哈密顿正则方程课件.ppt

《哈密顿正则方程课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《哈密顿正则方程课件.ppt（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、5.5 哈 密 顿 正 则 方 程 2 5.5.1 勒 让 德 变 换广 义 动 量 qLp 拉 氏 函 数 );,.,;,.,( 2121 tqqqqqqLL ss (1);,.,;,.,( 2121 tqqqqqqp ss (2)由 (2)解 得 );,.,;,.,( 2121 tqqqpppqq ss (3)定 义 另 外 一 个 函 数 ， 称 为 哈 密 顿 函 数 );,.,;,.,( 2121 tqqqpppHH ss Lqps 1 其 中 的 要用 (3)代 换 。q 哈 密 顿 函 数 的 定 义 式 3 5.5.1 勒 让 德 变 换哈 密 顿 函 数 的 物 理 含 义若

2、 L不 显 含 t, 则 常 数 LqpH s 1对 于 稳 定 约 束 系 统 ， H即 系 统 总 能 量VTH 对 于 不 稳 定 约 束 系 统 ， H是 广 义 能 量 VTTH 02 4 5.5.1 勒 让 德 变 换勒 让 德 变 换 的 规 则以 上 从 到 的 变 换 称 为 勒 让 德 变 换 。),( tqqL ),( tqpH LqpH s 1规 则 ：把 要 消 去 的 变 量 ( )乘 以 原 函 数 (L)对 该 变 量 的偏 导 ( )后 ， 再 减 去 原 函 数 。qqLp 5 5.5.2 正 则 方 程正 则 方 程 的 推 导 dttLqdqLdqqLd

3、LtqqLL s 1),( dLdpqqdpdHLqpH ss 11 )( (1)(2)dttLqdpdqps 1 )( (2)代 入 (1)可 得 (3)dttLdqpdpqdH s 1 )( 6 5.5.2 正 则 方 程 正 则 方 程 的 推 导(3)dttLdqpdpqdH s 1 )( 另 一 方 面 dttHdqqHdppHdHtqpHH s 1),( (4)(3)(4)比 较 可 得 哈 密 顿 正 则 方 程 qHp pHq s,.,2 ,1 , 以 及 tLtH 若 L不 显 含 t, 则 H也不 显 含 t. 7 5.5.2 正 则 方 程相 空 间s个 广 义 坐 标

4、， 和 s个 广 义 动 量 ， 统 称 为 正 则 变 量 ，它 们 作 为 相 互 独 立 的 变 量 ， 张 开 一 个 2s维 空 间 ，称 为 相 空 间 。相 空 间 的 一 点 ， 代 表 系 统 可 能 存 在 的 一 个 状 态 ，称 为 相 点 。随 时 间 变 化 ， 相 点 在 相 空 间 移 动 ， 划 出 一 条 曲线 ， 代 表 系 统 状 态 的 演 化 路 径 。 8 5.5.3 能 量 积 分 与 循 环 积 分 tHqqHppHdtdHtqpHH s 1),( 能 量 积 分 tHpHqHqHpHs 1 tH正 则 方 程tHdtdH 若 H不 显 含 t

5、, 则 H守 恒 。 9 5.5.3 能 量 积 分 与 循 环 积 分循 环 积 分若 H不 显 含 某 个 广 义 坐 标 ， 则 根 据 正 则 方 程可 得 ： q 常 数 pqHp 0即 相 应 的 广 义 动 量 守 恒 。注 ： 这 里 的 能 量 积 分 与 循 环 积 分 ， 与 从 拉 氏 函 数 得 到 的能 量 积 分 和 循 环 积 分 ， 结 果 是 一 样 的 。 10 例 题 15.5 哈 密 顿 正 则 方 程解 ： 以 平 衡 位 置 (即弹 簧 原 长 位 置 )为 原点 ， 建 立 一 维 x轴 。 221 xmT 动 能 221 kxV 势 能 22

