高中数学《柯西不等式》单元测试题

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1、高中数学柯西不等式单元测试题班级 姓名 一、选择题：1已知a，bR，a2b24，则3a2b的最大值为()A4 B2 C8 D92设x，y，m，n0，且1，则uxy的最小值是()A()2 B. Cmn D(mn)23若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2 C， D，4已知4x25y21，则2xy的最大值是()A. B1 C3 D95已知x，yR，且xy1，则的最小值为()A4 B2 C1 D.6设a、bR，且ab，P，Qab，则()APQ BPQ CP0，且ab1，则的最小值为_；8函数y2的最大值是_；9设a，b，c，d，m，n都是正实数，P，Q ，则P与Q的大小

2、_；10函数y2cos x3的最大值为_；11函数y2的最大值为_.三、解答题：12若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求出最小值点13设a，bR，若ab2，求的最小值14已知ab1，求证：a2b21.15设ab，求证：a8b8.参考答案：一、选择题：1已知a，bR，a2b24，则3a2b的最大值为()A4 B2 C8 D9答案：B2设x，y，m，n0，且1，则uxy的最小值是()A()2 B. Cmn D(mn)2答案：A3若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2 C， D，解析：(a2b2)12(1)2(ab)2，|ab|2，ab2，2答案：A4已知4x25

3、y21，则2xy的最大值是()A. B1 C3 D9解析：2xy2x1y1 .2xy的最大值为.答案：A5已知x，yR，且xy1，则的最小值为()A4 B2 C1 D.解析：24，故选A.答案：A6设a、bR，且ab，P，Qab，则()APQ BPQ CP0，b0，ab0.(ab)又ab，而等号成立的条件是，即ab，ab.即PQ.答案：A二、填空题：7已知a，b0，且ab1，则的最小值为_；解析：(ab)()2()222.答案：8函数y2的最大值是_；解析：根据柯西不等式，知y12.答案：9设a，b，c，d，m，n都是正实数，P，Q ，则P与Q的大小_；解析：由柯西不等式，得P Q.答案：PQ

4、10函数y2cos x3的最大值为_；解析：y2cos x32cos x3.当且仅当，即tan x时，函数有最大值.答案：11函数y2的最大值为_.解析：y213.当且仅当1取等号即22x4x2，x0时取等号答案：3三、解答题：12若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求出最小值点解：由柯西不等式(4x29y2)(1212)(2x3y)21，4x29y2.当且仅当2x13y1，即2x3y时取等号由得4x29y2的最小值为，最小值点为.13设a，bR，若ab2，求的最小值解：(ab)()2()22(11)24.24，即2.当且仅当，即ab时取等号，当ab1时，的最小值为2.14已知ab1，求证：a2b21.证明：由柯西不等式，得(ab)2a2(1a2)b2(1b2)1.当且仅当时，上式取等号，ab，a2b2(1a2)(1b2)于是a2b21.15设ab，求证：a8b8.证明：a8b8(1212)(a4)2(b4)2(1a41b4)2(a4b4)22(1212)(a2)2(b2)22(1a21b2)2(a2b2)22(ab)2.原不等式成立