达朗贝尔公式

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1、第三章 行波法无界区域上偏微分方程的一种求解方法 对定解问题 )(|),(| ,0 00 2 xuxu xuau ttt xxtt D Alembert1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导方程的特征方程为2 2 2( ) ( )dx a dt解得特征线为x at C x atx at 做变换 ，则x x xu u u u u 2xxu u u u u u u u 2( 2 )ttu a u u u 代入方程并化简得0u )(1 fu 偏积分得：对1( ) ( ) ( ) ( )u f d gf g 再对偏积分得：其中 为两个任意函数。于是得偏微分方程 的通解为f g和0u ( , ) ( )

2、( )u f g 于是 的通解为2tt xxu a u ( , ) ( ) ( )u x t f x at g x at ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x xaf x ag x x 由初始条件得： 001 1( ) ( ) ( )2 2 21 1( ) ( ) ( )2 2 2xxxx cf x x s dsa acg x x s dsa a 00( , ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( )2 21 ( )2 x atxx atxu x t f x at g x atx at x at s dsas dsa 0( ( ) ( ) ( )xxa f x g x

3、c s ds 对第二式积分：联立求解得于是原问题的解为 ( ) ( ) 1( , ) ( )2 2 x atx atx at x atu x t s dsa 这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。特解 xyxuexu xyyuyx uxu x ,0)0,(,)0,( ,0,032 2 222222 2d 2d d 3dy x y x (d 3d )(d d ) 0y x y x 例1 解定解问题解方程的特征方程为 02 u)()( 21 ffu ( ,0) xu x e 2 )()3( 21 xyfxyf 解得特征线为3y xy x 做变换 ，则3y x 1=C y x 2=C于是方程的通解为(

4、 3 ) ( ) xf x f x e 21 2( ,0)u xy =0 Cxfxf )()3(31 21( ) ( )f x f x 1 2-3 =0两式联立，求解得 Cexf x 4343)3( 21 Cexf x 4343)( 9/1 2 Cexf x 4343)( 22 CeCeu xyxy 43434343 223 22 4343 3 xyxy ee 故原问题的解为 2 达朗贝尔公式的物理意义( )f x at的物理意义(1) -2246810 0.2 0.4 0.6 0.8 1即 t =0 时的波形( )f x -2246810 0.2 0.4 0.6 0.8 1( )f x at

5、即 t 时的波形( )f x at表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平移at个单位，称为右行波。 同理 表示以速度a沿x轴的左行波。 ( )g x at( ) ( )u f x at g x at 的物理意义(2)行波例2 在上述问题中，初值条件为1, 1 0( ) 1 , 0 10 x xx x x ，其它试说明其解的物理意义。( )x-2 20 12( ) 0 x 可见右行波与左行波分别为1( ) ( )2f x at x at 1( ) ( )2g x at x at 由达朗贝尔公式有( ) ( )( , ) 2x at x atu x t 于是右行波与左行波的波形均为1( ) ( )

6、 ( )2f x g x x 随着时间的推移，其波形如图所示： 0-2-4 2 4121 t -2 2 4012-4 22t 012-2-4 2 40t 3t 012-2-4 2 44t 012-2-4 2 4 5t 012-2-4 2 4 7 3 4sin ( ) 7 70 l lx xx l 其它图形演示：（1）初位移不为零，初速度为零：( ) 0 x 则解为( ) ( )( , ) 2x at x atu x t 解的动画演示（my1） 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01

7、0.02 0.03 0.04 0.05 t=2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t=6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t=9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01

8、0.02 0.03 0.04 0.05 t=15 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t=30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t=50 1 0 0( ) 0 xx others （2）初位移为零，初速度不为零：( ) 0 x 则解为1 1 1( , ) ( ) ( ) ( )2 2

9、 2x at x at x atx atu x t d d da a a 解的动画演示（my2）该式表示将函数0 01 ( ) / 2 12 1/ 2 1x xd x a xa a x 表示的波形向左、右以a的速度移动。 -5 0 5 10-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t=0.2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

10、 0.6 0.8 1 t=1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t=2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t=4 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t=0.5 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0

