流体力学第3章流体运动学

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1、第 3章 流 体 运 动 学 流 体 运 动 学 是 用 几 何 的 观 点 来 研 究 流 体 的 运 动 ，而 不 涉 及 流 体 的 动 力 学 性 质 。 在 流 体 力 学 中 研 究 流 体 质 点 往 往 是 用 伯 努 利（ Bernoulli） 方 程 将 压 强 和 速 度 联 系 起 来 。 从 这 方面 来 讲 研 究 流 体 质 点 的 速 度 更 为 重 要 。 工 程 流 体 力 学 3.1 描 述 流 体 运 动 的 两 种 方 法 3.1.1 流 体 质 点 和 空 间 点 流 体 质 点 是 指 在 流 场 中 取 出 一 块 极 小 体 积 的 流体 微

2、团 ， 由 于 其 几 何 尺 寸 极 小 可 以 略 去 不 计 ， 作 为一 个 点 ， 但 它 却 具 有 一 定 的 物 理 量 ， 例 如 速 度 、 加速 度 、 压 强 和 密 度 等 。 有 时 也 将 流 体 质 点 称 为 流 体微 团 。 在 流 场 中 ， 由 于 流 体 是 一 个 连 续 介 质 ， 因 此 在任 何 时 候 每 一 个 空 间 点 都 有 一 个 相 应 的 流 体 质 点 占据 它 的 位 置 。 工 程 流 体 力 学 3.1.2 描 述 流 体 运 动 的 两 种 方 法 工 程 流 体 力 学 1.拉 格 朗 日 （ Lagrange） 法

3、 拉 格 朗 日 法 又 称 随 体 法 。 跟 随 一 个 选 定 的 流 体质 点 ， 观 察 它 在 空 间 运 动 过 程 中 各 个 物 理 量 的 变化 规 律 ， 当 逐 次 由 一 个 质 点 转 移 到 另 一 个 质 点便 可 了 解 整 个 或 部 分 流 体 的 运 动 全 貌 。 用 一组 数 （ ） 来 作 为 该 流 体 质 点 的 标 记 。 cba ,工 程 流 体 力 学 ),( ),( ),( tcbazz tcbayy tcbaxx 其 表 达 式 为 用 拉 氏 法 表 示 的 流 体 质 点 的 速 度 和 加 速 度 。 v i j ku v w

4、其 中 ( , , , )( , , , )( , , , )xu u a b c ttyv v a b c ttzw w a b c tt 工 程 流 体 力 学 a i j kx y za a a 2222 22 ( , , , )( , , , )( , , , )x xy yz zu xa a a b c tt tv ya a a b c tt tw za a a b c tt t 其 中 流 体 质 点 的 密 度 场 、 压 强 场 p也 可 用 拉 氏 坐 标 表 示 : ),( tcba ),( tcbapp 工 程 流 体 力 学 用 拉 格 朗 日 坐 标 描 述 流 体

5、质 点 群 运 动 的 数 学 方 程将 十 分 复 杂 ， 以 致 无 法 求 解 。 除 了 研 究 波 浪 运 动 ， 或者 台 风 运 动 ， 一 般 都 应 用 欧 拉 法 来 描 述 。 工 程 流 体 力 学 2.欧 拉 （ Euler） 法 欧 拉 法 又 称 当 地 法 。 它 是 在 选 定 的 一 个 空 间 点 ，观 察 先 后 经 过 这 个 空 间 点 的 各 个 流 体 质 点 物 理 量 的 变化 情 况 ， 当 逐 次 由 一 个 空 间 点 转 移 到 另 一 个 空 间点 便 能 了 解 整 个 流 场 或 部 分 流 场 的 运 动 情 况 。 流 体

6、质 点 的 速 度 场 表 示 为 ( , , , )x y z tv v工 程 流 体 力 学 速 度 分 布 的 分 量 式 可 表 为 ( , , , )( , , , )( , , , )u u x y z tv v x y z tw w x y z t 流 体 质 点 的 密 度 场 、 压 强 场 p也 可 用 欧 拉 变 数 表 示 为 ： ),( tzyx ),( tzyxpp 工 程 流 体 力 学 用 欧 拉 法 表 示 的 流 体 质 点 的 加 速 度 速 度 表 达 式 中 的 坐 标 x， y， z是 质 点 运 动 轨 迹 上 的空 间 点 坐 标 ， 它 不 是

