高数高斯公式

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1、高斯 ( Gauss ) 公式1 一. 高斯 ( G auss ) 公式定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成 , 的方向取外侧 , 在 上具有连续的一阶偏导数 , 则有公式dxdydzzRyQxP RdxdyQdzdxPdydz dSRQP coscoscos 高斯 ( Gauss ) 公式 dxdydzzR Rdxdy 只证 函数 P( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z ) ),(: ),(: 22 11 yxzz yxzz 证明: 设yxDyxyxzyxzyxz ),(,),(),(),(: 21 XY型区域z yx yxD 2 3

2、1321 dxdydzzR dzzRyxz yxz ),( ),(21 yxD dxdyyxRyxR ) ,() ,( ),(2 yxz ),(1 yxz Rdxdy yxD dxdyyxR ) ,( ),(2 yxz ),(1 yxz yxD dxdyyxRyxR ) ,() ,( ),(2 yxz ),(1 yxz又所以dxdydzzR Rdxdy yxD dxdy yxD dxdyyxR ) ,(Rdxdy 312 类似可证dxdydzzR Rdxdy dxdydzyQ RdxdyQdzdxPdydz dxdydzzRyQxP dzdxQ dxdydzxP dydzP 三式相加，即得所证

3、Gauss公式：若不是XY型区域 ,则可引进辅助面将其分割成若干个XY型区域，在辅助面正反两侧曲面积分正负抵消 ,故仍有 Gauss公 式 的 实 质 表 达 了 空 间 闭 区 域 上 的 三 重 积 分 与 其 边 界曲 面 上 的 曲 面 积 分 之 间 的 关 系 . .)coscoscos( dSRQP 由 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 系 知 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP )(高斯 ( G auss ) 公式5 二 、 简 单 的 应 用例 1 计 算 曲 面 积 分 xdydzzydxdyyx )()( 其 中 为 柱 面 122 yx 及 平面 3,

4、0 zz 所 围 成 的 空 间 闭 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 的 外 侧 .x o z y11 3解 , ,0,)( yxR QxzyP ,0,0, zRyQzyxP dxdydzzy )(原 式 dzrdrdzr )sin( .29 (利 用 柱 面 坐 标 得 ) x oz y11 3 dzzrrdrd 301020 )sin( 高斯 ( G auss ) 公式7 使 用 G uass公 式 时 应 注 意 : 1. RQP , 是 对 什 么 变 量 求 偏 导 数 ; 2.是 否 满 足 高 斯 公 式 的 条 件 ; 3. 是 取 闭 曲 面 的 外 侧 . 高斯 ( G

5、 auss ) 公式8 2例 dxdyyxzdzdxxydydzzxy )()()( 2232 31 .上 半 球 的 下 侧是 2222 Rzyx :解 . )(1 2220 的 上 侧加 一 平 面 Ryxz 1 1 11 1 dxdyyxzdzdxxydydzzxy )()()( 2232 311 dxdydzyy )( 122 33421 R 高斯 ( G auss ) 公式9 1 dxdyyxzdzdxxydydzzxy )()()( 22321 31 dxdyyxxyD 22 drrrd R 020 332 R 11 33421 R 332 R 334 R高斯 ( G auss )

6、 公式10 x yzo例 3 计 算 曲 面 积 分 dszyx )coscoscos( 222 ,其 中 为 锥 面 222 zyx 介 于 平 面 0z 及 )0( hhz 之 间 的 部 分 的 下 侧 , cos,cos,cos 是 在 ),( zyx 处 的 法 向 量 的 方 向 余 弦 . h高斯 ( G auss ) 公式11 xyDx yzoh1解 空 间 曲 面 在 面 上 的 投 影 域 为xoy xyD)(: 2221 hyxhz 补 充曲 面 不 是 封 闭 曲 面 , 为 利 用高 斯 公 式取 上 侧 ，1 构 成 封 闭 曲 面 ，1 .1 围 成 空 间 区

7、域 ,上 使 用 高 斯 公 式在 1 1高斯 ( G auss ) 公式12 dvzyx )(2 xyD h yx dzzyxdxdy 22 ,)(2 .|),( 222 hyxyxDxy 其 中 xyD h yx dzyxdxdy 22 ,0)( 1 222 dSzyx )coscoscos( .21 4hx y zo h1 xyDdszyx 1 222 )coscoscos( 1 222 dxdyzdzdxydydzx xyD dxdyyxh )( 222 xyD h yx zdzdxdy 222 ,高斯 ( G auss ) 公式13 11 2222 )coscoscos( dSzdS

8、zyx xyD dxdyh2 .4h故 所 求 积 分 为 dSzyx )coscoscos( 222 421 h 4h .21 4h x yzoh1 xyD高斯 ( G auss ) 公式14 :问 题 dxdyyxeydzdxxdydzI z 22 ., 所 截 部 分 外 侧被为 2122 zzyxz ?公 式能 否 加 减 两 平 面 用 高 斯 高斯 ( G auss ) 公式15 三 、 通 量 与 散 度 例 中在 第 二 类 曲 面 积 分 的 引流 量 的 概 念 设 向 量 场 kzyxRjzyxQizyxPzyxv ),(),(),(),( 是 速 度 场 中 的 一 片

9、 有 向 曲 面 , 单 位 时 间 内 流 向 指 定 侧 的 流 体 的 质 量 . dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),(),(),( SdV , RQPV 其 中 , dxdydzdxdydzSd .称 为 有 向 曲 面 元 高斯 ( G auss ) 公式18 1、 通 量 的 定 义设 有 向 量 场 kzyxRjzyxQizyxPzyxA ),(),(),(),( 沿 场 中 某 一 有 向 曲 面 的 第 二 类 曲 面 积 分 为 RdxdyQdzdxPdydzSdA 称 为 向 量 场 ),( zyxA 向 正 侧 穿 过 曲 面 的 通 量 .的 电

10、通 量单 位 时 间 通 过为 电 场 强 度如 ,E SdEI 的 磁 通 量单 位 时 间 通 过为 磁 感 应 强 度 ,B SdBI 极 限 V SdAMV lim 存 在 , 2. 散 度 的 定 义 :Adiv = V SdAMV lim 处 的 通 量 强 度反 映 了 在 点 ),( zyx 高斯 ( G auss ) 公式20 散 度 在 直 角 坐 标 系 下 的 形 式 SdAdvzRyQxP )( SdAVdvzRyQxPV 11 )( SdAVzRyQxP 1),()( SdAVzRyQxP M 1lim积 分 中 值 定 理 ,两 边 取 极 限 , zRyQxPA

11、div 高斯 ( G auss ) 公式21 :说 明 、 散 度 是 一 数 值 。1 ),( zyxfu、 梯 度 ：2 kzfjyfixfzyxgradf ),( 向 量5例 kxzjxyieA xy )sin()cos( 2 Adiv求:解 zRyQxPAdiv )cos()sin( 22 xzxzxyxyexy 高斯 ( G auss ) 公式22 思考与练习1. 设 为球面2222 Rzyx 的外侧, 为 所围立体, ,222 zyxr 判断下列演算是否正确 ?(1) dxdyrzdzdxrydydzrx 333333 dvR3 R4(2) dxdyrzdzdxrydydzrx 333333 dvrzzryyrxx 333333 31R dxdyzdzdxydydzx 333 31R dvzyx )(3 222 四 、 小 结 SdAdvAdiv （ 1） 应 用 的 条 件（ 2） 物 理 意 义2、 高 斯 公 式 的 实 质 1、 高 斯 公 式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP )( 174610 P习 题 )(),(),)()( 23324321高斯 ( G auss ) 公式25