11、.4 0.6 0.8 1 t=8 22 2|,| ,0 00 2 xttxt xxtt axeueu xuau 2 2 2( ) ( )1 12 2( , ) 2x atx at x at sa x atu x t e e ase ds 解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有 atx atx satxatx dseee 221)()(21 222 atx atxsatxatx eee 222 21)()(21 2)( atxe 例3 用达朗贝尔公式求解下列问题 3 依赖区间、决定区域和影响区域( ) ( ) 1( , ) ( )2 2 x atx atx at x atu x t s dsa 看达

12、朗贝尔公式，回答下面三个问题：（1） ，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步由x轴上哪些点对应的初值决定？ ( , )u x t答：由区间x-at, x+at上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。 进一步分析：方程的特征线为x at C 过(x, t)的两条特征线与x轴的交点正好是x-at和x+at. 如图（2）区间 上的初值都能确定哪些点处的函数值？1 2 , x x特征线，斜率1/a特征线答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线，与x轴围成的三角形区域内任一点的函数值都可由 上的初值决定。 1( ,0)x 2( ,0)x1a1a 1 2 , x x称此区域为 的决

13、定域。1 2 , x x依赖区间x1x x at t 1x决定区域2x2x x at （3）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？1 2 , x x答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线，与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 上的初值的影响。1( ,0)x 2( ,0)x 1a1a 1 2 , x x称此区域为 的影响域。1 2 , x x一点的影响域如图 1x x2xt 2x x at 影响区域1x x at 1x xt 1x x at 影响区域1x x at 4 齐次化原理20 0( , ), , 0| ( ), | ( )tt xxt t tu a u f x t x tu

14、 x u x 考虑非齐次问题不能用达朗贝尔公式可分解成如下两个问题2 0 0, , 0| ( ), | ( )tt xxt t tv a v x tv x v x 20 0( , ), , 0| 0, | 0tt xxt t tw a w f x t x tw w 和用达朗贝尔公式求解如何求解？用齐次化原理（）（） 齐次化原理：若 是下列问题( , ; )w x t 2 , ,| 0, | ( , )tt xxt t tw a w x tw w f x 的解，则（）的解为0( , ) ( , ; )tw x t w x t d #解的进一步分析：令 ，则有t t 20 0, , 0| 0, |

15、 ( , )t t xxt t tw a w x tw w f x 由达朗贝尔公式 ，有1( , ; ) ( , )2 x atx atw x t f da 于是( )( )1( , ; ) ( , )2 x a tx a tw x t f da 从而（）的解为( )0 ( )1( , ) ( , )2 t x a tx a tw x t f d da ( )0 ( )( ) ( ) 1( , ) ( )2 21 ( , )2 x atx att x a tx a tx at x atu x t s dsaf d da 例4：求解下列初值问题：0 02 , , 0| sin , |tt xxt

16、 t tu u x x tu x u x 自己验证原问题的解为 ( )0 ( )sin( ) sin( ) 1( , ) 2 21 22 x tx tt x tx tx t x tu x t sdsd d 解：由如上公式，有21sin( ) sin( )2 x t x t xt xt 2sin cosx t xt xt 例 求解G oursat问题2 22 2 , , 0( ), 0 (0) (0)( ), 0t xt xu u t x t tt xu x xu x x 其中解：令x t x t 2 00 220, 0, 0( ), 0( ), 0uuu 2 x 2t )()( 21 ffu

17、1 22( ) (0) ( )f f 1 22( ) ( ) (0)f f 2 12 2( , ) ( ) (0) ( ) (0)u f f 1 2(0) (0) (0)f f 1 2(0) (0) (0)f f ( , ) ( ) ( ) (0)2 2x t x tu x y 即于是有 补充作业：2 22 24 25 , 0,( ,0)( ,0) sin , 3 ,u u t xt x u xu x x x xt 解定解问题作业：习题1，2，4；习题3（1）、（3） 3.2 髙维波动方程的初值问题1 三维波动方程的泊松公式20 0( ), , , , 0| ( , , ), | ( , ,

18、)tt xx yy zzt t tu a u u u x y z tu x y z u x y z 从形式上看，三维与一维相似，不妨将一维的达朗贝尔公式推广到三维中来，为了便于推广，将达朗贝尔公式写成如下积分形式：( , ) ( ( ) ) ( )2 2 x at x atx at x att tu x t s ds s dst at at 表示 在 上的平均值( )x , x at x at 一维到三维的对应一维三维区间 , x at x at 区间中心x球心( , , )M x y z区间长度2at球面面积2 24 a t区间上的平均值球面上的平均值1 ( )2 x atx at s ds