7、 独 立 变 数 ， 而 是 时 间 t的 函 数 ， 即 ( )( )( )x x ty y tz z t 流 体 质 点 的 加 速 度 则 按 复 合 函 数 求 全 导 数 的 方 法来 求 ： d d d d d d d dx y zt t x t y t z t v v v v va u v wt x y z v v v v 工 程 流 体 力 学 其 分 量 式 为 xy z u u u ua u v wt x y zv v v va u v wt x y zw w w wa u v wt x y z 引 进 汉 米 顿 （ Hamilton） 算 子 符 号 : x y z i

8、 j k 工 程 流 体 力 学 可 表 示 为 ddt t v va v v 加 速 度 各 项 的 物 理 意 义 是 ,流 体 质 点 的 加 速 度 由 两部 分 组 成 。 称 为 当 地 加 速 度 或 局 部 加 速 度 ， 由 流 场的 不 恒 定 性 引 起 的 。 称 为 变 位 加 速 度 或 迁 移 加速 度 ， 由 流 场 的 不 均 匀 性 引 起 的 。 v vtv工 程 流 体 力 学 质 点 的 加 速 度 是 这两 项 之 和 ， 即 x u ua ut x 图 3.1是 水 箱 内 的 水 经 收 缩 管 流 出 ， 若 水 箱 无来 水 补 充 。 如

9、果 该 水 箱 有 来 水 补 充 ， 水 位 H保 持 不 变 。工 程 流 体 力 学 H u x图 .1 3 收 缩 管 出 流 图 3.1 收 缩 管 出 流 该 质 点 的 加 速 度 x ua u x H x图 .2 3 等 直 径 直 管 出 流 图 3.2是 水 箱 内水 经 等 截 面 直 管 流出 ， 若 水 位 H不 变即 。 0 xa 工 程 流 体 力 学 图 3.2 等 直 径 直 管 出 流 推 广 到 求 任 意 物 理 量 的 质 点 导 数 ， 引 入 算 子 符 号 : DDtDDt u v wt x y z 物 理 量 的 质 点 导 数 (随 体 导

10、数 )定 义 为 : ( , , , )B x y z tDDtB B B B Bu v wt x y z 等 式 右 边 第 一 项 表 示 当 地 （ 局 部 ） 变 化 率 ， 其 他三 项 表 示 迁 移 （ 变 位 ） 变 化 率 。 工 程 流 体 力 学 拉 格 朗 日 法 和 欧 拉 法 ， 它 们 之 间 是 可 以 互 相 转换 的 。 （ 1） 设 已 给 的 是 拉 格 朗 日 表 达 式 ( , , , )( , , , )( , , , )x x a b c ty y a b c tz z a b c t 工 程 流 体 力 学3.1.3 两 种 表 示 方 法 的

11、 互 相 转 换 然 后 以 欧 拉 坐 标 代 替 式 中 的 拉 氏 坐标 ， 也 就 是 求 拉 氏 法 的 反 函 数 。 便 得 欧 拉表 达 式 。 ),( zyx),( cba工 程 流 体 力 学首 先 将 上 式 两 边 微 分 后 得 到 ( , , , )( , , , )( , , , )xu u a b c ttyv v a b c ttzw w a b c tt 【 例 3.1】 已 知 流 体 质 点 运 动 拉 格 朗 日 表 达 式 为 e ee e t tt tx a by a b试 用 欧 拉 法 来 表 示 流 体 质 点 的 运 动 。 【 解 】 流

12、 体 运 动 为 二 维 （ 平 面 ） 流 动 ， 首 先 对 上式 两 边 进 行 微 分 e e e e t tt txu a btyv a bt 工 程 流 体 力 学 由 于 e2 tx y a e2 tx y b 将 上 式 代 入 ， 得 2 22 2x y x yu yx y x yv x u yv x 即此 为 欧 拉 法 表 达 的 流 体 质 点 运 动 。 工 程 流 体 力 学 （ 2） 设 已 给 的 是 欧 拉 表 达 式 ( , , , )( , , , )( , , , )u u x y z tv v x y z tw w x y z t 首 先 对 两 边

