是126127（单精度）和10221023（双精度）。一个规格化的数要求二进制小数点左边有一个1，这位是隐藏的，给出24位或53位有效位的有效数（标准中称为分数）。0指数与0分数一起表示正零或负零，取决于它的符号位。正如我们曾提到的，有严格的0值表示式是有益的。6.3.2 二进制浮点表示的IEEE标准IEEE标准中数的分类（续）全1指数与0分数一起表示正无穷大或负无穷大，取决于它的符号位。能有无穷大表示形式也是有用的。把上溢看成一个错误条件而停止程序执行，还是把它看

15、成是一个值带入程序并继续处理，这样的裁决权留给用户。0指数与非0分数一起表示一个反规格化（Denormalized）数。这种情况下，二进制小数点左边的隐藏位是0并且真指数是126或1022。数的正负取决于它的符号位。全1指数与非0分数一起给出NaN值，它意味着不是一个数（Not a Number）。非数（NaN）用来通知各种例外情况。6.3.2 二进制浮点表示的IEEE标准6.4 6.4 文字信息的表示现代计算机不仅处理数值领域的问题，而且处理大量非数值领域的问题，非数值信息没有数值大小的概念。这样一来，必然要引入文字、字母以及某些专用符号，以便表示文字语言、逻辑语言等信息。例如人机交换信息时

16、使用英文字母、标点符号、十进制数以及诸如$、%、+等符号。然而数字计算机只能处理二进制数据，因此，上述信息应用到计算机中时，都必须编写成二进制格式的代码，也就是字符信息用数据表示，称为符号数据。6.4.1 字符与字符串的表示 目前国际上普遍采用的一种字符系统是7单位的ASCII码（美国国家信息交换标准字符码），它包括10个十进制数码，26个英文字母和一定数量的专用符号，如$、%、+、等，总共128个元素，因此二进制编码需要7位，加上一个偶校验位，共8位，刚好为一个字节。位65432100000010100111001011101110000NULDLESP0Pp0001SOHDC1!1AQaq

17、0010STXDC22BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111DELETB7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;Kk1100FFFS,Nn1111SIUS/?O_oDEL6.4.1 字符与字符串的表示 字符串是指连续的一串字符，通常方式下，它们占用主存中连续的多个字节，每个字节存一个字符。当主存字由2个或4个字节组成时，在同一个主存字中，既可按从低位字节向高位字节的顺序存放字符串内容，也可按从高位字节向低位字节

18、的次序存放字符串内容。这两种存放方式都是常用方式，不同的计算机可以选用其中任何一种。6.4.1 字符与字符串的表示 6.4.2 汉字的表示1汉字的输入编码为了能直接使用西文标准键盘把汉字输入到计算机，就必须为汉字设计相应的输入编码方法。当前采用的方法主要有以下3类：数字编码：国标区位码，例如“中”字位于第54区48位，区位码为5448。优点是无重码，且输入码与内部编码的转换比较方便，缺点是代码难以记忆。拼音码：拼音码是以汉语拼音为基础的输入方法。凡掌握汉语拼音的人，不需训练和记忆，即可使用。汉字同音字太多，输入重码率很高，影响了输入速度。字形编码：五笔字型编码。为了加快输入速度，发展了词组输入

19、、联想输入等多种快速输入方法。利用语音或图像识别技术“自动”将拼音或文本输入到计算机内，并将其自动转换为机内代码表示。6.4.2 汉字的表示2汉字内码汉字内码是用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用两个字节表示。英文字符的机内代码是7位的ASCII码，当用一个字节表示时，最高位为0。为了与英文字符能相互区别，汉字机内代码中两个字节的最高位均规定为1。例如汉字操作系统CCDOS中使用的汉字内码是一种最高位为1的两字节内码。有些系统中字节的最高位用于奇偶校验位，这种情况下用3个字节表示汉字内码。3汉字字模码字模码是用点阵表示的汉字字形代码，它是汉字的输出形式。根据汉字输出的要求不

20、同，点阵的多少也不同。简易型汉字为1616点阵，提高型汉字为2424点阵、3232点阵，甚至更高。因此字模点阵的信息量是很大的，所占存储空间也很大。以1616点阵为例，每个汉字要占用32B，国标两级汉字要占用256KB因此字模点阵只能用来构成汉字库，而不能用于机内存储。字库中存储了每个汉字的点阵代码。当显示输出或打印输出时才检索字库，输出字模点阵，得到字形。6.4.2 汉字的表示6.5 6.5 其他其他信息的表示计算机处理的信息还包括语音、图像和图形等信息，这些信息在计算机中也必须用二进制的形式表示和处理，它们的表示在本质上同样是对信息进行二进制的编码表示问题。6.5.1 语音的计算机表示 对

