线性方程组习题课总课件

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1、第三章 线性方程组习题课一、本章的主要内容回顾：一、本章的主要内容回顾：（一）向量及向量组的有关定义（一）向量及向量组的有关定义 =(a1,a2,an)定义定义1：n个数组成的有序数组称为个数组成的有序数组称为n维向量维向量第1页，共33页。定义定义2：第2页，共33页。定义定义3：定义定义4：第3页，共33页。定义定义5：如果向量组（如果向量组（A）可由向量组（）可由向量组（B）线性表）线性表示，而向量组（示，而向量组（B）也可由向量组（）也可由向量组（A）线性表示，）线性表示，则称向量组（则称向量组（A）与向量组（）与向量组（B）等价等价 记作：记作：(A)(B)定义定义6：第4页，共33

2、页。定义定义7：（二）向量线性关系的有关重要定理（二）向量线性关系的有关重要定理第5页，共33页。第6页，共33页。第7页，共33页。(部分相关 整体相关)(整体无关 部分无关)第8页，共33页。第9页，共33页。定理定理6：如果向量组（如果向量组（A）可由向量组（）可由向量组（B）线性表示，）线性表示，而向量组（而向量组（B）又可由向量组（）又可由向量组（C）线性表示，）线性表示，则向量组（则向量组（A）也可由向量组（）也可由向量组（C）线性表示）线性表示 （传递性）（传递性）第10页，共33页。推论推论1：如果向量组（如果向量组（B）可由向量组（）可由向量组（A）线性表示；）线性表示；且向

3、量组（且向量组（B）线性无关，则）线性无关，则ts。推论推论2：如果向量组（如果向量组（A）与）与（B）可互相线性表示）可互相线性表示,且且 向量组向量组(A)(B)都线性无关，则都线性无关，则ts。第11页，共33页。第12页，共33页。向量组的秩及极大无关组的求法：将向量组合成矩阵，进行初等行变换得到阶梯阵，非零行的行数为向量组的秩，主元所对应的列向量组为极大线性无关组。第13页，共33页。(三）三）线性方程组的消元法线性方程组的消元法第14页，共33页。第15页，共33页。第16页，共33页。（四）（四）线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构1、齐次线性方程组解的结构、齐次线性方程组解

4、的结构第17页，共33页。定定义义定理定理1：设设A是是mn矩阵，如果矩阵，如果r(A)=rn,则齐次线性方程组则齐次线性方程组AX=0的的基础解系存在基础解系存在，且每个基础解系，且每个基础解系中含中含n-r个解向量个解向量.第18页，共33页。如果如果 为齐次线性方程组的基础解系，为齐次线性方程组的基础解系，则其任意线性组合则其任意线性组合称为称为齐次线性方程组（齐次线性方程组（1）的通解）的通解。第19页，共33页。step1.系数矩阵经初等行变 换，化为阶梯形矩阵 Step2.用秩讨论方程组的解Step3.（无穷解时）（无穷解时）进一步将矩阵化为各行首非零元为1，所在列其余元素为零的矩

5、阵Step4.选择自由未知量，基本未知量Step5.写出同解方程Step6.求出基础解系Step7.写出通解怎样选择？怎样求？齐次线性方程组求解过程第20页，共33页。2、非齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构性性质质第21页，共33页。step1.增广矩阵经初等行变换，化为行阶梯形矩阵 Step2.用秩讨论方程组的解Step3.（无穷解时）（无穷解时）进一步将矩阵化为各行首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵Step5.求出非齐次线性方程组的特解Step7.求出齐次线性方程组的通解Step8.写出非齐次线性方程组的通解怎样求？非齐次线性方程组求解过程Step4.写出非齐次线性方程

6、组的同解方程组Step6.写出齐次线性方程组的同解方程组第22页，共33页。1、围绕向量组的线性相关性、围绕向量组的线性相关性（判别相关性或证明相关性）（判别相关性或证明相关性）第三章主要的问题类型：第三章主要的问题类型：第23页，共33页。第24页，共33页。第25页，共33页。2、围绕向量组秩及极大线性无关组、围绕向量组秩及极大线性无关组 （求秩及极大线性无关组，或有关秩的证明）求秩及极大线性无关组，或有关秩的证明）第26页，共33页。第27页，共33页。第28页，共33页。3、线性方程组解的结构、线性方程组解的结构 求解齐次、非齐次线性方程组的通解或求解齐次、非齐次线性方程组的通解或基础解系；讨论解的存在性；利用解的结构的基础解系；讨论解的存在性；利用解的结构的相关知识的证明问题。相关知识的证明问题。第29页，共33页。第30页，共33页。第31页，共33页。第32页，共33页。例13.设mn矩阵B的m个行向量是方程组AX=0 的一个基础解系，P是m阶可逆矩阵，证明：PB的m个行向量也是AX=0的基础解系作业：见附页作业：见附页第33页，共33页。