常微分方程奇解与包络课件.ppt

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1、 2.4 singularly solution 2.4 奇 解/Singularly solution/ 2.4 singularly solution2.4 奇 解包 络 和 奇 解 克 莱 罗 方 程 （ Clairant Equation）本 节 要 求 ： 1 了 解 奇 解 的 意 义 ； 2 掌 握 求 奇 解 的 方 法 。主 要 内 容 2.4 singularly solution2(0) 0dy ydxy cxcxycxy dxydy ,)(2 2 xy 1 20 cxcx cxy ,)( ,0 2 0c 2.4 singularly solution21d y yd x

2、 例 2 ： 求 方 程的 所 有 解 。 sin( )y x c 解 ： 该 方 程 有 通 解此 外 还 有 两 个 特 解 y=1和 y=-1 2.4 singularly solutionxy 2.4 singularly solution定 义 2.3 如 果 方 程 存 在 某 一 解 ， 在 它 所 对 应的 积 分 曲 线 上 每 点 处 ， 解 的 唯 一 性 都 被 破 坏 ，则 称 此 解 为 微 分 方 程 的 奇 解 。 奇 解 对 应 的 积分 曲 线 称 为 奇 积 分 曲 线 2.4 singularly solution一 包 络 和 奇 解 的 定 义曲 线

3、 族 的 包 络 ： 是 指 这 样 的 曲 线 ， 它 本 身 并 不 包含 在 曲 线 族 中 ， 但 过 这 条 曲 线 上 的 每 一 点 ， 有 曲线 族 中 的 一 条 曲 线 与 其 在 此 点 相 切 。奇 解 ： 在 有 些 微 分 方 程 中 ， 存 在 一 条 特 殊 的 积 分曲 线 ， 它 并 不 属 于 这 个 方 程 的 积 分 曲 线 族 ， 但 在这 条 特 殊 的 积 分 曲 线 上 的 每 一 点 处 ， 都 有 积 分 曲线 族 中 的 一 条 曲 线 与 其 在 此 点 相 切 。 这 条 特 殊 的积 分 曲 线 所 对 应 的 解 称 为 方 程

4、的 奇 解 。 注 ： 奇 解 上 每 一 点 都 有 方 程 的 另 一 解 存 在 。 2.4 singularly solution 2.4 singularly solution例 单 参 数 曲 线 族 222 Rycx )(R是 常 数 ， c是 参 数 。 xyo显 然 ， Ry 是 曲 线 族 的 包 络 。 222 Rycx )(一 般 的 曲 线 族 并 不 一 定 有 包 络 ， 如 同 心 圆 族 ， 平行 线 族 等 都 是 没 有 包 络 的 。 2.4 singularly solution注 :并 不 是 每 个 曲 线 族 都 有 包 络 .例 如 : 单 参

5、 数 曲 线 族 : 222 cyx (其 中 c为 参 数 )表 示 一 族 同 心 圆 . 如 图从 图 形 可 见 , 此 曲 线 族 没 有 包 络 . 2.4 singularly solution 二 、 不 存 在 奇 解 的 判 别 法假 设 方 程 (1.9)的 右 端 函 数 在 区 域上 有 定 义 ， 如 果 在 D上 连 续 且在 D上 有 界 (或 连 续 )， 那 么 由 本 章 定 理 2.2， 方 程 的任 一 解 是 唯 一 的 ， 从 而 在 D内 一 定 不 存 在 奇 解 。有 定 义 的 区 域 D内 成 立 ， 那 么 奇 解 只 能 存 在 于

6、不 满足 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 条 件 的 区 域 上 .进 一 步 如 果再 能 表 明 在 这 样 的 区 域 上 不 存 在 方 程 的 解 ， 那 么我 们 也 可 以 断 定 该 方 程 无 奇 解 。 如 果 存 在 唯 一 性 定 理 条 件 不 是 在 整 个 2.4 singularly solution2 22( )( ) 2d ya x yd xd yb y xd x 例 ： 判 断 下 列 方 程 是 否 存 在 奇 解 2.4 singularly solution定 理 2.6 方 程 (1.9)的 积 分 曲 线 族 (C)的 包 络线 L是 (1.