21、声音进行采样。一般由麦克风、录音机等录音设备把语音信号变成频率、幅度连续变化的电流信号。它仍是一种模拟信号，不能被计算机接受，需要通过采样器每隔固定时间间隔对声音的模拟信号截取一个幅值，这个过程称为采样。采样结果得到与声音信号幅值相对应的一组离散数据值，它们包含了声音的频率、幅值等特征。量化。用专门的模/数转换电路将每一个离散值换成一个n位二进制表示的数字量，这是计算机能接受的数据形式，进一步编码后，就可以以声音文件送入计算机，存储在硬盘上。当计算机播放语音信息时，把声音文件中的数字信号还原成模拟信号，通过音响设备输出。6.5.2 位图图像的计算机表示抽样。将图像在二维空间上的画面分布到矩形点

22、阵的网状结构中，阵列中的每一个点称为像素点，分别对应图像在阵列位置上的一个点，对每个点进行抽样，得到每个点的灰度值（亦称量度值）。显然，阵列中有图像信息的点与无图像信息处的点灰度值不同，即或是有图像信息的各点，因为色彩、明亮层次不同其灰度值也不同。如果每个像素点的灰度值只取0、1两个值，图像点阵只有黑白两种情况，称二值图像，如果允许像素点的灰度值越多，图像能表现的层次、色彩就越丰富，图像在计算机上的再现性能就越好。量化。把灰度值转换成n位二进制表示的数值称为量化。6.5.3 图形的计算机表示对于矩形、三角形、直线、螺旋线等形状，计算机常使用另一种处理方法：图像采集设备输入图像后对图像依据某种标

23、准进行分析、分解，提取出具有定意义的独立的信息单位图元，例如一段直线、一条曲线、一个矩形、一个圆、一个电路符号等，并设计一系列指令，用指令描述一个个的图元及各图元之间的联系，于是一幅原始图像以一组有序的指令形式存入计算机。当计算机要显示一幅存储的图像时，只需读取指令、逐条解释、执行指令，就将指令描述的图元重新组合成图像输出。因为图像不是直接用画面的每一个像素点来描述，而是用图元序列描述，图像的这种表示方式称为图形，或称矢量图形。6.6 6.6 校验码校验码差错控制信号在物理信道上的传输过程中，由于线路本身电气特性产生的随机噪声（又称热噪声），会引起信号幅度、频率和相位的衰减或畸变，电信号在线路

24、上反射造成的回音效应，相邻线路间的串扰以及各种外界因素（如闪电、开关跳闸、强电磁场变化等）会造成信号失真，从而出现数据传输错误。计算机系统必须能发现（检测）这种差错，并且能采取措施纠正它，这种用于对差错进行检测与校正的技术叫差错控制。6.6 6.6 校验码校验码差错控制编码数据信息在向信道上发送之前，先按照某种关系附加上一定的冗余位，构成传输码然后在信道上发送。接收端收到传输码元后，检查信息位和冗余位之间的关系，就可以发现传输过程中是否有差错发生。检错码（Error-Detecting Code）纠错码（Error-Correcting Code）6.6.1 奇偶校验码是通过增加冗余位来使码字

25、中1的个数保持为奇数或偶数的编码方法，是一种检错码。垂直奇偶校验水平奇偶校验 水平垂直奇偶校验 6.6.2 循环冗余码循环冗余码（Cyclic Redundancy Code，CRC），CRC也称多项式码。因为任何一个由二进制数位串组成的代码，都可以唯一的与一个只含有0和1两个系数的多项式建立一一对应关系。例如代码1010111对应的多项式为X 6+X 4+X 2+X+1多项式X 5+X 3+X 2+X+1对应的代码为101111CRC码在发送端编码和接收端校验时，都可以利用事先约定的生成多项式G(X)来得到。k位要发送的信息位可对应于一个(k-1)次多项式K(X)，r位冗余位对应于一个(r-

26、1)次多项式R(X)。由k位信息位后再加上r位冗余位组成的nk+r位码字则对应于一个(n-1)次多项式T(X)X rK(X)+R(X)。例如：信息位 1010001对应为：K(X)X 6+X 4+1冗余位 1101对应为：R(X)X 3+X 2+1码字10100011101对应为：T(X)X 4K(X)+R(X)X 10+X 8+X 4+X 3+X 2+16.6.2 循环冗余码由信息位产生冗余位的编码过程，就是已知K(X)求R(X)的过程，在CRC码中，可以通过找到一个特定的r次多项式G(X)(最高项Xr的系数为1)来实现。用G(X)去除XrK(X)得到的余式就是R(X)。这里需要特别强调的是

