极限的运算法则

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1、目 录 目 录数 理 与 信 息 技 术 系* 目 录 定 理 （ 唯 一 性 ） ： 若 函 数 f(x)有 极 限 ， 则 极 限 值是 唯 一 的 . 一 、 函 数 极 限 的 性 质 定 理 （ 迫 敛 定 理 ） ： 如 果 在 x=x0附 近 (点 x0可 以 除外 )（1）（2） 那么( ) ( ) ( )g x f x h x 0 0lim ( ) lim ( )x x x xg x h x A 0lim ( )x x f x A 目 录 设 在 某 极 限 过 程 中 , 函 数 f (x)、 g(x) 的 极 限 lim f (x)、 lim g(x) 存 在 , 则二

2、、 极 限 的 四 则 运 算 法 则)()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf 1、 加 法 法 则 ： 代 数 和 的 极 限 等 于 极 限 的 代 数 和推论1：推广到有限个函数的代数和 2、 乘 法 法 则 ： 乘 积 的 极 限 等 于 极 限 的 乘 积 )()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf 目 录特 例 2： 推 广 到 有 限 个 函 数 的 积 lim ( ) lim ( )c f x c f x （ c为 常 数 ）特 例 1： 常 数 因 子 可 提 到 极 限 记 号 外 面 )( )(lim xg xf lim ( )lim ( )

3、f x Ag x B 0B （ ）3、 除 法 法 则 : 商 的 极 限 等 于 极 限 的 商小 结 : 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 的 极 限 等 于 函 数 极 限 的 和 、 差 、 积 、 商 *lim ( ) lim ( ) Nn n nf x f x A n （） 目 录(1)和 函 数 的 极 限 等 于 极 限 的 和 .(2)积 函 数 的 极 限 等 于 极 限 的 乘 积 .(3)商 函 数 的 极 限 等 于 极 限 的 商 (分 母 不 为 零 ).差 一 点 ! 结 论 成 立 的 条 件 . 目 录课 本 例 题 ： 22lim( 2 )x x x

4、 .41lim 23 xxx 41lim 23 xxx ）（）（4lim 1lim3 23 xxxx .1043 19 例 ：解 ： )4(lim3 xx 4limlim 33 xx x 0143 .53lim 22）（ xxx )53(lim 22 xxx 5lim3limlim 2222 xxx xx 352322 例 ：解 ： 代 入 法 目 录 定义： 无穷小之比或无穷大之比的极限等，这类极限可能存在，也可能不存在，极限存在也会有各种不同的结果。 这种类型的极限称为未定式极限。不能直接使用极限的四则运算法则来计算的极限未 定 式 极 限”“00,1 ”“”“0”“主要的未定式的极限有:

5、 目 录方 法 ： 分 子 分 母 分 解 因 式 ， 消 去 使 他 们 趋 于 零 的 公 因 子型有理式00.1*求 未 定 式 极 限 方 法 举 例 、 练 习)00(型解例 约 零 因 子 法 （ 因式 分 解 ） 24 16lim 4x xx 24 4 416 ( 4)( 4)lim lim lim( 4) 84 4x x xx x x xx x 目 录23 9lim 3x xx )3( )3)(3(lim39lim 323 x xxxx xx 23 3lim 9 0 lim 3 0.x xx x 分析：因为（），（）6)3(lim3 xx解练 习 目 录方 法 ： 分 子 分

6、母 同 时 除 以 x的 最 高 次 方 幂2. 型有理式及无理式约 最 高 次 幂 法 目 录.13 32lim 22 xxx 13 32lim 22 xxx )13(lim )32(lim 22xxxx 3203 02 )(型解例 1 ,分母都趋于无穷大分子时当分析x .,2再求极限转化为无穷小去除分子分母先用x 2213 32lim xxx 目 录2 21 1lim( ) 01 1lim(1 )xx x xx x 2 1lim .1x xx x )(型2 21 1lim 1 11x x xx x 例 2 .324 23lim 32 xx xxx )(型 32 32 324 213lim

7、xx xxxx 040 例 3 目 录为非负整数时有和当nmba ,0,0 00 lim 110 110 nnn mmmx bxbxb axaxa 小 结 : 00 ,a n mb 当（分子最高次幂分母最高次幂）0, m n 当（分子最高次幂分母最高次幂） 要 记 住 哦 ! 目 录练 习 225 3 41. lim 7 6 1x x xx x 求 235 3 42. lim7 6 1x x xx x 求75=0 目 录3.型有理式方 法 ： 先 通 分 化 为 分 式 ， 再 求 极 限先 化 简 再 用约 最 高 次 幂 法 目 录).1211(lim 21 xxx 12lim,11lim

8、 211 xx xx分析：)1211(lim 21 xxx 11lim 21 xxx 11lim1 xx 21解 例 )( )1211(lim 221 xxxx 00)1)(1( 1lim1 xx xx 目 录 00 练 习 ).1 11 3(lim 31 xxx 求1 2lim 321 x xxx 3 21 1 )1(3lim x xxx ).111 3(lim 3 231 x xxxx 3 21 12lim x xxx )1)(1( )2)(1(lim 21 xxx xxx 112lim 21 xx xx 目 录).21(lim 222 nnnnn 求是无穷小之和时,n 2222 21li

9、m)21(lim n nnnnn nn 2 )1(21lim nnnn )11(lim21 nn .21先变形再求极限.说明:无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小解例 目 录 小 结 -极 限 求 法 ;1.多 项 式 与 分 母 不 为 零 的 分 式 函 数 代 入 法 求 极 限 ;6.利 用 左 右 极 限 求 分 段 函 数 极 限 .2.利 用 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系 求 型 极 限 ;3.消 去 零 因 子 法 求 极 限 ;005.通 分 法 求 极 限 ;4.分 子 分 母 同 除 以 x的 最 高 次 方 法 求 型 极 限 ; )(x7.复 合 函 数 的 极 限 . 8.无 穷 小 与 有 界 变 量 的 积 是 无 穷 小 .0A 目 录