简单线性回归分析

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1、10 简 单 线 性 回 归 分 析 主 讲 ： 卢 洁 Ph.D E-mail ： hanyaa800 办 公 室 ： 郑 大 公 卫 学 院 A510室 统 计 学 研 究 特 点 ：n研 究 的 是 样 本 ， 要 对 总 体 作 出 推 断n得 到 的 是 频 率 ， 要 对 概 率 作 出 推 断n需 进 行 参 数 估 计 和 假 设 检 验 抽 样 研 究 抽 样 误 差 n利 用 “ 小 概 率 原 则 ” 进 行 统 计 推 断 准 确 的 收 集 数 据 ； 准 确 的 录 入 数 据 ； 正 确 的 选 用 统 计 分 析 方 法 、 调 用 统 计 分 析 程 序 ；

2、对 输 出 的 结 果 作 出 合 理 的 解 释 。统 计 学 学 习 的 重 点 是 掌 握 如 何 ： 统 计描 述 参 数 估 计 ： 点 估 计 、 区 间 估 计假 设 检 验 定 量 资 料 离 散 趋 势 ： 算 术 均 数 、 中 位 数 等集 中 趋 势 ： 极 差 、 四 分 位 数 间 距 、方 差 、 标 准 差 、 变 异 系 数定 性 资 料 ： 频 率 型 指 标 、 强 度 型 指 标 、 比 统 计 表 和 统 计 图统 计推 断统 计 学 的 主 要 内 容 ：变 量 对 于 单 变 量对 于 多 变 量 ： 多 重 线 性 回 归 、 logistic分

3、 析非 参 数 检 验参 数 检 验定 量 资 料定 性 资 料 实 验 设 计对 于 两 变 量 ： 简 单 线 性 相 关 和 回 归 分 析 数 据 资 料定 量 资 料 数 据类 型设 计类 型单样本 定 性 资 料设 计类 型两独立样本 配对样本 多独立样本 随机区组t / Z检 验 方 差 分 析 单样本 两 、多独立样本 配对样本 等级资料进 入条 件 不 满 足 进入 条 件秩 和 检 验 四格表 RC列联表 配对RCx 2检 验设 计类 型 配对四格表 如 果 你 知 道 某 一 个 人 的 身 高 和 体 重 ， 你 能 知 道 这个 人 的 手 指 有 多 粗 吗 ？如

4、果 你 知 道 患 儿 的 月 龄 ， 你 能 换 算 出 他 体 重 是 多少 吗 ？回 归 分 析 ： 是 研 究 一 个 随 机 变 量 如 何 随 另 一 个 变 量（ 可 固 定 ， 也 可 随 机 ） 变 化 的 。 从 一 组 样 本 数 据 出 发 ， 确 定 变 量 之 间 的 回 归 关 系 式 ；对 这 些 关 系 式 的 可 信 程 度 进 行 各 种 统 计 检 验 ， 并 从 影 响 因 变 量 的 诸 多 变 量 中 找 出 具 有 统 计 学 意 义 的 变 量 ；利 用 所 求 的 关 系 式 ， 根 据 一 个 或 几 个 变 量 的 取 值 来 预 测 或

5、 控 制 另 一 个 特 定 变 量 的 取 值 ， 并 给 出 这 种 预 测 或 控 制 的 精 确 程 度 。回 归 分 析 的 主 要 目 的 ： 就 是 研 究 固 定 自 变 量 X的 情 况 下 ， 因 变 量 Y的 总体 均 数 与 X之 间 的 回 归 关 系 ； 即 ： 简 单 线 性 回 归 分 析线 性 回 归 方 程 的 建 立回 归 方 程 的 解 释线 性 回 归 的 前 提 条 件回 归 方 程 的 假 设 检 验回 归 方 程 的 统 计 应 用10.1 什 么 是 回 归 ？ 。 10.2 简 单 线 性 回 归 模 型 。 10.1 什 么 是 回 归 ？

