2018年济南市中考数学一轮复习《4.3等腰三角形与直角三角形》课件+测试含真题分类汇编解析

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1、第 三 节 等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形 知 识 点 一 等 腰 三 角 形1 等 腰 三 角 形 ： 有 _相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 2 等 腰 三 角 形 的 性 质(1)等 腰 三 角 形 两 条 腰 _ ， 两 个 底 角 _， 简 称 等边 对 等 角 相 等两 边 相 等 (2)等 腰 三 角 形 顶 角 的 _、 底 边 上 的 _及 底 边 上的 高 线 互 相 重 合 ， 简 称 “ 三 线 合 一 ” (3)等 腰 三 角 形 是 轴 对 称 图 形 ， 有 _条 对 称 轴 3 等 腰 三 角 形 的 判 定(1)有 两 条 边 相 等

2、 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 (2)有 两 个 _相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 ， 简 称 等 角对 等 边 平 分 线 中 线 1 角 逆 向 运 用 等 腰 三 角 形 “ 三 线 合 一 ” 的 性 质 也 可 以 判 定 三 角 形是 等 腰 三 角 形 (1)一 边 上 的 高 线 与 这 边 上 的 中 线 重 合 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 (2)一 边 上 的 高 线 与 这 边 所 对 角 的 平 分 线 重 合 的 三 角 形 是等 腰 三 角 形 (3)一 边 上 的 中 线 与 这 边 所 对 角 的 平 分 线 重 合 的 三

3、 角 形 是等 腰 三 角 形 知 识 点 二 等 边 三 角 形1 等 边 三 角 形 ： 三 条 边 均 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 2 等 边 三 角 形 的 性 质(1)等 边 三 角 形 的 三 条 边 _， 每 个 角 都 等 于 _(2)等 边 三 角 形 是 轴 对 称 图 形 ， 有 _条 对 称 轴 都 相 等 60 3 3 等 边 三 角 形 的 判 定(1)三 条 边 都 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 (2)三 个 角 都 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 (3)有 一 个 角 等 于 60 的 _ 是 等 边 三 角

4、 形 (4)有 两 个 角 等 于 _的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 60 等 腰 三 角 形 知 识 点 三 直 角 三 角 形1 勾 股 定 理 及 其 逆 定 理(1)勾 股 定 理 ： 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜边 的 平 方 如 果 用 a， b和 c分 别 表 示 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边和 斜 边 ， 那 么 a2 b2 c2.(2)逆 定 理 ： 如 果 三 角 形 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方 ，那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 勾 股 定 理 的 逆 定 理 是 判

5、 断 一 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 或 证 明线 段 垂 直 的 重 要 依 据 2 直 角 三 角 形 的 性 质(1)直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 _(2)直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 _(3)直 角 三 角 形 中 30 角 所 对 的 直 角 边 等 于 _(4)直 角 三 角 形 中 ， 如 果 一 条 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 ， 那 么这 条 直 角 边 所 对 的 角 等 于 _互 余 一 半斜 边 的 一 半30 3 直 角 三 角 形 的 判 定(1)有 一 个 角 是 _的 三 角 形 是 直 角 三

6、 角 形 (2)有 两 个 角 _的 三 角 形 是 直 角 三 角 形 (3)勾 股 定 理 的 逆 定 理 ： 如 果 三 角 形 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三边 的 平 方 ， 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 (4)如 果 三 角 形 一 边 上 的 _ 等 于 这 边 的 一 半 ， 那 么 这个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 90互 余 中 线 知 识 点 四 角 平 分 线 与 线 段 的 垂 直 平 分 线1 角 平 分 线(1)性 质 定 理 ： 角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 的 两 边 的 距 离_(2)判 定 定 理 ： 在

7、 一 个 角 的 内 部 ， 到 角 的 两 边 距 离 _的点 在 这 个 角 的 平 分 线 上 相 等 相 等 2 线 段 的 垂 直 平 分 线(1)线 段 的 垂 直 平 分 线 ： 垂 直 于 一 条 线 段 ， 并 且 平 分 这 条 线段 的 直 线 叫 做 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线 (2)性 质 定 理 ： 线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 这 条 线 段 两 个 端 点的 距 离 _(3)判 定 定 理 ： 到 一 条 线 段 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 ， 在 这 条线 段 的 _上 . 相 等垂 直 平 分 线 考 点 一 等 腰 三

8、 角 形 的 性 质 与 判 定 (5年 3考 )命 题 角 度 等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定 例 1 在 正 方 形 网 格 中 ， 网 格 线 的 交 点 称 为 格 点 如 图 是 3 3的 正 方 形 网 格 ， 已 知 A， B是 两 格 点 ， 在 网 格 中 找 一 点 C， 使得 ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 这 样 的 点 C有 ( )A 6个 B 7个 C 8个 D 9个 【 分 析 】 根 据 已 知 条 件 ， 分 情 况 进 行 讨 论 【 自 主 解 答 】 如 图 ， AB是 腰 长 时 ， 有 4个 点 可 以 作 为 点 C；AB

