量子辅导4力学量与算符

《量子辅导4力学量与算符》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子辅导4力学量与算符（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、量子力学辅导量子力学辅导典型例题解析典型例题解析1四、力学量和算符四、力学量和算符、在量子力学中，力学量用线性厄密算符表示；其本征值为实在量子力学中，力学量用线性厄密算符表示；其本征值为实数；其本征函数组成正交、归一、完备系，用它作为希尔伯特数；其本征函数组成正交、归一、完备系，用它作为希尔伯特空间的一组基矢，构成一个表象。空间的一组基矢，构成一个表象。厄米算符的一些性质厄米算符的一些性质 （1）两厄米算符之和仍是厄米算符；（两厄米算符之和仍是厄米算符；（2）当且仅当两厄米算）当且仅当两厄米算符对易时，它们之积才是厄米算符；（符对易时，它们之积才是厄米算符；（3）厄米算符的平均值、）厄米算符的

2、平均值、本征值为实数；（本征值为实数；（4）任何状态下平均值为实数的算符为厄米）任何状态下平均值为实数的算符为厄米算符；（算符；（5）厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交）厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交 2、体系波函数可用任意厄密算符的本征函数展开、体系波函数可用任意厄密算符的本征函数展开2 3、力学量的平均值、力学量的平均值 坐标表象坐标表象 动量表象动量表象 4、几个具体的表示力学量的算符、几个具体的表示力学量的算符 （1）动量算符）动量算符 本征函数（自由粒子波函数）本征函数（自由粒子波函数）正交归一性正交归一性3 箱归一化波函数箱归一化波函数 本征值本征值 （2）角动量算

3、符）角动量算符 本征值本征值 本征函数本征函数 （3）自由粒子的哈密顿算符）自由粒子的哈密顿算符一维一维三维三维4 能量本征值能量本征值 （4）力学量平均值随时间的变化公式（推导）力学量平均值随时间的变化公式（推导）若若 则称则称 为守恒量，可知守恒量条件为守恒量，可知守恒量条件5(5)算符的函数算符的函数 守恒量特点守恒量特点（注意与定态区别）（注意与定态区别）1、在任何状态下守恒量的平均值不随时间改变；、在任何状态下守恒量的平均值不随时间改变；2、在任何状态下守恒量的概率分布不随时间改变；、在任何状态下守恒量的概率分布不随时间改变；3、若体系有两个或两个以上的守恒量，且彼此不对易，、若体系

4、有两个或两个以上的守恒量，且彼此不对易，则体系的能级简并则体系的能级简并(证明证明)。量子力学守恒量与量子力学守恒量与经典力学守恒量经典力学守恒量的区别：的区别：1、量守并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是、量守并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是守恒量的本征态，由初始条件决定。守恒量的本征态，由初始条件决定。2、量子体系的各守恒量并不一定可以同时取确定值；、量子体系的各守恒量并不一定可以同时取确定值；如如lx，ly，lz都守恒，但都守恒，但.6典型例题典型例题（一）根据定义解题（一）根据定义解题（最基本方法最基本方法）1、设质量为、设质量为 的粒子在下列势场中运动的粒子在下列势场

5、中运动 （1）求其能级和波函数；）求其能级和波函数；（2）粒子处于基态时的平均位置和均方差。粒子处于基态时的平均位置和均方差。解：（解：（1）由势场特点知，实质为半谐振子，其波函数和能）由势场特点知，实质为半谐振子，其波函数和能 级可由谐振子得出，注意两点：级可由谐振子得出，注意两点：一是一是仅取其中以原点为仅取其中以原点为 节点的部分解，因为波函数在原点处必须为零；节点的部分解，因为波函数在原点处必须为零；二是二是由由 于粒子在半无限空间运动，注意归一化问题。于粒子在半无限空间运动，注意归一化问题。由波函数由波函数在在x=0处连续可知，量子数处连续可知，量子数n只能取奇数值，即只能取奇数值，

6、即 7 最终得半谐振子的能级和波函数为最终得半谐振子的能级和波函数为 （2）半谐振子的基态波函数（）半谐振子的基态波函数（n=1）8（二）利用波函数的性质解题（二）利用波函数的性质解题 量子态由波函数完全描述。对于给定波函数，注意量子态由波函数完全描述。对于给定波函数，注意观测其特性，如实数性、对称性、零点等，可以帮助我们快观测其特性，如实数性、对称性、零点等，可以帮助我们快捷解题。捷解题。1、一个粒子作三维束缚态运动，其波函数为实函数，求、一个粒子作三维束缚态运动，其波函数为实函数，求此状态中动量的平均值。此状态中动量的平均值。解：令波函数为解：令波函数为 ，且，且 ，对于束缚态，对于束缚态