6、 1. 线 性 回 归 分 析 linear regression analysis： 研 究 一 个 变 量 和 另 外 一 些 变 量 间 线 性 数 量 关 系 的统 计 分 析 方 法 。简 单 线 性 回 归 simple linear regression多 重 线 性 回 归 muptiple linear regression： 涉 及 多 个 变 量 （ 自 变 量 、 解 释 变 量 ） 时 称 。： 模 型 中 只 包 含 两 个 有 “ 依 存 关 系 ” 的 变 量 ， 一个 变 量 随 另 一 个 变 量 的 变 化 而 变 化 ， 且 呈 直 线 变化 趋 势 ，

7、 叫 。分类 矮 个 子 的 父 代 ： 64英 寸而 它 子 代 ： 67英 寸父 亲 和 他 儿 子 的 身 高 ：1.父 代 的 总 均 数 =68英 寸 子 代 的 总 均 数 =69英 寸2.高 个 子 的 父 代 ： 72英 寸 而 它 子 代 ： 71英 寸调 查 了 1087对 父 子 ： 例 10.1 为 研 究 大 气 污 染 一 氧 化 氮 （ NO） 的 浓度 是 否 受 到 汽 车 流 量 、 气 候 状 况 等 因 素 的 影 响 ，选 择 24个 工 业 水 平 相 近 的 一 个 交 通 点 ， 统 计 单位 时 间 过 往 的 汽 车 数 （ 千 辆 ） ，

8、同 时 在 低 空 相同 高 度 测 定 了 该 时 间 段 平 均 气 温 （ ） 、 空 气湿 度 （ ） 、 风 速 （ m/s） 以 及 空 气 中 一 氧 化 氮（ NO） 的 浓 度 （ 10-6） ， 数 据 如 下 表 。 2. 简 单 线 性 回 归 的 两 个 变 量 ：反 应 变 量 response variable或 因 变 量 dependent variable ： 是 按 某 种 规 律 变 化 的 随 机 变 量 ， 是 被 估 计的 被 预 测 的 变 量 。 用 “ Y”表 示 。解 释 变 量 explanatory variable或 自 变 量 in

9、dependent variable 或 预 测 因 子 predictor ： 可 看 作 影 响 因 素 ， 是 能 独 立 自 由 变 化 的 变 量 ， 是“ Y”所 依 存 的 变 量 ， 常 用 “ X”表 示 ， 可 是 随 机 变 量 ，也 可 是 人 为 控 制 或 选 择 的 变 量 。若 Y 随 X1、 X2、 、 Xm的 改 变 而 改 变 : 资 料 类 型 ： 定 量 资 料目 的 ： 了 解 一 氧 化 氮 浓 度 与 汽 车 流 量 、 气 候状 况 等 单 变 量 之 间 的 依 存 关 系 。【 案 例 解 析 】简 单 线 性 回 归 线 性 回 归 的

10、分 类 ：I 型 回 归 ： 因 变 量 （ Y） 是 随 机 变 化 的 ， 但 自 变 量（ X） 可 以 不 随 机 ， 当 它 是 能 够 精 确 测 量 和 严 密 控制 的 量 时 ， 叫 Y 关 于 X 的 I型 回 归 。II型 回 归 ： 因 变 量 （ Y） 和 自 变 量 （ X） 都 是 随 机变 化 的 ， 叫 Y 关 于 X 的 II型 回 归 。表 12-1 不 同 IgG浓 度 下 的 沉 淀 环 数 据IgG浓 度 （ IU/ml） X 1 2 3 4 5 沉 淀 环 直 径 （ mm） Y 4.0 5.5 6.2 7.7 8.5 线 性 回 归 关 系 的

11、特 点 ：u 各 观 测 点 分 布 在 直 线 周 围 的 束 状 带 内 ；u 当 变 量 X 取 某 个 值 时 ， 变 量 Y取 值 可 能 有 几 个 。 u 变 量 间 关 系 不 能 用 函 数 关 系 精 确 表 达Y a bx 自 然 现 象 之 间 存 在 着 大 量 相 互 联 系 、 相 互 依 赖、 相 互 制 约 的 数 量 关 系 。描 述 确 定 性 现 象 的确 定 性 依 存 关 系 描 述 不 确 定 性 现 象 随 机现 象 的 依 存 关 系函 数 关 系 回 归 关 系举 例 ： 正 方 形 面 积Y=X 2 举 例 ： 年 龄 与 身 高Y=+ Y