27、，这些多项式中的“”都是模2加（即异或运算）。此外这里的除法过程中用到的减法也是模2减法，它和模2加一样也是异或运算，即不考虑借位的减法。6.6.2 循环冗余码由于R(X)是G(X)除X rK(X)的余式，那么必然有：X r K(X)G(X)Q(X)+R(X)其中Q(X)为商式。根据模2运算规则R(X)+R(X)0的特点，将上式改为：X r K(X)+R(X)/G(X)Q(X)，即T(X)/G(X)Q(X)。由此可见，信道上发送的码字多项式T(X)X r K(X)+R(X)，若传输过程无差错，则接收方收到的码字多项式应能被G(X)整除。6.6.2 循环冗余码如果传输中有差错，比如要的传输码字是

28、10100011101，由于噪声干扰，在接收端变成了10100011011，这相当于在码字上面串加了差错模式。差错模式中1的位置对应于变化了的信息位的位置。差错模式对应的多项式记为E(X)，如上例E(X)X 2+X。有差错时接收端收到的不再是T(X)，而是T(X)与E(X)的模2加，即：T(X)+E(X)/G(X)T(X)/G(X)+E(X)/G(X)由此可见，若E(X)/G(X)不等于0，则这种差错就能检测出来；否则E(X)/G(X)0，由于码字多项式仍能被G(X)整除，就发生漏检。6.6.2 循环冗余码【性质1】若G(X)含有x+1的因子，则能检测出所有奇数错。【性质2】若G(X)中不含有

29、x的因子，或者换句话讲，G(X)中含有常数项1，那么能检测出所有突发长度r的突发错。【性质3】若G(X)中不含有x的因子，而且对任何0en-1的e，除不尽Xe+1，则能检测出所有的双错。【性质4】若G(X)中不含有x的因子，则对突发长度为r+1的突发错误的漏检率为2-(r-1)。【性质5】若G(X)中不含有x的因子，则对突发长度b大于r+1的突发错误的漏检率为2-r。6.6.2 循环冗余码6.6.3 海明码由R.Hamming在1950年首次提出的，它是一种可以纠正一位差错的编码。可以借用简单奇偶校验码的生成原理来说明海明码的构造方法。若k（n-1）位信息an-1an-2a1加上一位偶校验位a

30、0，构成一个n位的码字an-1an-2a1a0，则在接收端检验时，可按关系式S an-1+an-2+a1+a0来计算。若求得S0，则表示无错；若S1，则有错。上式可称为监督关系式，S称为校正因子。在奇偶校验情况下，只有一个监督关系式和一个校正因子，其取值只有0和1两种情况，分别代表无错和有错两种结果，还不能指出差错所在地位置。不难设想，若增加冗余位，也即相应的增加了监督关系式和校正因子，就能区分更多的情况。如果有两个校正因子S1和S0，则S1S0取值就有00、01、10或11共4种可能的组合，也即能区分4种不同的情况。若其中一种取值用于表示无错（如00），则另外3种（01、10、11）便可以用

31、来指出不同情况的差错，从而可以进一步区分是哪一位错。6.6.3 海明码小 结计算机中的信息用二进制表示。机器数是数值数据在机器中的表示，根据小数点的位置是否浮动，可以分为定点数和浮点数。一个定点数由符号位和数值域两部分组成。按小数点位置不同，定点数有纯小数和纯整数两种表示方法。数的真值变成机器码的方法有原码表示法、补码表示法等。按IEEE 754标准，一个浮点数由符号位S、阶码E、尾数M这3个域组成。其中阶码E的值等于指数的真值e加上一个固定偏移位。字符信息属于符号数据，是处理非数值领域的问题，国际上采用的字符系统是7单位的ASCII码。小 结直接使用西文标准键盘输入汉字，进行处理，并显示打印汉字，是一项重大成就。为此要解决汉字的输入编码、汉字内码、字模码等几种不同用途的编码。声音、图像和图形等信息使用计算机进行存储和处理，必须将其转换为二进制代码形式。在这个过程中，可能要用到数据的离散化和数字化。为了提高信息的可靠性，计算机中使用校验码来检错和纠错。奇偶校验码是最简单的一种检错码，可以检查出一位或奇数位错误。海明码是一种多重奇偶校验码，具有纠错能力。CRC码是目前广泛使用的一种纠错码，可以纠错一位。