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1、 ;1）最大无关组不唯一（.2关组是等价的）向量组与它的最大无（注意： ， 满 足 个 向 量中 能 选 出， 如 果 在设 有 向 量 组r rAA , 21 定 义 线 性 无 关 ；） 向 量 组（ rA ,:1 210 关 ，个 向 量 的 话 ） 都 线 性 相 中 有个 向 量 （ 如 果中 任 意） 向 量 组（1 12 r ArA. 的 秩 称 为 向 量 组数最 大 无 关 组 所 含 向 量 个 r; 0） （ 简 称的 一 个向 量 组 是那 末 称 向 量 组A A最 大 线 性 无 关 向 量 组 最 大无 关 组 0. 它 的 秩 为 有 最 大 无 关 组 ， 规
2、 定只 含 零 向 量 的 向 量 组 没 是线性无关的，向量组维单位坐标向量构成的因为neeeEn ,: 21 解 . 的秩一个最大无关组及的，求作维向量构成的向量组记全体n nnR RRn例 1 1nR n中的任意个向量都线性相关，. nRR Enn的秩等于的一个最大无关组，且是因此向量组 ;1）最大无关组不唯一（说 明 .2关组是等价的）向量组与它的最大无（ . 它 的 行 向 量 组 的 秩 量 组 的 秩 ， 也 等 于矩 阵 的 秩 等 于 它 的 列 向证 .0 ,)(),( 21 r mD rrARaaaA阶子式并设，设定 理 r因此所在的列线性无关；.1 1 个列向量都线性相
3、关中任意阶子式均为零，知中所有又由 r ArA关组，的列向量的一个最大无列是所在的因此ArDr . r等于所以列向量组的秩).(ARA的行向量组的秩也等于类似可证 的秩也记作向量组maaa , 21 . 最大无关组行即是行向量组的一个所在的最大无关组，列即是列向量组的一个所在的，则的一个最高阶非零子式是矩阵若r Dr DAD rrr ),( 21 maaaR 结 论 97963 42264 41211 21112 A设矩阵 例 2 .A求矩阵的列向量组的秩和一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对 A解，知3)( AR A ， 00000
4、 31000 01110 41211初 等 行 变 换 .3 个向量组含故列向量组的最大无关三列，、元在而三个非零行的非零首421 ., 421无关组为列向量组的一个最大故aaa 线性无关，故知421421 ,3),( aaaaaaR . , 42153成行最简形矩阵再变线性表示，必须将用要把Aaaaaa ), 421 aaa（事实上 763 264 111 112 000 100 110 111初 等 行 变 换 00000 31000 30110 40101 初 等 行 变 换A 4215 213 334 , aaaa aaa 即得 . 的 秩的 秩 不 大 于 向 量 组量 组 线 性
5、表 示 ， 则 向能 由 向 量 组设 向 量 组 AB AB. , : ,: 10 10sr aaAA bbBB s r要证的一个最大无关组为向量组，的一个最大无关组为设向量组 证定 理 0 .B A A A因组能由组线性表示，组能由组线性表示.00组线性表示组能由故AB使得即存在系数矩阵),( ijsr kK srs rsr kk kkaabb 1 11111 ),(),(），有非零解（因简记为，则方程组如果rsKR KxxxKsr rsr )( )0( 0 1有非零解，从而方程组0),( 1 Kxaa s有非零解，即0),( xbb r . 0 srsr B 不能成立，所以线性无关矛盾，
6、因此组这与 . rsBA和的秩依次为与向量组设向量组证 . 等 价 的 向 量 组 的 秩 相 等推 论 1 ,同时成立与故srrs 示，表两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即.rs 所以).()(),()( BRCRARCR BAC nssmnm ， 则设推 论 2用其列向量表示为和设矩阵AC 证 ).,(),( 11 sn aaAccC ，而)( ijbB sns nsn bb bbaacc 1 11111 ),(),( 由).()( ARCR 因此),()(, TTTTT BRCRABC 由上段证明知因的列向量组线性表示，的列向量组能由知矩阵AC ).()( BRCR 即思 考 ？有
7、 什 么 异 同与 推 论定 理 22 , rrB个向量，则它的秩为含设向量组 证 . 3 的 一 个 最 大 无 关 组是 向 量 组则 向 量 组 线 性 表 示 ，能 由 向 量 组线 性 无 关 ， 且 向 量 组组 的 部 分 组 ， 若 向 量是 向 量 组设 向 量 组推 论 AB BAB AB. 1条件所规定的最大无关组的满足定义所以向量组B，组的秩组线性表示，故组能由因rABA 个向量线性相关，组中任意从而1rA定理4.7 ., 等价与向量组秩相等，证明向量组且它们的线性表示能由向量组设向量组BA AB例 3 .线性表示能由向量组只要证明向量组BA ,:,: 1010 rr
8、bbBaaA BAr 和的最大无关组依次为组组和，并设设两个向量组的秩都为 使阶方阵表示，即有组线性组能由组线性表示，故组能由因rKr ABAB 00证 一 rrr Kaabb ),(),( 11 rbbRKR rr ),()( 22 1 ，有推论根据定理.),( 10 rbbRB r 组线性无关，故因.)()( rKRrKR rr ，因此但,),(),( 111 rrrr KbbaaK 可逆，并有于是矩阵.00组线性表示组能由即BA . 组线性表示组能由从而BA , , 0个向量含组的最大无关组故组的秩为又因rBBrB .),( ,),(组线性表示组总能由故组的部分组组是而BA ABAA 证
9、 二 .rBA 的秩都为和设向量组.),( ,组线性表示能由成的向量组组合并而组和故组线性表示组能由因ABA BAAB .),( ,),(rBA ABA组的秩也为因此组等价组与所以 .),( ,),(00组等价组与而从组的最大无关组组也是因此BBA BAB .),( ; . , 0 00000的最大无关组都是向量组与证法二实质上是证明性表示的系数矩阵可逆线用证法一证明等价与们的最大无关组转换为证明它等价与本例把证明两向量组BAB AABBA BA. ,),(),( 0组等价与组推知等价与组等价，组与由B ABBABAA注 意 ,59 35 46 45),(,13 11 20 32),( 212
10、1 bbaa已知例 4 .),(),( 2121等价与证明向量组bbaa向量组等价=矩阵等价？ .),(),(,),(),( ,2 21212121 YbbaaXaabb YX 使阶方阵要证存在证 明 .X先求 5913 3511 4620 4532),( 2121 bbaa最简形矩阵：施行初等行变换变为行阵对增广矩的方法类似于线性方程组求解),( , 2121 bbaa 5913 4532 4620 3511 5913 3511 4620 4532),( 2121 bbaa 31 rr 5913 4532 4620 351131 rr 4620 101550 4620 351113 2rr
11、14 3rr )2(2 r 4620 101550 2310 351113 31 2rr rr 14 3rr 4620 101550 4620 3511 0000 0000 2310 3511 )2(2 r 4620 101550 2310 351123 5rr 24 2rr 0000 0000 2310 351123 5rr 24 2rr .0000 0000 2310 1201 21 rr 11 r X ., .,01 2121 1等价与此向量组因即为所求取可逆知因bbaa XYXX 0000 0000 2310 1201),( 2121 初 等 行 变 换bbaa 即得 23 12 最大线性无关向量组的概念：最 大 性、线 性 无 关 性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩 阵 的 秩 矩 阵 列 向 量 组 的 秩 矩 阵 行 向 量 组 的 秩 关于向量组秩的一些结论：一 个 定 理、三 个 推 论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换 A 9（2）， 10（2），13，14 B 3，5
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