13、进 行 积 分 ， 得 1 2 31 2 31 2 3( , , , )( , , , )( , , , )x x c c c ty y c c c tz z c c c t 式 中 为 积 分 常 数 321 , ccc 工 程 流 体 力 学 从 1 2 31 2 31 2 3( , , ,0)( , , ,0)( , , ,0)a x c c cb y c c cc z c c c 得 到 和 的 关 系 ， 然 后 以 拉 氏坐 标 替 代 式 中 的 积 分 常 数 ， 便 得 到 拉 格朗 日 表 达 式 。 cba , 321 , ccccba ,工 程 流 体 力 学 【 例

14、3.2】 已 知 流 体 质 点 运 动 用 欧 拉 表 达 式 为 22u xv y 试 将 上 式 转 换 成 拉 格 朗 日 表 达 式 。 工 程 流 体 力 学 【 解 】 由 于 2xu xt 上 式 可 表 示 为 ， d 2dx xt d 2dx tx 两 边 积 分 1ln 2x t C 故 21 22ee ttx cy c当 t=0时 （ 即 初 始 时 刻 ） 工 程 流 体 力 学 acx 1 bcy 2代 入 上 式 得 到 22ee ttx ay b即 为 拉 格 朗 日 表 达 式 。 工 程 流 体 力 学 3.2 流 体 运 动 的 分 类 、 迹 线 和 流

15、 线 3.2.1 流 体 运 动 的 分 类 工 程 流 体 力 学 1.流 体 运 动 按 物 理 量 变 化 来 进 行 分 类 流 体 运 动 可 以 分 为 恒 定 流 动 （ 定 常 流 动 ） 和 非恒 定 流 动 （ 非 定 常 流 动 ） 。 所 谓 恒 定 流 动 是 指 在 任 何 固 定 的 空 间 点 来 观 察流 体 质 点 的 运 动 ， 流 体 质 点 的 流 体 参 数 皆 不 随 时 间变 化 。 反 之 即 为 非 恒 定 流 动 。 对 于 恒 定 流 动 ， 流 场 方 程 为 ( , , )( , , )( , , )x y zp p x y zx y

16、 z v v 工 程 流 体 力 学 2.流 体 运 动 按 坐 标 来 进 行 分 类 流 体 运 动 可 分 为 一 维 、 二 维 （ 平 面 ） 和 三 维 （ 空间 ） 流 动 。 流 场 中 的 运 动 参 数 （ 以 速 度 为 主 ） 都 可 以 表 示 为三 个 空 间 坐 标 （ 及 时 间 ） 的 函 数 ， ， 称 这 种流 动 是 三 维 流 动 ， 或 空 间 流 动 。 如 果 速 度 场 可 简 化 表示 为 两 个 空 间 坐 标 的 函 数 ， 称 这 种 流 动 为 二 维 流 动（ 平 面 流 动 ） ； 可 简 化 为 一 个 空 间 坐 标 的 函

17、数 ， 称 这种 流 动 为 一 维 流 动 。 ( , , , )x y z tv v图 3.3所 示 为 理 想 流 体 绕 一 个 无 限 长 圆 柱 体 的 流 动 。 工 程 流 体 力 学 整 个 流 场 只 需 用 x和 y方 向 的 两 个 坐 标 表 示 ，即 ， 属 于 二 维 流 动 ， 又 称 为 平 面 流 动 。 ( , , )v v x y t 在 实 际 工 程 中 ， 当 流 动 管 道 或 渠 道 流 束 的 纵 向 尺 寸 远大 于 横 向 尺 寸 ， 当 不 考 虑 过 流 截 面 上 速 度 分 布 时 ， 为 简 化计 算 ， 工 程 上 常 将 流

18、 速 取 断 面 的 平 均 流 速 ， 那 么 ， 流动 也 可 视 为 一 维 流 动 。 V( , )s tV V 工 程 流 体 力 学 y x图 .3 3 二 维 圆 柱 绕 流 图 3.3 二 维 圆 柱 绕 流 3.按 流 体 质 点 的 变 位 加 速 度 来 分 类流 体 质 点 的 变 位 加 速 度 为 零 ， 即 0v v 将 这 种 流 动 称 为 均 匀 流 动 ， 否 则 就 是 非 均 匀 流 动 。 【 例 3.3】 已 知 速 度 场 。 试 问 ：（ 1） t =1s时 在 （ 2,1） 点 的 加 速 度 是 多 少 。 （ 2） 流 动是 恒 定 流