12、 X 10.2 简 单 线 性 回 归 模 型 的 建 立 只 考 虑 NO浓 度 和 车 流 量 的 关 系 ，问 之 间 是 否 存 在 数 量 依 存 关 系 ？10.1.1 解 析 ： 回 归 分 析 的 要 达 到 下 面 三 个 目 的 ：nNO浓 度 与 车 流 量 之 间 是 有 联 系 ？n是 直 线 趋 势 ， 还 是 曲 线 趋 势 ？n 如 何 采 用 回 归 方 程 定 量 地 描 述 这 种 趋 势 ？n车 流 量 每 增 加 100辆 ， NO浓 度 平 均 会 增 加 多 少 ？ 统 计 描 述nX和 Y间 的 回 归 联 系 是 否 有 统 计 学 意 义 ？

13、n车 流 量 对 NO浓 度 的 影 响 （ 贡 献 ） 有 多 大 ？ 统 计 推 断n如 何 由 车 流 量 预 测 大 气 中 NO的 平 均 浓 度 ？n如 何 通 过 控 制 车 流 量 达 到 控 制 NO浓 度 的 目 的 ？ 统 计 应 用 10.1.2 如 何 定 量 地 描 述 两 者 的 关 系 ：绘 制 散 点 图回 归 方 程 ： 求 回 归 系 数 和 常 数 项 回 归 方 程 和 回 归 系 数 的 假 设 检 验总 体 回 归 系 数 的 区 间 估 计回 归 方 程 的 统 计 应 用 （ 一 ） 绘 制 散 点 图 从 散 点 图 可 见 ： 车流 量 与

14、 空 气 中 NO浓度 所 对 应 的 点 分 布在 一 个 线 性 束 状 带内 ， 有 线 性 的 趋 向 ，所 以 可 以 考 虑 做 线性 回 归 分 析 。 通 常 情 况 下 ， 研 究 者 只 能 获 得 一 定 数 量 的 样 本 数据 ， 用 样 本 数 据 建 立 的 有 关 Y依 从 X变 化 的 线 性 表 达式 称 为 回 归 方 程 （ regression equation） ， 记 为 ：Y a bx Y X= +X 那 么 在 总 体 中 ， 可 能 存 在 对 应 的 方 程 模 型 ：回 归 直 线 的 截 距 参 数（ intercept） 回 归 直

15、线 的 斜 率 参 数 （ slope）又 称 回 归 系 数 （ regression coefficient） i ii YY 让 所 有 点 的 的 平 方 和 最 小 ii YY v用 最 小 二 乘 法 拟 合 直 线 ， 选 择 a和 b使 其 残 差 （ 样 本 点 到直 线 的 垂 直 距 离 )平 方 和 达 到 最 小 。（ 三 ） 回 归 参 数 的 估 计 ： 最 小 二 乘 估 计least square estimation 回 归 参 数 的 估 计 方 法 ： ),.,2,1(,)( )( 21 niLLXX YYXXb xxxyini ii （ ） XbYa

16、（ ） Y a bx 回 归 方 程 ： 2 2( ) ( - - ) i i i iSSE y y y a bx 用 最 小 二 乘 法 拟 合 直 线 ， 选 择 a和 b使 其 残 差 （ 样本 点 到 直 线 的 垂 直 距 离 )平 方 和 达 到 最 小 。 即 :使 下 列 的SSE达 到 最 小 值 。 求 ： NO浓 度 和 车 流 量 间 的 简 单 线 性 回 归 方 程 ？ 解 ： 由 样 本 数 据 了 解 计 算 统 计 量 ， 带 入 下 公 式 ， 求 出回 归 系 数 b 1584.0)( )( 21 XX YYXXb ini ii 1353.0 XbYa X

