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1、河南省开封市重点中学2023届高三下学期期末教学质量检测试题数学试题理试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合的子集的个数是（ ）A2B3C4D82设，则（ ）ABCD3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）AB4CD54已知集合A，则
2、集合（ ）ABCD5已知，椭圆的方程，双曲线的方程为，和的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）ABCD6已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是（ ）ABCD7若直线的倾斜角为，则的值为（ ）ABCD8已知函数.设，若对任意不相等的正数，恒有，则实数a的取值范围是（ ）ABCD9若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）ABCD10已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）ABCD11的内角的对边分别为，若，则内角（ ）ABCD12已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知集合A，B，若AB中有且只有一个元素，则实数a的
3、值为_14已知内角，的对边分别为，则_15如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则_.16以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹方程为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50
4、合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.（1）求频数分布表中，的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.18（12分）已知直线l的极坐标方程为，圆
5、C的参数方程为（为参数）（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长19（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.20（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求，的值；（）若，求证：对于任意，.21（12分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程22（10分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到
6、如图2所示的几何体.在图2中，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先确定集合中元素的个数，再得子集个数【详解】由题意，有三个元素，其子集有8个故选：D【点睛】本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个2、D【解析】集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】，则故选【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题3、B【解析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解
7、即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为，体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.4、A【解析】化简集合,，按交集定义，即可求解.【详解】集合，则.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.5、A【解析】根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得的关系，进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程，双曲线的方程为，则椭圆离心率，双曲线的离心率，由和的离心率之积为，即，解得，所以渐近线方程为，化简可得，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线
8、渐近线方程求法，属于基础题.6、C【解析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围.【详解】由题化简得，作出的图象，又由易知故选：C.【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.7、B【解析】根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值【详解】由于直线的倾斜角为，所以，则故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的
9、关键8、D【解析】求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.【详解】的定义域为，当时，故在单调递减；不妨设，而，知在单调递减，从而对任意、，恒有，即，令，则，原不等式等价于在单调递减，即，从而，因为，所以实数a的取值范围是故选：D.【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.9、A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.10、B【解析】先由三角函数的定义求出，再由二倍角公
10、式可求.【详解】解：角的终边与单位圆交于点，故选：B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.11、C【解析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得【详解】，由正弦定理可得，三角形中，故选：C【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键12、D【解析】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D考点：数列的通项公式二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值.【详解】由题意AB中有且只有一个元素，所以，即.故答案
11、为：.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.14、【解析】利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【详解】由正弦定理得，故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.15、【解析】根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.【详解】根据图像：，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.16、【解析】根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程.【详解】，和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上
12、，即，同理可得：，点的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）680元.【解析】（1）根据题意，列方程，然后求解即可（2）根据题意，计算出10000元使用“余额宝”的利息为（元）和10000元使用“财富通”的利息为（元），得到所有可能的取值为560（元），700（元），840（元），然后根据所有可能的取值，计算出相应的概率，并列出的分布列表，然后求解数学期望即可【详解】（1）据题意，得，所以.（2）据，得这被抽取的7人中使用“
13、余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人.10000元使用“余额宝”的利息为（元）.10000元使用“财富通”的利息为（元）.所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）.，.的分布列为560700840所以（元）.【点睛】本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题，属于基础题18、（1）x2+y21（2）16【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.（2）圆心到直线的距离为，故弦长为得到答案.【详解】（1），即，即，即.，故.（2）圆心到直线的距离为，故弦长为.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.19、（1）见解析
14、；（2）【解析】（1）f（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）对a分类讨论，即可得出单调性（2）由xex-ax-a+10，可得a（x+1）xex+1，当x=-1时，0-+1恒成立当x-1时，a令g（x）=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【详解】解法一：（1）当时，-1-0+极小值所以在上单调递减，在单调递增.当时，的根为或.若，即，-1+0-0+极大值极小值所以在，上单调递增，在上单调递减.若，即，在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间. 若，即，-1+0-0+极大值极小值所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调
15、递增，在上单调递减；自时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2）因为，所以.当时，恒成立.当时，.令， 设，因为在上恒成立，即在上单调递增.又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以.综上，的取值范围为.解法二：（1）同解法一；（2）令，所以，当时，则在上单调递增，所以，满足题意.当时，令，因为，即在上单调递增.又因为，所以在上有唯一的解，记为，-0+极小值，满足题意.当时，不满足题意.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20、（），（）见解析【解析】（1
16、）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出，值；（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得，构造函数并判断其符号，这里应注意的取值范围，从而证明不等式.【详解】解：（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考虑函数，则.而，故当时，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.21、（1）
17、点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）【解析】（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.【详解】（1）设，则由知：点在圆上 点的轨迹的方程为：轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（2）设，由题意知的斜率存在设，代入得：则，解得：设，则四边形为平行四边形又 ，消去得： 顶点的轨迹方程为【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系
18、建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.22、（1）证明见解析 （2）【解析】(1)先证，再证，由可得平面 ，从而推出平面 ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】（1）证明：连接，由图1知，四边形为菱形，且，所以是正三角形，从而.同理可证，所以平面.又，所以平面，因为平面，所以平面平面.易知，且为的中点，所以，所以平面.（2）解：由（1）可知，且四边形为正方形.设的中点为，以为原点，以，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，由得取.设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.
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