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1、6.1 定积分的概念第1页4.3 定积分的概念和基本性质 4.3.1 定积分的定义定积分的定义4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质16.1 定积分的概念第2页 例例:求曲线求曲线 y x2、直线、直线 x 1和和 x轴轴所围成的曲边三角形的面积所围成的曲边三角形的面积。x yOy x214.3.1 引出定积分定义的例题引出定积分定义的例题26.1 定积分的概念第3页x yOy x21 (4)(4)取极限取极限 取取Sn的极限，得曲边三角形面积：的极限，得曲边三角形面积：(1)(1)分割分割(2)(2)近似近似(3)(3)求和求和36.1 定积分的概念第4页x yOy x21 (4)(4
2、)取极限取极限 取取Sn的极限，得曲边三角形面积：的极限，得曲边三角形面积：(1)(1)分割分割(2)(2)近似近似(3)(3)求和求和46.1 定积分的概念第5页x yOy x21 (4)4)取极限取极限 取取Sn的极限，得曲边三角形面积：的极限，得曲边三角形面积：(1)(1)分割分割(2)(2)近似近似(3)(3)求和求和56.1 定积分的概念第6页分分 割割求求 和和近近 似似取极限取极限把整体的问题分成局部的问题把整体的问题分成局部的问题在局部上在局部上“以直代曲以直代曲”,求出求出局部的近似值；局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；得到整体量的
3、精确值；例例:求曲线求曲线 y x2、直线、直线 x 1和和 x轴轴所围成的曲边三角形的面积所围成的曲边三角形的面积。66.1 定积分的概念第7页 一般地，求由连续曲线一般地，求由连续曲线y f(x)(f(x)0)，直线，直线x a、x b及及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：y=f(x)bx yOaxi-1xi=x0 xn=xi76.1 定积分的概念第8页例例2设物体沿直线作变速运动，速度为设物体沿直线作变速运动，速度为 v v(t),假定假定v(t)是是 t 的连的连续函数，求此物体在时间区间续函数，求此物体在时间区间 a,b 内运动所走距离内运动所走距
4、离 s。tOtn=t0t1ti1 titn1 abti引出定义的实例二引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程：求物体作变速直线运动所经过的路程 解：解：(2)在第在第 i(i 1,2,n)个时间段个时间段 ti 1,ti上任取一时刻上任取一时刻 i，用，用v(i)D Dti近似替代物体在第近似替代物体在第i个个时间段所走距离时间段所走距离:D Dsi v(i)D Dti。(1)用分点用分点 t ti(ti 10,f(x)0,利用定积分几何意义验证：196.1 定积分的概念第20页 性质性质1 1：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的
5、代数和，即若fi(x)(i=1,2,n)在a,b内可积，则有206.1 定积分的概念第21页 性质性质2 2：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a,b上可积，则 cf(x)在a,b上也可积（c为常数），且满足216.1 定积分的概念第22页 性质性质3 3：积分的可加性定理：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质设f(x)在a,b内可积，若acb,则f(x)在a,c和c,b上可积；反之，若f(x)在a,c和c,b上可积，则f(x)在a,b内可积，且有226.1 定积分的
6、概念第23页 性质性质4 4：积分的可加性定理：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则236.1 定积分的概念第24页 性质性质5 5：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质设f(x)和g(x)在a,b上皆可积，且满足条件f(x)g(x)，则有246.1 定积分的概念第25页 性质性质6 6：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质256.1 定积分的概念第26页 性质性质7 7：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质若函数f(x)在a,b上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：若函数f(x)在a,b上可积，则266.1 定积分的概念第27页 性质性质8 8：定积分中值定理：定积分中值定理4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质设f(x)在区间a,b上连续，则在a,b内至少有一点(a b),使得下式成立：同时，我们称下式为f(x)在a,b上的平均值平均值276.1 定积分的概念第28页课本例题：例5：不计算积分，试比较下面两个积分的大小28
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