7、9)的 奇 积 分 曲 线 。( , ), (1.9)dy f x ydx 证 明 ： 应 用 定 理 2.1积 分 曲 线 与 线 素 场 的关 系 的 充 要 条 件 2.4 singularly solution三 求 奇 解 （ 包 络 线 ） 的 方 法l C-判 别 曲 线 法l P-判 别 曲 线 法设 一 阶 方 程 0),( yyxF 的 通 积 分 为 。0),( Cyx1 C-判 别 曲 线 法结 论 ： 通 积 分 作 为 曲 线 族 的 包 络 线 （ 奇 解 ） 包 含 在 下列 方 程 组 00),( ),( Cyx CyxC消 去 C 而 得 到 的 曲 线 中

8、 。 2.4 singularly solution 00),( ),( Cyx CyxC设 由 能 确 定 出 曲 线 为)(),(: CyyCxxL 则 0),(),( CCyCx对 参 数 C 求 导 数 0 ),(),( )(),(),()(),(),( CCyCx CyCCyCxCxCCyCx C yx 从 而 得 到 恒 等 式 0 )(),(),()(),(),( CyCCyCxCxCCyCx yx 2.4 singularly solution0 )(),(),()(),(),( CyCCyCxCxCCyCx yx 当 ),(),( CyxCyx yx 至 少 有 一 个 不

9、为 零 时有 ,),(),( ),(),()( )( CCyCx CCyCxCx Cy yx 或,),(),( ),(),()( )( CCyCx CCyCxCy Cx xy这 表 明 曲 线 L 在 其 上 每 一 点 (x(C), y(C) ) 处 均 与 曲 线 族中 对 应 于 C的 曲 线 相 切 。0),( Cyx注 意 ： C-判 别 曲 线 中 除 了 包 络 外 ， 还 有 其 他 曲 线 ， 尚 需检 验 。 2.4 singularly solution例 1 求 直 线 族 0 pyx sincos的 包 络 ， 这 里 是 参 数 ， p 是 常 数 。解 ： 对 参

10、 数 求 导 数 0 cossin yx联 立 0 pyx sincos 0 cossin yx 022222 cossincossin xyyx 22222 2 pxyyx cossinsincos相 加 ， 得 222 pyx ， 经 检 验 ， 其 是 所 求 包 络 线 。 xyop 2.4 singularly solution例 2 求 直 线 族 032 32 )()( cxcy的 包 络 ， 这 里 c 是 参 数 。解 ： 对 参 数 c 求 导 数 02 )( cxcy联 立 032 32 )()( cxcy 02 )( cxcy得 0323 )()( cxcx从 得 到0

11、cx xy 从 得 到 92 xy032 )( cx 因 此 ， C-判 别 曲 线 中包 括 了 两 条 曲 线 ， 易检 验 ， 是 所 求 包 络 线 。 92 xy 2.4 singularly solutionxyo xy 92 xy 2.4 singularly solution2 p-判 别 曲 线结 论 ： 方 程 的 奇 解 包 含 在 下 列 方 程 组 00),( ),( pyxF pyxFp 0),( yyxF消 去 p 而 得 到 的 曲 线 中 。注 意 ： p-判 别 曲 线 中 除 了 包 络 外 ， 还 有 其 他 曲 线 ， 尚 需检 验 。 2.4 sin

12、gularly solution例 3 求 方 程 0122 ydxdy 的 奇 解 。解 ： 从消 去 p， 得 到 p-判 别 曲 线经 检 验 ， 它 们 是 方 程 的 奇 解 。 02 0122p yp 1y因 为 易 求 得 原 方 程 的 通 解 为 )sin( cxy 而 是 方 程 的 解 ， 且 正 好 是 通 解 的 包 络 。1y 2.4 singularly solution例 4 求 方 程 22 dxdydxdyxy 的 奇 解 。解 ： 从消 去 p， 得 到 p-判 别 曲 线经 检 验 ， 不 是 方 程 的 解 ， 故 此 方 程 没 有 奇 解 。 02