19、at 2 21 ( , , )4 MatS dsa t 于是推广的三维波动方程的泊松公式球面2 2 2 2 2( ) ( ) ( )x y z a t , ( , , ) MatS M x y z 2 2 2 2( , , , ) ( ( , , ) ) ( , , )4 4M Mat atS St tu x y z t ds dst a t a t 计算中采用球面坐标，直角坐标与球面坐标的关系：sin cossin sin (0 , 0 2 )cosx aty atz at 2 2 sinds a t d d 此解法称为平均值法。可以验证。 0 0 , , , , 0| 0, | 2tt x

20、x yy zzt t tu u u u x y x tu u xy 解：由泊松公式有2( , , , ) 24 MtStu x y z t dst 2 20 01 sin cos sin sin sin2 d x t y t t dt 2 2 20 02 3 sin sin sin sin cos2 sin cos sin t d xy xt ytt d 2xyt 例1 计算下列初值问题的解： 2 二维波动方程的降维法20 0( ), , , 0| ( , ), | ( , )tt xx yyt t tu a u u x y tu x y u x y 先将其看成三维问题，则由泊松公式有2 2

21、2 2( , , ) ( ( , ) ) ( , )4 4 M Mat atS St tu x y t ds dst a t a t 下面将曲面积分化成二重积分：曲面2 2 2 2 2:( ) ( )MatS x y a t 或2 2 2 2: ( ) ( )MatS a t x y 投影区域2 2 2 2:( ) ( )Mat x y a t 面积元素2 21 ( ) ( )ds d d 2 22 2 2 2 2 2 2 21 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x y d da t x y a t x y 2 2 2 2( ) ( )at d da t x y 于是有 2 2 2

22、22 2 2 21 ( , )( , , ) ( )2 ( ) ( )1 ( , ) 2 ( ) ( )MatMatu x y t d dt a a t x yd da a t x y 例2 求解下列问题0 0, , , 0| 0, | 2tt xx yyt t tu u u x y tu u xy 解 由泊松公式，有 2 2 21 2( , , ) 2 ( ) ( )Mtu x y t d dt x y 2 2 20 01 ( cos )( sin )t x r y r rd drt r 2xyt 3 髙维波动方程初值问题泊松公式解的物理意义1 三维泊松公式解的物理意义不妨假设初始扰动仅发生

23、在空间某个有限区域 内，如图。三维泊松公式为2 2 2 2( , , , ) ( ( , , ) )4 ( , , )4 MatMat SStu x y z t dst a tt dsa t 可见 时刻在 处的函数值是由以 为球心、以 为半径的球面 上的初值来确定。(见图示)t ( , , )M x y zM atMatS M MatSat记 到 的最短距离为 ，在长距离为 ，则M d D d D 当 时， 上的初值为零，故 ，说明扰动还未到达点 处；at d MatS ( , , , ) 0u x y z t M当 时， 与 相交，即 上有初值，故一般有 ，说明点 处于扰动状态；d at D

24、 MatS MatS( , , , ) 0u x y z t M当 时， 上的初值为零，故 ，说明扰动已经越过了 点，此处恢复到原来的静止状态。at D MatS ( , , , ) 0u x y z t M 这种现象在物理学上称为惠更斯原理或无后效现象。at M MatSd D at MatSd D M at MatSd D M 2 2 2 22 2 2 21 ( , )( , , ) ( )2 ( ) ( )1 ( , ) 2 ( ) ( )MatMatu x y t d dt a a t x yd da a t x y 可见 时刻在 处的函数值是由以 为圆心、以 为半径的圆面 上的初值来

25、确定。(见图示)t ( , )M x yM atM at M Matatd D 2 二维泊松公式解的物理意义也不妨假设初始扰动仅发生在某个有限区域 内，如图。二维泊松公式为 当 时， 与 相交，即 上有初值，故一般有 ，说明点 处于扰动状态；d at D Mat Mat( , , ) 0u x y t M这种现象在物理学上称为有后效现象或称为波的弥散。当 时， 全部包含 ，说明所有初值对 均有扰动，这和三维情形完全不一样。at D Mat M记 到 的最短距离为 ，在长距离为 ，则M d D当 时， 上的初值为零，故 ，说明扰动还未到达点 处；at d Mat ( , , ) 0u x y t M M Matatd D M Matatd D M Matatd D