17、Y 1584.01353.0 作 回 归 直 线 图 带 入 下 公 式 ， 求 出 回 归 截 矩 a 最 小 二 乘 法 原 则 下 的 回 归 方 程 为 ：（ 三 ） 建 立 回 归 方 程 ， 作 回 归 直 线 图 回 归 方 程 的 解 释 b 的 意 义 ？ a 的 意 义 ？ 的 意 义 的 意 义 ？y yy Y a bx XY 1584.01353.0 y 回 归 系 数 的 意 义 ：1. 由 总 体 回 归 方 程 可 知 Y X= + x，参 数 的 意 义 ： 若 自 变 量 X增 加 1个 单 位 ， 反 应 变 量 Y的 平 均 值 便 增 加 个 单 位 。

18、 。2. 由 于 是 Y X= +X 的 估 计 表 达 式 ，所 以 （ 样 本 ） 回 归 系 数 b 表 示 X 增 加 一 个 单 位 ， 样 本 观察 值 Y 平 均 增 加 b 个 单 位 。Y a bx 总 体 回 归 系 数 （ regression coefficient ） 的 统 计 学 意 义 ： X每 增 加 （ 或 减 少 ） 一 个 单 位 ， Y 平均 改 变 了 个 单 位 ； 越 大 ， 表 示 Y 随 X 增 减 变 化 的趋 势 越 陡 。n 0， 表 明 Y与 X呈 同 向 线 性 变 化 趋 势n =0， 表 明 Y与 X无 线 性 回 归 关 系

19、， 但 可 能 有 其 它 关 系n 0， 表 明 Y与 X呈 反 向 线 性 变 化 趋 势 3. 线 性 回 归 分 析 的 前 题 条 件 ： 线 性 （ linear) 独 立 性 （ independent) 正 态 性 (normal) 等 方 差 性 （ equal variance) 3X1Y2Y 3YY X 2X1X Y X= + X iN(+Xi， 2)图 12-3 线 性 回 归 模 型 的 适 用 条 件 示 意 图 3. 线 性 回 归 分 析 的 前 题 条 件l i n enormal正 态 性 equal variance等 方 差 性反 应 变 量 Y 的总

20、体 平 均 值与 自 变 量 X呈 线 性 关 系 在 一 定 范 围 内 任意 给 定 值 ， 则对 应 的 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 在 一 定 范 围 内 ，对 应 于 不 同 X值 ，Y总 体 变 异 程 度相 同linear线 性 independent独 立 性指 任 意 两个 观 察 值互 相 独 立 （ 四 ） 回 归 方 程 有 统 计 学 意 义 吗 ？ 总 体 回 归 系 数 的 统 计 推 断 ： i样 本 Y a bx 样 本 回 归 方 程就 总 体 而 言 ， 这 种 回 归 关 系 是 否 存 在 ？即 总 体 回 归 方 程 是 否 成 立 ？由

21、 于 样 本 回 归 系 数 b与 总 体 回 归 系 数 存 在 抽 样 误差 ， 即 ： 一 般 情 况 下 ， b ， 因 此 需 要 考 虑 抽 样误 差 对 统 计 推 断 是 否 存 在 重 大 影 响 ？ 假 设 检 验 回 归 模 型 的 假 设 检 验 （ model test） ：回 归 系 数 的 假 设 检 验 ：目 的 ： 检 验 求 得 的 回 归 方 程 在 总 体 中 是否 成 立 ；方 法 ： 单 因 素 方 差 分 析 。目 的 ： 即 检 验 总 体 回 归 体 系 数 是 否为 0（ =0） ；方 法 ： t 检 验 。 1. 回 归 模 型 的 假 设

22、 检 验 方 差 分 析 YYYYYY 变 异 的 分 解 ：变 异 的 种 类 产 生 原 因 解 释SS总 ：Y的 离 均 差 平 方 和 没 有 利 用 X的 信 息时 ， Y 观 察 值 的 变 异 反 映 因 变 量 Y的 总 变 异SS回 归 ： （ 回 归 平 方 和 ） 当 自 变 量 X引 入 模 型 后 所 引 起 的 变异 反 映 在 Y的 总 变 异 中 ， 可用 Y与 X的 线 性 关 系 解 释 的那 部 分 变 异 。 SS 回 归 越 大 ，说 明 回 归 效 果 越 好 。SS残 差 ： （ 残 差 平 方 和 ） 总 变 异 中 无 法 用 X和 Y的 回