13、2 2 2px pxpy 2xy 注 意 ： 以 上 两 种 方 法 ， 只 提 供 求 奇 解 的 途 径 ， 所 得 p-判别 曲 线 和 C-判 别 曲 线 是 不 是 奇 解 ， 必 需 进 行 检 验 。 2.4 singularly solution 3 克 莱 罗 方 程形 式 )(pfxpy 其 中 )(, pfdxdyp 是 p 的 连 续 函 数 。解 法 ppfpxpp )(0 ppfx )( 0p cp )(cfcxy )()( )( pppfy pfx 通 解 奇 解 2.4 singularly solution结 果 : Clairaut方 程 dxdyfdxdy

14、xy的 通 解 )(cfcxy 是 一 直 线 族 , 此 直 线 族 的 包 络 )( 0)( pfxpy pfx 或 )( 0)( cfxcy cfx是 Clairaut方 程 的 奇 积 分 曲 线 , 所 对 应 的 解 是 奇 解 . 2.4 singularly solution例 5 求 解 方 程 pxpy 1解 ： 这 是 克 莱 罗 方 程 ， 因 而 其 通 解 为消 去 c， 得 到 奇 解 xy 42 cxcy 1 cxcy cx 1012从 2.4 singularly solutionxyO xy 42 .42 xy 如 图 : 此 方 程 的 通 解 是 直 线

15、 族 : ,1ccxy 而 奇 解 是 通 解 的 包 络 : 2.4 singularly solution例 6 求 一 曲 线 ， 使 在 其 上 每 一 点 的 切 线 截 割 坐 标轴 而 成 的 直 角 三 角 形 的 面 积 都 等 于 2。解 设 要 求 的 曲 线 为 )(xyy 过 曲 线 任 上 一 点 的 切 线 方 程 为),( yx yxXxyY )(其 与 坐 标 轴 的 交 点 为 ),( yyxxyy 切 线 截 割 坐 标 轴 而 成 的 直 角 三 角 形 的 面 积 为 2 21 )( yyxxyy 2.4 singularly solution2 21

16、 )( yyxxyy yyxy 42)( yyxy 2 yyxy 2这 是 克 莱 罗 方 程 ， 因 而 其 通 解 为 11 2 cxcy xcc 22 消 去 c， 得 到 奇 解 1xy从 022 2 2cx xccy这 是 等 腰 双 曲 线 ， 显 然 它 就 是 满 足 要 求 的 曲 线 。 2.4 singularly solution直 线 族 及 其 包 络 线 2.4 singularly solution2 2 2 2( ) 2 9 09 , ,2 21 9 0,2 21 9 0 3, 32 2 9, 2 2x y yy xx xpy p y pdpp xp dxp

17、y xpdp p cxp cx ydx x c 例 7 求 方 程 的 解 .解 令 求 导 后 整 理 得由 得由 得 即 2.4 singularly solution利 用 Maple可 以 得 到 这 个 方 程 的 解 曲 线 如 下 :注 意 :y=3x和 y=-3x是 非 常 特 殊 的 解 ,其 它 解 与 这 两 条 直 线 相 切 .restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x

18、2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%: end do:plot(3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yy:=%:plot(-3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy); 2.4 singularly solution本 节 要 点 ： 1.奇 解 的 定 义 。 2.不 存 在 奇 解 的 判 别 方 法 。 （ 1） 全 平 面 上 解 唯 一 （ 2） 不 满 足 解 唯 一 的 区 域 上 没 有 方 程 的 解 3.求 奇 解 的 包 络 线 求 法 。 满 足 C判 别 式 。 在 非 蜕 化 条 件 下 ， 从 C 判 别 式 解 出 的 曲 线 2.4 singularly solution课 堂 练 习 ：1 求 一 曲 线 ， 使 在 其 上 每 一 点 的 切 线 截 割 坐 标 轴的 两 截 距 之 和 等 于 常 数 a 。2 求 解 方 程 ， 并 划 出 积 分 曲 线 图 。 21 1 )()( dxdydxdyxy 0 2 2 ydxdyxdxdy)()(作 业 ： P109 1(2)， 2.