随机变量数字期望

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值4.1 随机变量的数学期望；4.2 随机变量的方差；4.3 协方差和相关系数;本章内容：本章内容：4.4 矩与协方差矩阵.数字特征第1页/共32页4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望引例引例 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出问题：问题：已知随机变量的概率分布已知随机变量的概率分布,如何计算其平均值？如何计算其平均值？

2、解解 “射击水平射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。只要对他们的平均击中环数进行比较即可。第2页/共32页 分析：分析：若甲射击若甲射击N次次,设击中设击中8环环,9环和环和10环的次数分环的次数分别为别为 次，则甲在次，则甲在N次射击中，平均每次击中次射击中，平均每次击中的环数为的环数为第3页/共32页由于概率是频率的稳定中心，以由于概率是频率的稳定中心，以 表示甲的平均表示甲的平均击中环数击中环数,则则故认为甲射手的水平较高。故认为甲射手的水平较高。由于由于可以看出：可以看出：平均值平均值是以分布概率为权重的加权平

3、均。是以分布概率为权重的加权平均。第4页/共32页 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为PX=xk=pk ，k=1,2,3若级数若级数，则称级数和，则称级数和为随机变量为随机变量 X 的数学期望（或均值），的数学期望（或均值），记作记作E（X）随随机机变变量量 X 的的数数学学期期望望完完全全是是由由它它的的概概率率分分布布确确定定的的，而不应受而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在否则，称随机变量的数学期望不存在第5页/共32页X 1 3 P 0.4 0.6 解解 易知易知 例例1

4、 设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为求求 若将此例视为甲、乙两队若将此例视为甲、乙两队“比赛比赛”，甲队赢的概率为，甲队赢的概率为0.6，输的概率为，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得，并且甲队每赢一次得3分，每输一分，每输一次扣次扣1分，则分，则 E(X)=1.4 是指甲队平均每次可得分是指甲队平均每次可得分第6页/共32页 求随机变量求随机变量X和和Y的数学期望的数学期望于是有于是有 解解 由由(X,Y)的联合分布律可得关于的联合分布律可得关于X、Y的边缘分的边缘分布分别为布分别为 例例2 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表的联合概率分布表为 1

5、2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 1 2 5/8 3/8 1 2 3 3/8 1/4 3/8第7页/共32页 定理定理1 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为则则 证明证明 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为于是有于是有 同理可得同理可得 第8页/共32页 定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，若积分，若积分 说明：如果积分说明：如果积分 收敛收敛，则称随机变量则称随机变量X的数学期望不存在。的数学期望不存在。收敛，则称积分值收敛，则称积分值 为为X的数学期望（或的数学期望（或均值）

6、。记作均值）。记作E(X)，即即2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望第9页/共32页试证X的数学期望不存在证证 因为因为 例例3 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为即 不收敛，所以X的数学期望不存在 第10页/共32页求X的数学期望.例例4 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为解解 由已知可得 第11页/共32页例例5 设二维连续型随机变量的概率密度函数为解解 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为求求E（X），），E（Y）于是有于是有 第12页/共32页 定定理理2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为

7、 f(x,y),则有 于是有 证证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为第13页/共32页3.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望如果级数如果级数 收敛，则有收敛，则有 定理定理3 设设X是随机变量，是随机变量，Y=g(X)是是X的连续函数，则有的连续函数，则有(1)若若 为离散型变量，其概率函数为为离散型变量，其概率函数为 如果积分如果积分 收敛收敛则有则有(2)如果如果X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),第14页/共32页 (3)如果如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为为离散型随机向量，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj=pij

8、 i,j=1,2,3,如果如果 则则Z=g(X,Y)的数学期望为的数学期望为(4)设设二二维维随随机机向向量量（X，Y）为为连连续续型型随随机机变变量量，它它的的联联合合概概率率密密度度为为f(x,y),若若 收收敛敛,则则Z=g(X,Y)的的数学期望为：数学期望为：第15页/共32页解 因为因为 分布律为分布律为 所以所以 其中其中 求求例例6 设随机变量设随机变量 ，第16页/共32页解解 例例7 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为 求求 第17页/共32页解求求 例例8 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为 第18页/共32页例例8

9、设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 求求 解解 第19页/共32页 例例9 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?解解 设每年准备该种商品设每年准备该种商品y t 则利润为则利润为第20页/共32页得到平均利润为当y=2400时，取到最大值，故每年准备此种商品2400 t，可使平均利润达到最大第21页/共32页证证 可可将将C看看成成离离散散型型随随机机变变量量，分分布布律律为为 PX=C=

10、1，故故由由定定义即得义即得E(C)=C.2.设设C为常数，为常数，X为随机变量，则有为随机变量，则有E(CX)=CE(X)证证 设设X的密度函数为的密度函数为 ，则有，则有 3.设设 为任意两个随机变量，都有为任意两个随机变量，都有 1.设设C为常数，则有为常数，则有E(C)=C 4.数学期望的性质数学期望的性质第22页/共32页 3.设设 X,Y 为任意两个随机变量，都有为任意两个随机变量，都有 证证 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为和和 则则推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有

11、4.数学期望的性质数学期望的性质第23页/共32页4.设设X,Y为相互独立的随机变量，则有为相互独立的随机变量，则有 证证 因为因为X与与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足数满足 推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有 所以所以 第24页/共32页解解 设随机变量设随机变量 例例10 一民航机场的送客班车载有一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿位旅客，自机场开出，沿途旅客有途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班

12、车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以下车相互独立，以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求 E(X)i=1,2,10由题意，任一旅客在第由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为个车站不下车的概率为 表示第表示第i站没有旅客下车，故站没有旅客下车，故20位旅客都不在第位旅客都不在第i站下车的概站下车的概率为率为 0.920，在第，在第i站有人下车的概率为站有人下车的概率为1-0.920，于是得，于是得 Xi 的分分布律如下：布律如下：Xi 0 1 P 0.920 1-0.920第25页/共32页 例例10

13、 一民航机场的送客班车载有一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿位旅客，自机场开出，沿途旅客有途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以下车相互独立，以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X)解解 随机变量随机变量 Xi 0 1 P 0.920 1-0.920=10.920 这表明班车平均停车约这表明班车平均停车约9次次 第26页/共32页解解 例例11 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 试验证试验证 ，但，但X和和Y是不独立的是不独立的第27页/共32页解解例例11 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 试验证试验证 ，但，但X和和Y是不独立的是不独立的所以所以现求X的边缘密度函数，的边缘密度函数，当当 时，时，当当 时，时，第28页/共32页同理可得同理可得Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为 显然有显然有 即即故故X和和Y是不独立的是不独立的第29页/共32页1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Y=g(X,Y)小 结第30页/共32页作业P102 8.10.11.12.第31页/共32页谢谢您的观看！第32页/共32页