9、是 底 边 时 ， 有 2个 点 可 以 作 为 点 C.所 以 满 足 条 件 的 点 C的 个 数 是 4 2 6.故 选 A. 讲 ： 分 类 讨 论 解 等 腰 三 角 形 问 题 在 求 解 与 等 腰 三 角 形 有 关 的 问 题 时 ， 如 果 腰 或 者 顶 角不 确 定 ， 那 么 需 要 分 类 讨 论 进 行 求 解 ， 最 易 犯 错 的 地 方 就是 忽 略 分 类 讨 论 ， 导 致 漏 解 练 ： 链 接 变 式 训 练 3 1 (2017 烟 台 )某 城 市 几 条 道 路 的 位 置 关 系 如 图 所 示 ， 已知 AB CD， AE与 AB的 夹 角

10、为 48 ， 若 CF与 EF的 长 度 相 等 ，则 C的 度 数 为 ( )A 48 B 40 C 30 D 24 D 2 (2016 滨 州 )如 图 ， ABC中 ， D为 AB上 一 点 ， E为 BC上一 点 ， 且 AC CD BD BE， A 50 ， 则 CDE的 度 数 为( )A 50 B 51 C 51.5 D 52.5 D 3 (2017 历 下 二 模 )如 图 ， 等 腰 ABC中 ， AB AC， BAC 50 ， AB的 垂 直 平 分 线 MN交 AC于 点 D， 则 DBC的 度 数 是 _15 命 题 角 度 等 边 三 角 形 的 性 质 与 判 定例

11、 2 如 图 ， 过 边 长 为 1的 等 边 ABC的 边 AB上 一 点 P， 作PE AC于 E， Q为 BC延 长 线 一 点 ， 当 PA CQ时 ， 连 接 PQ交 AC于 D， 则 DE的 长 为 ( )1 1 2 2A. B. C. D.2 3 3 5 【 分 析 】 过 P作 PF BC交 AC于 F， 得 出 APF是 等 边 三 角 形 ，推 出 AP PF QC， 根 据 等 腰 三 角 形 性 质 求 出 EF AE， 证 得 PFD QCD， 进 而 求 得 DE. 【 自 主 解 答 】 如 图 ， 过 P作 PF BC交 AC于 F. PF BC， ABC是 等

12、 边 三 角 形 ， PFD QCD， APF是 等 边 三 角 形 ， AP PF AF. PE AC， AE EF. AP PF， AP CQ， PF CQ.又 PDF QDC， PFD QCD， FD CD. AE EF， EF FD AE CD， AE CD DE AC. AC 1， DE .故 选 A.1212 4 如 图 ， 直 线 l m n， 等 边 ABC的 顶 点 B， C分 别 在 直线 n和 m上 ， 边 BC与 直 线 n所 夹 锐 角 为 28 ， 则 的 度 数为 ( )A 28 B 30 C 32 D 45C 5 如 图 ， 等 边 ABC的 边 长 为 6，

13、ABC， ACB的 角 平 分 线交 于 点 D， 过 点 D作 EF BC， 交 AB， CD于 点 E， F， 则 EF的 长为 _4 考 点 二 勾 股 定 理 及 其 逆 定 理 (5年 4考 )例 3 (2013 济 南 )如 图 ， 小 亮 将 升 旗 的 绳 子 拉 到 旗 杆 底 端 ，绳 子 末 端 刚 好 接 触 到 地 面 ， 然 后 将 绳 子 末 端 拉 到 距 离 旗 杆 8 m处 ， 发 现 此 时 绳 子 末 端 距 离 地 面 2 m， 则 旗 杆 的 高 度 为 (滑 轮上 方 的 部 分 忽 略 不 计 )为 ( )A 12m B 13m C 16m D

14、17m 【 分 析 】 设 旗 杆 高 度 为 x， 利 用 勾 股 定 理 求 出 x即 可 【 自 主 解 答 】 如 图 ， 设 旗 杆 高 度 为 x，则 AC AD x， AB x 2， BC 8.在 Rt ABC中 ， AB2 BC2 AC2，即 (x 2)2 82 x2， 解 得 x 17.即 旗 杆 的 高 度 为 17 m 故 选 D. 在 应 用 勾 股 定 理 时 ， 注 意 以 下 两 个 问 题 ： (1)使 用 勾 股 定 理的 前 提 必 须 是 在 直 角 三 角 形 中 ； (2)当 直 角 三 角 形 的 斜 边 不确 定 时 ， 要 注 意 分 类 讨 论