23、归 关 系 解 释的 那 部 分 变 异 反 应 自 变 量 X以 外 因 素 对 Y的 变 异 的 影 响 。 表 示 考 虑回 归 之 后 ， Y的 随 机 误 差 。 回 归 方 程 假 设 检 验 的 基 本 思 想 ：如 果 总 体 中 自 变 量 X对 因 变 量 Y没 有 贡 献 ， 则 由样 本 所 得 的 回 归 均 方 与 残 差 均 方 应 相 近 ；反 之 ， 如 果 总 体 中 自 变 量 X对 因 变 量 Y有 贡 献 ，回 归 平 方 和 反 应 的 就 不 仅 仅 是 随 机 误 差 ， 即 回归 均 方 必 然 要 远 大 于 残 差 均 方 ；依 此 ， 可

24、 计 算 检 验 统 计 量 F值 作 出 判 断 。 问 ： 所 求 得 的 回 归 方 程 在 总 体 中 是 否 成 立 ？均 方 ： MS=SS/v 回 归 均 方 ： MS回 归 =SS回 归 /v回 归残 差 均 方 ： MS残 差 =SS残 差 /v残 差2 nSSSSSSSSMSMSF 残 差 回 归残 差残 差 回 归回 归残 差回 归 检 验 统 计 量 ：查 F界 值 表 （ P572） ， 确 定 单 侧 临 界 值 Fav回 归 , v残 差 ，求 概 率 值 P， 下 结 论 1. 建 立 假 设 ， 确 定 检 验 水 准 H 0 ： 总 体 回 归 方 程 不

25、成 立 ， 即 总 体 中 自 变 量 X对 因 变 量 Y没 有 贡 献 ； H 1 ： 总 体 回 归 方 程 成 立 ， 即 总 体 中 自 变 量 X对 ； 因 变 时 Y有 贡 献 。 a=0.05 （ 单 侧 ） 查 F 界 值 表 （ P572） ： a =0.05， v回 归 =1、 v残 差 =n-2=22得 ： F(k-1, n-k)= F(1， 22) =4.303. 确 定 P值 ， 作 出 推 断 结 论 ： 由 于 F=41.376 4.30， 则 P 0.05， 故 拒 绝 H 0， 接 受 H 1，可 认 为 在 a =0.05 的 显 著 水 平 上 ， NO

26、浓 度 与 车 流 量 之 间的 回 归 方 程 具 有 统 计 学 意 义 。2. 计 算 检 验 统 计 量 F值 ： 2. 回 归 系 数 的 假 设 检 验 t 检 验 =0， 说 明 Y与 X之 间 并 不 存 在 线 性 关 系 0， 说 明 Y与 X之 间 存 在 线 性 关 系由 总 体 回 归 方 程 Y X= + x 当 =0时 ， Y X= 即 ： 对 于 X 的 任 何 值 ， 总 体 均 数 Y X 没 有 任 何 改 变 ，故 建 立 Y与 的 直 线 回 归 方 程 就 没 有 任 何 意 义 了故 是 否 为 0， 涉 及 到 所 建 立 的 回 归 方 程 是

27、 否 有 意 义 的 问题 。 然 而 从 =0的 总 体 抽 得 样 本 ， 计 算 出 的 回 归 系 数 b很可 能 不 为 零 ， 需 要 对 是 否 等 于 0进 行 假 设 检 验 t检 验 t 检 验 ： 22, 2XXnSSXXSS XYb 残 差bb Sbt 0 2n 检 验 过 程 ： 注 意 ：1.在 简 单 线 性 回 归 模 型 中 ， 对 回 归 模 型 的 方差 分 析 等 价 于 对 回 归 系 数 的 t 检 验 ， 即 有 ：2.对 于 服 从 双 变 量 正 态 分 布 的 同 样 一 组 资 料 ，同 时 作 相 关 分 析 和 回 归 分 析 ， 则

