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1、第 五 章 中 心 极 限 定 理主 要 内 容 ： 1、 独 立 同 分 布 中 心 极 限 定 理2、 车 贝 雪 夫 不 等 式3、 德 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 )Chebyshev( 不 等 式或 2, DXEX 方 差,0 22 /| XP 22 /1| XPp139 切 比 雪 夫 不 等 式 ）设 随 机 变 量 X 有 数 学 期 望对 任 意 不 等 式 成 立 ，则 称 此 式 为 切 比 晓 夫 不 等 式 lim 1 xnnXP ni in （ 独 立 同 分 布 下 的 中 心 极 限 定 理 ） x- 2t- dte21 2设 X1,X2,
2、Xn , 相 互 独 立 ， 且 服 从 同 一 分 布 ，具 有 相 同 的 期 望 和 方 差 .,2,12 nkXDXE kk 则 x (棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 ）)1(lim xpnp npYP n n dtex t 2221nY设 随 机 变 量 服 从 参 数 为 10, ppn 的 二 项 分 布则 对 任 意 的 ， 有x x nk kn XY 1 16.2 棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 )()( npqnpanpqnpb ).,( pnBnY设 随 机 变 量当 n 充 分 大 时 有 ： knkbka knn qpCbYaP
3、 设 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 E(X)= 方 差 2( )D X 则 由 切 比 雪 夫 不 等 式 有 | | 3 P X 例 一 生 产 线 生 产 的 产 品 成 箱 包 装 ， 每 箱 的重 量 是 随 机 的 .假 设 每 箱 平 均 重 50千 克 ， 标 准 差 为 5千克 .若 用 最 大 载 重 量 为 5吨 的 汽 车 装 运 ， 试 利 用 中 心 极限 定 理 说 明 每 辆 车 最 多 可 以 装 多 少 箱 ， 才 能 保 障 不 超载 的 概 率 大 于 0.977. 解 设 Xi ， i=1,2, ,n 是 装 运 的 第 i 箱 重 量 (单
4、位 :千 克 ), n 箱 的 总 重 量 为 nn XXXT 21n是 所 求 箱 数 . ,5)(,50)( ii XDXE ):(,5)(,50)( 千 克单 位nTDnTE nn 可 将 Xi ， i=1,2, ,n 视 为 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 . ),2(77.9)101000( n n故,2101000 n n解得,0199.98n即一辆车最多可以装98箱. 由独立同分布中心极限定理知，Tn 近似服从正态分布 . )25,50( nnN 5 5050005 505000 n nn nTPTP nn 15 某 保 险 公 司 多 年 的 统 计 资 料 表 明 ，
5、 在 索 赔 户 中 被 盗索 赔 户 占 20%， 以 表 示 在 随 意 抽 查 的 100个 索 赔 户 中 因被 盗 而 向 保 险 公 司 索 赔 的 数 。（ 1） 写 出 的 概 率 分 布 ；（ 2） 求 被 盗 索 赔 户 不 少 于 14户 且 不 多 于 30户 的 概 率 的近 似 值 。 1001001 (100, 0.2) 0.2 0.8 0,1,2, ,100k k kX bP X k C k 解 （ ）2 ( ) 100 0.2 20 ( ) 100 0.2 (1 0.2) 16E X D X （ ） 根 据 棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理
6、14 20 ( ) 30 2014 30 4 4( )X E XP X P D X ( )1.5 2.5 (2.5) ( 1.5)( )X E XP D X (2.5) (1.5) 1 0.994 0.933 1 0.927 计 算 机 在 进 行 加 法 时 每 个 加 数 取 整 数 （ 取 最 为 接 近 于它 的 整 数 ） 。 设 所 有 的 取 整 误 差 是 相 互 独 立 的 ， 且 它们 都 在 0.5, 0.5上 服 从 均 匀 分 布 。 （ 1） 若 将 1500个 数 相 加 ， 问 误 差 总 和 的 绝 对 值 小 于 15的 概 率 是 多 少 ？ （ 2） 最
7、 多 几 个 数 加 在 一 起 可 使 误 差 总 和 的 绝 对 值 小 于10的 概 率 不 小 于 0.90。 解 ： 设 Xk为 第 k个 数 的 取 整 误 差 15001 kkS X则 10, 12k kEX DX 从 而1500/12 11.180DS 0ES 由 中 心 极 限 定 理 0 15| | 15 1 | | 15 1 11.180 11.18001 1.3411.180 SP S P S PSP 1 2 (1.34) 1 0.18202 1 0, /120 10 10| | 10 2 ( ) 1 0.912/ 12/ 12/10 10( ) 0.95 1.645 443.4212/ 12/443n kkS X ES DS nSP S P n n nnn nn 设 ，
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