19、还 是 非 恒 定 流 。 （ 3） 流 动 是 均 匀 流 还 是 非均 匀 流 。 (4 6 ) (6 9 )v i jy x t y x t 工 程 流 体 力 学 【 解 】 （ 1） 由 式 （ 3.7） x u u ua u vt x y )4()96()6()64()64( ttxyttxyxy (4 6 )(1 6 6 )2 2y x t t 以 t =1s， x =2， y =1代 入 上 式 ， 得 8 xa 2m/s212m/sya 同 理 2 2 214.42m/sx ya a a 工 程 流 体 力 学 （ 2） 因 速 度 场 随 时 间 变 化 ， 此 流 动 为

20、 非 恒 定 流 。 （ 3） 由 式 u u v vu v u vx y x y v v i j 0故 此 流 动 是 均 匀 流 。 工 程 流 体 力 学 3.2.2 迹 线 和 流 线 1.迹 线 的 概 念 某 一 个 流 体 质 点 在 连 续 的 时 间 t到 t+dt这 段 时 间 内 ，在 空 间 描 绘 出 来 的 一 条 曲 线 ， 称 为 迹 线 。 迹 线 是 用 拉 格 朗 日 法 来 描 述 的 ， 即 根 据 （ 3.1） 式 ：( , , , )( , , , ) ( , , , )x x a b c ty y a b c tz z a b c t 工 程 流

21、 体 力 学 2.迹 线 的 微 分 方 程 如 图 3.4所 示 ， 该 流 体 质 点 的 速 度 分 量 分 别 为 ： d d d d d dx y zu v wt t t , , 工 程 流 体 力 学 M (x,y,z)1t M (x+ x,y+ y,z+ z)2 d d dt+ td图 .4 3 迹 线 图 3.4 迹 线 式 中 是 t的 函 数 ， 表 示 一 个 流 体 质 点 在不 同 时 刻 t占 据 的 空 间 位 置 。 zyx ,便 得 到 迹 线 的 微 分 方 程 d d d dx y z tu v w 工 程 流 体 力 学 3.流 线 的 概 念 流 线

22、就 是 这 样 的 一 条 曲 线 ， 在 某 个 瞬 时 ， 这 条曲 线 上 所 有 空 间 点 上 的 流 体 质 点 速 度 方 向 和 该 曲 线相 切 。 这 曲 线 就 称 为 该 瞬 时 的 流 线 （ 图 3.5） 。 1 2 3v1 v2 v3图 .5 3 某 时 刻 流 线 图 图 .6 3 绕 二 维 圆 柱 体 的 流 线 图A B 工 程 流 体 力 学 图 3.5 某 时 刻 流 线 图 图 3.6 绕 二 维 圆 柱 体 的 流 线 图 一 般 情 况 下 ， 二 条 流 线 是 不 能 相 交 的 ， 除 非 这个 相 交 点 ， 流 体 质 点 的 速 度

23、为 零 。 如 图 3.6， 两 条 流线 在 A、 B点 相 交 ， 通 常 将 A和 B分 别 称 为 前 驻 点 和后 驻 点 。 在 流 场 中 ， 某时 刻 过 任 意 一 点 都可 以 作 出 一 条 相 应的 流 线 。 如 图 3.7所示 。 流 线 和 迹 线 是 两 个 完 全 不 同 的 概 念 ， 但 是 在 恒 定流 动 中 ， 流 线 和 迹 线 在 形 式 上 是 重 合 的 。 工 程 流 体 力 学 A B C D EvA vB vC vDvEdl1 dl2 dl3 dl4图 .7 3 过 一 点 的 流 线 图 3.7 过 一 点 的 流 线 4.流 线 的

24、 微 分 方 程 在 直 角 坐 标 系 中 d d d dx y z r i j kv i j ku v w d 0 r v在 场 论 中 ， 直 角 坐 标 系 下 和 相 切 表 示 为 ： dr v 工 程 流 体 力 学 图 .8 3 流 线 方 程A Bvz xyo 图 3.8 流 线 方 程 在 t时 刻 ， 在 流 线 AB上 某 点 处 取 微 分 线 段 矢 量 ， 为 该 点 的 速 度 矢 量 （ 图 3.8） ， 两 者 方 向 一 致 。 v dr d d d d 0i j kr v x y zu v w故 必 须 满 足 d d dx y zu v w 由 于 流