28、相 关 系 数 的 t检 验 与 回 归 系 数 数 的 t 检 验 等 价 ， 即 有 ：Ft br tt （ 五 ） 总 体 回 归 系 数 的 区 间 估 计 ：已 知 b为 回 归 系 数 的 样 本 估 计 值 ， Sb为 样 本 回归 系 数 的 标 准 误 ， 则 总体 回 归 系 数 的 双 侧 1- 置 信 区 间 为 ：上 例 题 中 b=0.1584， Sb=0.0246， v=22,查 t 界 值 表得 ： t 0.05/2,22=2.074； 则 其 总 体 回 归 系 数 的 双 侧 95置 信区 间 为 ： b t/2,v Sb0.1584 2.074 0.024

29、6=(0.1074,0.2095) 22, 2XXnSSXXSS XYb 残 差 【 电 脑 实 现 】SPSS线 性 回 归 分 析 ： 1. 数 据 录 入 2.线 性 回 归 分 析 的 步 骤 : Coefficientsa -.135 .035 -3.829 .001 .158 .025 .808 6.432 .000 (Constant) 车 流 量 Model 1 B Std. Error Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. Dependent Variable: NOa. ANOVA

30、b .053 1 .053 41.376 .000a .028 22 .001 .081 23 Regression Residual Total Model 1 Sum of Squares df Mean Square F Sig. Predictors: (Constant), 车 流 量a. Dependent Variable: NOb. 3. 结 果 及 结 果 输 出 ： （ 六 ） 回 归 方 程 的 解 释 ： 车 流 量 对 NO浓 度 的 影 响 有 多 大 ？决 定 系 数 ： 回 归 平 方 和 与 总 平 方 和 之 比 。u 0 R21u反 映 了 自 变 量 X

31、对 回 归 效 果 的 贡 献 ， 即 Y的 总 变 异中 回 归 关 系 所 能 解 释 的 百 分 比 （ variance account formula,VAF） ；u反 映 了 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 ， 可 作 为 反 应 拟 合 优度 （ goodness of fit） 的 指 标 。2R 1SS SSSS SS 回 归 残 差总 总 上 例 题 ： SS总 =0.0812， SS回 归 =0.0530 R2= SS回 归 / SS总 =0.0530/0.0812=0.6527=65.27% 解 释 ： 说 明 空 气 中 NO浓 度 总 变 异 的 65.27%与

32、 车 流 量有 关 。 （ 七 ） 回 归 方 程 的 统 计 应 用 ：u定 量 描 述 两 变 量 之 间 的 依 存 关 系 。u利 用 回 归 方 程 进 行 统 计 预 测 。u利 用 回 归 方 程 进 行 统 计 控 制 。 1. 统 计 预 测 ： 将 X值 作 预 报 因 子 ， 固 定 总 体 中 X为某 定 值 Xi时 ， 估 计 个 体 Y值 的 容 许 区 间 ， 即 Y值 的波 动 范 围 。 Yn StY 2,2/ a 2211 XX XXnSS iY，Y 例 ： 当 车 流 量 为 1300辆 ， 求 空 气 中 一 氧 化 氮 95%的 容 许 区 间 。答

33、： XY 1584.01353.0 已 知 回 归 方 程 0707.03.11584.01353.0 YX=1.300时 :故 空 气 中 NO的 98%容 许 区 间 为 : 6 2101467.00000.0 1124.2 4035.13.124110358.0074.20707.0 2. 均 数 置 信 区 间 ： 当 X值 为 某 定 值 ， 并 给 定 置 信 度1- ， 考 察 Y的 总 体 均 数 的 分 布 时 ， 可 估 计 Y的 总体 均 数 Y X的 1-置 信 区 间 。 Yn StY 2,2/ a 22 1 XX XXnSS iY，Y 例 ： 当 车 流 量 为 1