15、 6 如 图 ， 在 ABD中 ， D 90 ， CD 6， AD 8， ACD 2 B， 则 BD的 长 是 ( )A 12 B 14 C 16 D 18C 7 如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， AB AD于 A， AB 8 ， AD 8 ，BC 7， CD 25， 则 四 边 形 ABCD的 面 积 为 _6 384 96 2 考 点 三 直 角 三 角 形 的 性 质 (5年 1考 )例 4 如 图 ， 已 知 AOB 60 ， 点 P在 边 OA上 ， OP 10， 点 M，N在 边 OB上 ， PM PN.若 MN 2， 则 OM ( )A 3 B 4C 5 D 6 【 分 析

16、 】 过 点 P作 PH MN于 H， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求出 MH， 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 OH， 计 算 即 可 【 自 主 解 答 】 如 图 ， 作 PH MN于 H， PM PN， MH NH MN 1. AOB 60 ， OPH 30 ， OH OP 5， OM OH MH 4.故 选 B.1212 直 角 三 角 形 的 性 质 ： (1)两 锐 角 互 余 ； (2)勾 股 定 理 ；(3)斜 边 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 ； (4)30 角 所 对 的直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 8 如 图 ， Rt A

17、BC中 ， ACB 90 ， A 55 ， 将 其 折 叠 ，使 点 A落 在 边 CB上 A 处 ， 折 痕 为 CD， 则 A DB ( )A 40 B 30C 20 D 10 C 9 如 图 ， 正 方 形 网 格 的 边 长 为 1， 点 A， B， C在 网 格 的 格 点上 ， 点 P为 BC的 中 点 ， 则 AP _5 22 考 点 四 角 平 分 线 与 线 段 的 垂 直 平 分 线 (5年 1考 )命 题 角 度 角 平 分 线 的 性 质 与 判 定例 5 如 图 ， 已 知 在 ABC中 ， CD是 AB边 上 的 高 线 ， BE平分 ABC， 交 CD于 点 E，

18、 BC 5， DE 2， 则 BCE的 面 积 等于 （ ）A 10 B 7 C 5 D 4 【 分 析 】 作 EF BC于 F， 根 据 角 平 分 线 的 性 质 求 得 EF的 长 ，然 后 根 据 三 角 形 面 积 公 式 求 得 即 可 【 自 主 解 答 】 如 图 ， 作 EF BC于 F， BE平 分 ABC， ED AB， EF BC， EF DE 2， S BCE BC EF 5 2 5.故 选 C.12 12 10 如 图 ， ABC中 ， C 90 ， AC BC， AD平 分 CAB交 BC于 D， DE AB于 E， 且 AB 6， 则 DEB的 周 长 是 (

19、 ) A 6 B 4 C 10 D 以 上 都 不 对 A 11 如 图 ， AB CD， BP和 CP分 别 平 分 ABC和 DCB， AD过 点P， 且 与 AB垂 直 若 AD 8， 则 点 P到 BC的 距 离 是 _4 命 题 角 度 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 与 判 定例 6 如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， AC垂 直 平 分 BD， 垂 足 为 E， 下 列 结论 不 一 定 成 立 的 是 ( )A AB AD B AC平 分 BCDC AB BD D BEC DEC【 分 析 】 根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 得 AB AD， B

20、C CD，再 根 据 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 的 性 质 可 得 AC平 分 BCD， EBDE， 进 而 可 证 明 BEC DEC. 【 自 主 解 答 】 AC垂 直 平 分 BD， AB AD， BC CD， AC平 分 BCD， EB DE， BCE DCE.在 Rt BEC和 Rt DEC中 ， Rt BEC Rt DEC.故 选 C.BE EDBC CD 线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 两 个 端 点 的 距 离 相 等 ， 利 用 这 个性 质 可 以 证 明 两 条 线 段 相 等 ， 进 而 由 等 腰 三 角 形 的 性 质 解决 相 关 的 问

21、题 12 如 图 ， 在 ABC中 ， D为 BC的 中 点 ， AD BC， E为 AD上 一点 ， ABC 60 ， ECD 40 ， 则 ABE ( )A 10 B 15 C 20 D 25 C 13 (2017 历 城 一 模 )如 图 ， 在 ABC中 ， DE垂 直 平 分 AC交AB于 点 E.若 A 30 ， ACB 80 ， 则 BCE _度 50 14 如 图 ， 在 ABC中 ， ACB 90 ， 分 别 以 点 A和 点 B为 圆心 ， 以 相 同 的 长 (大 于 AB)为 半 径 作 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 M和点 N， 作 直 线 MN交 AB于 点 D， 交 BC于 点 E.若 AC 3， AB 5， 则DE 158 12