等比数列的性质及运用
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1、丰城三中 付强等比数列 等差数列等比数列 常数减除加乘加-乘乘乘方 迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定 义数 学 表达 式通项公式证明通 项 公 式an-an-1=d (n2)通过观察,我们发现:等 差 数 列 中 的 减 法、加 法、乘 法,在等比数列中升级为除法、乘法、乘方.练习:在等差数列an中,a2=-2,a5=54,求a8=_.在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值为_.在等差数列an中,a15=10,a45=90,则 a60=_.在等差数列an中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_ .110运用性质:an=
2、am+(n-m)d或等差中项运用性质:若n+m=p+q则am+an=ap+aq运用性质:从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)运用性质:若an是公差为d的等差数列 cn是公差为d的等差数列,则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。180130210an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质:an=am+(n-m)d猜想:性质:若an-k,an,an+k是an中的三项,则2an=an-k+an+k 猜想2:性质:若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3:性质:从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想:性质:若cn是公差为d的等差数列,则数列
3、an+cn是公差为d+d的等差数列。猜想:培养学生类比能力的尝试教学目标:理解并掌握等比数列的性质及其初步应用。引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法,提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。由等差数列的性质,猜想等比数列的性质an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列性质:an=am+(n-m)d性质:若an-k,an,an+k 是an中的三项,则2an=an+k+an-k猜想2:性质:若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想1:若an-k,an,an+k 是an中的三项 则猜想3:若nm=pq则bnbm=bpbq由等差数列的性质,猜想等比数列的性质性质:从原数列中取出偶数
4、项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质:若cn是公差为d的等差数列,则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。猜想:从原数列中取出偶数项,组成的新数列公比为 .(可推广)猜想:若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列.性质:若n+m=p+q 猜想3:若n+m=p+q 则am+an=ap+aq 则bnbm=bpbq,an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质:an=am+(n-m)d猜想:性质:若an-k,an,an+k是an中的三项,则2an=an-k+an+k 猜想2:若an-k,an,an+k是an的三项,则 =bn-kbn+k性质:若n+m=p+q
5、则am+an=ap+aq猜想3:若n+m=p+q则bnbm=bpbq,性质:从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想:从原数列中取出偶数项,组成的新数列公比为 .(可推广)性质:若cn是公差为d的等差数列,则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。猜想:若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列.例:已知an,bn是项数相同的等比数列,求证anbn是等比数列.证明:设数列an的首项是a1,公比为q1;bn的首项为b1,公比为q2,那么数列anbn 的第n项与第n+1项分别为:它是一个与n无关的常数,所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列.练习:在等
6、比数列an中,a2=-2,a5=54,a8=.在等比数列an中,且an0,a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_ .在等比数列an中,a15=10,a45=90,则 a60=_.在等比数列an中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_ .思考:在 等 比 数 列 an中,a1+a2=30,a3+a4 =120,则a5+a6=_ .-14586270480480或-270解题技巧的类比应用:三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数。分析:若三个数成等差数列,则设这三个数 为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数 为:,a,a q.再由方程组可得:q=2 或既这三个数为2,4,8或8,4,2。再 见
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