34、300辆 ， 求 空 气 中 一 氧 化 氮 95%的 置 信 区 间 。答 ： XY 1584.01353.0 已 知 回 归 方 程 0707.03.11584.01353.0 YX=1.300时 :故 空 气 中 NO的 95%置 信 区 间 为 : 6 21008675.005465.0 1124.2 4035.13.12410358.0074.20707.0 均 数 的 置 信 区 间 和 个 体 容 许 区 间 的 不 同 ： 2. 统 计 控 制 ：例 ： 该 城 市 为 降 低 空 气 中 NO的 含 量 ， 拟 对 车 流 量进 行 适 当 的 控 制 ， 根 据 空 气 污

35、 染 指 数 分 级 ， 要 求空 气 中 氮 氧 化 合 物 含 量 不 超 过 0.1000.150 10-6 。XY 1584.01353.0 已 知 回 归 方 程答 ： 千 辆时当 千 辆时当 801.11584.0/135.0150.010150.0 485.11584.0/135.0100.010100.0 162 161 ，XY ，XY故 该 城 市 单 位 时 间 内 车 流 量 应 控 制 在 1500辆 以 内 ，最 多 不 超 过 1800辆 ， 否 则 会 导 致 轻 度 污 染 的 发 生 。 简 单 线 性 回 归 分 析 的 注 意 事 项 ： 1. 要 注 意

36、 实 际 意 义 ；2. 绘 制 散 点 图 观 察 两 变 量 的 关 系 以 及找 出 异 常 点 ；3. 注 意 自 变 量 和 因 变 量 的 变 化 范 围 。 小 结简 单 线 性 回 归 是 指 只 包 含 一 个 自 变 量 ， 且 呈 线 性 变 化趋 势 的 回 归 模 型 ， 用 于 描 述 因 变 量 的 总 体 均 数 与 自 变量 之 间 的 线 性 关 系 ， 即 两 变 量 间 的 依 存 变 化 关 系 。简 单 线 性 回 归 的 基 本 步 骤 ： 绘 制 散 点 图 ， 在 最 小 二 乘 法 原 则 下 建 立 线 性 回 归 方 程 ， 即 估 计

37、回 归系 数 与 截 距 ； 对 回 归 方 程 或 回 归 系 数 进 行 假 设 检 验 ； 列 出 回 归 方 程 ， 绘 制 回 归 直 线 ； 统 计 解 释 及 应 用 。 线 性 回 归 模 型 的 适 用 条 件 为 ： 线 性 、 独 立 、 正 态 和等 方 差 ， 简 称 LINE。决 定 系 数 反 映 了 回 归 平 方 和 在 总 平 方 和 中 所 占 的 比例 ， 常 用 来 反 映 回 归 的 实 际 效 果 。线 性 回 归 常 用 于 统 计 预 测 和 统 计 控 制 。当 两 变 量 变 化 趋 势 为 非 线 性 时 ， 可 考 虑 拟 合 非 线

38、性回 归 议 程 ， 常 用 的 曲 线 类 型 包 括 指 数 曲 线 ， 多 项 式曲 线 、 双 典 线 和 logistic曲 线 等 。注 意 线 性 相 关 与 线 性 回 归 的 区 别 与 联 系 。 相 关 分 析 是 用 来 描 述 两 变 量 的 相 关 关 系 ， 当 两 变量 满 足 双 变 量 正 态 分 布 时 ， 可 以 计 算 Pearson积 差 相关 系 数 ， 如 果 有 任 何 一 个 变 量 不 满 足 正 态 分 布 或 为 等级 资 料 ， 需 计 算 Spearman秩 相 关 系 数 。回 归 分 析 是 用 来 刻 画 两 变 量 的 依

39、存 关 系 ， 它 要 求资 料 满 足 LINE（ 线 性 、 独 立 、 正 态 和 等 方 差 ） ， 二者 之 间 既 有 联 系 又 有 区 别 。 案 例 讨 论案 例 10-1： 年 龄 与 身 高 预 测 研 究 。 某 地 调 查 了 418岁 男 孩 与 女 孩 身 高 ， 数 据 见 下表 ， 试 描 述 男 孩 与 女 孩 身 高 与 年 龄 间 的 关 系 ， 并 预测 10.5岁 、 16.5岁 、 19岁 与 20岁 男 孩 与 女 孩 的 身 高 。 表 10-5 男 孩 身 高 对 年 龄 的 简 单 线 性 回 归 分 析 结 果%5.98990.98, 2