7、 则则 对于对于 有同样结果有同样结果9说明说明：（：（1）力学量的平均值必定是实数，对于实数波函）力学量的平均值必定是实数，对于实数波函 数而言，由于动量算符在形式上是纯虚数，其平数而言，由于动量算符在形式上是纯虚数，其平 均值必为零。均值必为零。2）一维束缚态中，定态波函数空间部分总可以选一维束缚态中，定态波函数空间部分总可以选 为实函数，因此一维束缚定态中动量平均值总为零。为实函数，因此一维束缚定态中动量平均值总为零。2、粒子作一维运动，空间波函数为、粒子作一维运动，空间波函数为 求平均位置。求平均位置。解：波函数为偶函数，即解：波函数为偶函数，即 因为因为 是奇函数；同样是奇函数；同样

8、 是奇函数，亦如此。是奇函数，亦如此。归纳：归纳：凡是具有确定空间宇称的态，其平均位置一定为零凡是具有确定空间宇称的态，其平均位置一定为零注意积分区间注意积分区间10（三）对易关系法（三）对易关系法 1、粒子的哈密顿量为、粒子的哈密顿量为 ，其处于束缚定态中，其处于束缚定态中，证明其动量平均值为零。证明其动量平均值为零。证明：令定态波函数的空间部分为证明：令定态波函数的空间部分为 ，满足，满足 为求为求 的平均值，首先注意的平均值，首先注意 和和 的对易关系的对易关系这里运用了基本对易关系这里运用了基本对易关系 ，计算动量平均值转化，计算动量平均值转化为计算对易子的平均值（注意为计算对易子的平

9、均值（注意 的厄密性）的厄密性）11推论：推论：如果厄密算符如果厄密算符 可以表示为两个厄密算符可以表示为两个厄密算符 和和 的的对易子对易子 ，则在，则在 或或 的本征态中，的本征态中，的平均值必为的平均值必为零。零。该推论可以用来说明许多问题。例如，在角动量的任何一该推论可以用来说明许多问题。例如，在角动量的任何一个直角分量（如个直角分量（如 ）的本征态下，其余两个分量）的本征态下，其余两个分量 的平的平均值均为零。均值均为零。可以证明，如果两个厄密算符可以证明，如果两个厄密算符 反对易反对易则在一个算符的本征态中，另一个算符的平均值必为零。则在一个算符的本征态中，另一个算符的平均值必为零

10、。12 2、系统哈密顿量为、系统哈密顿量为 ，求和式，求和式 的值，其中的值，其中 为矩阵元，为矩阵元，是能量为是能量为 的的 本征态，求和对一切态进行。（本征态，求和对一切态进行。（考研题目考研题目）解：解：13同样，将同样，将 放入后面矩阵元中得放入后面矩阵元中得 两式相加得两式相加得 因为因为 所以所以143、一量子体系处于角动量、一量子体系处于角动量 与与 的共同本征态，总角动的共同本征态，总角动 量平方值为量平方值为 。已知在该态中测量。已知在该态中测量 的值为的值为0的几率是的几率是 1/2，那么测量，那么测量 的值为的值为 的几率是多少？的几率是多少？解：解：方法一方法一 该态对

11、应该态对应 ，显然体系波函数是，显然体系波函数是 中的某一个，中的某一个，在（在（）表象中，对于）表象中，对于 有有 ；假定体系波函数分别为假定体系波函数分别为 ，则，则 的几率为的几率为15 由已知条件可知，体系波函数不可能是由已知条件可知，体系波函数不可能是 ，只能是，只能是 或或对于对于 的几率的几率 对于对于 的几率的几率对于二者，测量对于二者，测量 的值为的值为 的几率都是的几率都是1/4。方法二方法二 由于由于 ：可见在：可见在 的本征态中的本征态中 对应对应 ，的可能取值为的可能取值为 ，故，故 其中其中 分别为分别为 取值为取值为 的几率。由归一化条的几率。由归一化条件件16为什么量子力学中的可观测量算符必为厄米算符（为什么量子力学中的可观测量算符必为厄米算符（浙大浙大05、06、07考研考研）证明或判断某个算符为厄米算符（证明或判断某个算符为厄米算符（考研常出考研常出）什么是可观察量？它与力学量有何区别？什么是可观察算符？它与厄米什么是可观察量？它与力学量有何区别？什么是可观察算符？它与厄米算符有何区别？算符有何区别？物理上可观测的量应该对应什么算符？为什么？（物理上可观测的量应该对应什么算符？为什么？（哈工大考研哈工大考研）厄米算符的本征值和本征矢分别具有什么性质（厄米算符的本征值和本征矢分别具有什么性质（哈工大考研哈工大考研）1718