6、2121 kxxmVTL 拉 氏 函 数 例 1 试 用 哈 密 顿 正 则 方 程 建 立 图 示 一 维 弹 簧 振 子 的运 动 微 分 方 程 。 平 衡 位 置O xm 光 滑 水 平 面弹 簧 劲 度 系 数 为 k广 义 动 量 xmxLp x mpx x 11 例 题 15.5 哈 密 顿 正 则 方 程哈 密 顿 函 数 mpxx xLxpH 22 2121 kxmpmmpp xxx 22 212 kxmpx 正 则 方 程 kxxHp mppHxx xx (1)(2)(1)(2)联 立 可 得0 xmkx即 一 维 弹 簧 振 子 的运 动 微 分 方 程 12 例 题 2

7、5.5 哈 密 顿 正 则 方 程例 2 用 哈 密 顿 正 则 方 程 建 立 质 点 在 有 心 力 势 场rrV )( 中 的 运 动 微 分 方 程 .解 ： 采 用 球 坐 标 描 述 ),( r质 点 的 速 度 eeeev sin)( rrrrdtd rr 拉 氏 函 数 rrrrmVTL )sin(21 222222 广义动量 222 sinmrLp mrLp rmrLpr 222 sinmr pmrpmpr r (1) 位 矢 rrer 13 例 题 25.5 哈 密 顿 正 则 方 程哈 密 顿 量 rrrrmVTH )sin(21 222222 (2)(1)代 入 (2)

8、可 得 rr prppmH r 22222 sin21 (3)正 则 方 程 0 sincos sin322 223 232 Hp mrpHp rmr pmrprHpr (4)(5)(6) 222 sinmr ppH mrppH mppHr rr (7)(8)(9) 14 例 题 25.5 哈 密 顿 正 则 方 程另 一 方 面 计 算 可 得 22 sin)( mrmJ zz evr可 见 (10)代 表 沿 z方 向 的 动 量 矩 守 恒 。由 (6)(9)可 得 )(sin22 常 数Cmrp (10)但 是 z轴 的 方 向 是 任 意 选 择 的 ， 故 沿 任 何 方 向 都有

9、 动 量 矩 守 恒 ， 从 而 系 统 动 量 矩 守 恒 ， 即 )(常 矢 量CJ 分 析 ： 一 、 动 量 矩 守 恒 15 例 题 25.5 哈 密 顿 正 则 方 程分 析 ： 二 、 平 面 运 动现 在 选 择 一 个 特 殊 的 z轴 方 向 ： 使 初 速 度 v0躺 在 z轴 和 初 位 矢 r0所 确 定 的 平 面 内 。z 0r 0v reeO )(sin22 常 数Cmrp (10)则 根 据 (10)式 ， 可 得 初 始 时 刻 ， 以及 后 面 任 意 时 刻 ， 都 有 0 ,0 ,0 pC这 意 味 着 质 点 将 始 终 保 持 在 z轴 和 初 位

10、矢 r0所 确 定 的 平 面 内 运 动 。z轴 就 是 平 面 极 坐 标 的 极 轴 。 16 例 题 25.5 哈 密 顿 正 则 方 程分 析 ： 三 、 简 化 正 则 方 程 0 sincos sin322 223 232 Hp mrpHp rmr pmrprHpr (4)(5)(6) 222 sinmr ppH mrppH mppHr rr (7)(8)(9) 0 232 p rmrppr (4)(5) 2mrpmpr r (7)(8)0 ,0 p 17 例 题 25.5 哈 密 顿 正 则 方 程分 析 ： 四 、 最 终 的 运 动 微 分 方 程即 在 垂 直 于 运 动 平 面 方 向 上 的 动 量 矩 守 恒 。由 (5)(8)可 得 )(2 常 数hmrp (11)即 径 向 运 动 微 分 方 程对 (11)求 导 即 得 到 横 向 运 动 微 分 方 程 。由 (4)(7)(11)可 得 22 )( rrrm (12) 18 5.5 哈 密 顿 正 则 方 程