40、 RF 估 计 值 标 准 误 t Pconstant 83.7363 1.8824 44.4839 0.0000age 5.2748 0.1676 31.4798 0.0000采 用 SPSS对 身 高 与 年 龄 进 行 回 归 分 析 ， 结 果如 下 表 所 示 。 估 计 值 标 准 误 t Pconstant 88.4326 3.2800 26.9611 0.0000age 4.5340 0.2920 15.5290 0.0000表 12-6 女 孩 身 高 对 年 龄 的 简 单 线 性 回 归 分 析 结 果 %1.94,15.241 2 RF 经 拟 合 简 单 线 性 回

41、归 模 型 ， t 检 验 结 果 提 示 回 归 方程 有 非 常 显 著 的 统 计 学 意 义 。 结 果 提 示 ， 拟 合 效 果 非 常好 ， 故 可 认 为 ： （ 1） 男 孩 与 女 孩 的 平 均 身 高 随 年 龄 线 性 递 增 ， 年 龄 每增 长 1岁 ， 男 孩 与 女 孩 身 高 分 别 平 均 增 加 5.27 ， 4.53 ，男 孩 生 长 速 度 快 于 女 孩 的 生 长 速 度 。 （ 2） 依 照 回 归 方 程 预 测 该 地 男 孩 10.5、 16.5、 19和 20岁 的 平 均 身 高 依 次 为 139.12、 170.77、 183.9

42、6和 189.23 ，该 地 女 孩 10.5、 16.5、 19和 20岁 的 平 均 身 高 依 次 为 136.04、163.24、 174.58和 179.11 . 针 对 以 上 分 析 结 果 ， 请 考 虑 ： （ 1） 分 析 过 程 是 否 符 合 回 归 分 析 的 基 本 规 范 ？ （ 2） 回 归 模 型 能 反 映 数 据 的 变 化 规 律 吗 ？ （ 3） 拟 合 结 果 和 依 据 回 归 方 程 而 进 行 的 预 测 有 问 题 吗 ？ （ 4） 男 孩 生 长 速 度 快 于 女 孩 生 长 速 度 的 推 断 是 否 有 依 据 ？ 案 例 辨 析 ：

43、 未 绘 制 散 点 图 ， 盲 目 进 行 简 单 线 性 回归 分 析 ； 若 实 际 资 料 反 映 两 变 量 之 间 呈 现 某 种 曲线 变 化 趋 势 ， 用 简 单 线 性 回 归 方 程 去 描 述 其 变 化规 律 就 是 不 妥 当 的 。正 确 做 法 ： 分 析 策 略 ： 作 散 点 图 ， 选 择 曲 线 类 型 ，合 理 选 择 模 型 ， 统 计 预 测 。 （ 1） 作 散 点 图 由 图 可 见 ， 随 着 年 龄 的 增 加 ， 身 高 也 增 加 ， 但呈 曲 线 变 化 趋 势 ， 1516岁 后 ， 增 加 趋 势 逐 渐 趋于 平 缓 。 因 此

44、 适 合 于 拟 合 曲 线 回 归 方 程 。（ 2） 选 择 曲 线 类 型 ， 进 行 统 计 分 析 ， 几 种 曲 线 方程 拟 合 结 果 如 下 。 结 果 摘 要 ：（ 1） 模 型 参 数 估 计Dependent Variable: 男 孩 身 高The independent variable is 年 龄 （ 3） 选 择 合 理 的 模 型 ， 列 出 回 归 方 程 。 （ 4） 统 计 预 测 。 思 考 题 ：1. 应 用 直 线 回 归 和 相 关 分 析 时 应 注 意 哪 些 问 题 ？2. 简 述 线 性 回 归 分 析 与 线 性 相 关 的 区 别 与 联 系 。3. 举 例 说 明 如 何 利 用 回 归 方 程 进 行 统 计 预 测 和 控制 。4. 回 归 分 析 时 怎 样 确 定 因 变 量 与 自 变 量 ？ TH ANK YOU!