25、 线 是 对 某 一 瞬 时 而 言 ， 所 以 微 分 方 程 中 t是 参 变 量 ， 在 积 分 过 程 中 是 作 为 常 数 来 处 理 的 。 工 程 流 体 力 学 【 例 3.4】 已 知 流 体 的 速 度 分 布 为 00u y tyv x tx )0,( 0 试 求 流 线 方 程 ， 并 画 流 线 图 。 【 解 】 由 流 线 的 微 分 方 程 式 （ 3.12） 0 0d dx yty tx 得 其 中 t是 参 变 量 ， 积 分 得 工 程 流 体 力 学 图 .9 3 同 心 圆 族 的 流 线 图y xo 图 3.9 同 心 圆 族 的 流 线 图 Cy

26、x 22 显 然 ， 流 线 图 是 一 组 以 原 点 为 圆 心 的 同 心 圆 族 （ 图3.9） 。 由 于 在 流 线 方 程 中 不 含 有 参 变 量 t， 所 以 流 线 的 形状 不 随 时 间 变 化 ， 但 运 动 不 是 恒 定 流 动 。 工 程 流 体 力 学 【 例 3.5】 已 知 流 场 的 速 度 分 布 为 1 u yv t试 求 ： （ 1） t=1， 过 （ 0,0） 点 的 流 线 方 程 。 （ 2） t=0， 位 于 （ 0,0） 点 流 体 质 点 的 轨 迹 。 工 程 流 体 力 学 【 解 】 （ 1） 由 流 线 的 微 分 方 程 式

27、 （ 3.12） d d1 x yy t以 t作 为 参 变 量 ， 积 分 得 Cyytx 22为 不 同 时 刻 t时 的 流 线 方 程 。 当 t=1时 x=y=0 得 到 C=0 即 流 线 方 程 为 22yyx 工 程 流 体 力 学 （ 2） 由 迹 线 的 微 分 方 程 式 （ 3.11） d d d1 x y ty t 即 d (1 )d (1)d d (2)x y ty t t 其 中 t是 自 变 量 ， 式 积 分 ， 得 122 Cty 由 t=0,y=0 确 定 积 分 常 数 C1=0 工 程 流 体 力 学 即 代 入 式 ， 得 22ty 2d 1 d2t

28、x t 积 分 ， 得 236 Cttx 由 t=0 , x=0 确 定 积 分 常 数 C2=0 得 6 3ttx 消 去 时 间 变 量 t ， 得 迹 线 方 程 22 312 yyx 工 程 流 体 力 学 【 例 3-6】 已 知 流 场 的 速 度 分 布 为 u Kxv Ky （ K0 常 数 ， 且 是 在 上 半 平 面 的 流 动 ） 试 求 ： （ 1） 流 线 方 程 ， 并 绘 制 流 线 图 ； （ 2） 迹 线 方 程 ， 并 绘 制 迹 线 图 。 【 解 】 （ 1） 由 流 线 的 微 分 方 程 式 （ 3.12） d dx yKx Ky 积 分 ， 得

29、lnln Cyx 工 程 流 体 力 学 y xo Cxy 流 线 族 是 一 组 以 x轴 和 y轴 为 渐 近 线 的 等 边 双 曲 线 ，如 图 3.10所 示 。 （ 2） 由 迹 线 的 微 分 方 程 式 （ 3.11） d d dx y tKx Ky 积 分 ， 得 1ln CKtx 即 e Kt1x C e Kt2y C 工 程 流 体 力 学 图 3.10 流 线 和 迹 线消 去 t， 即 得 xy=C， 为 一 组 迹 线 方 程 。 由 于 流 动 是 恒 定 流 动 ， 所 以 迹 线 和 流 线 在 形 式 上是 重 合 的 。 3.2.3 流 管 和 流 量 1

30、.流 管 和 流 束 在 流 场 中 作 一 任 意 非 流 线 的 封 闭 曲 线 C， 过 C上每 一 点 作 出 该 瞬 时 的 流 线 ， 由 于 这 些 流 线 是 不 会 互 相穿 越 的 ， 它 们 所 构 成 的 管 状 壁 面 就 称 为 流 管 ， 而 里 面的 流 体 就 称 为 流 束 。 如 果 取 的 封 闭 曲 线 C相 当 小 ， 则构 成 的 流 管 称 为 微 流 管 。 工 程 流 体 力 学 2.过 流 断 面 、 元 流 和 总 流 在 流 束 上 作 出 与 流 线 相 垂 直 的 横 断 面 称 为 过 流 断面 ， 如 果 流 线 是 相 互 平

31、 行 的 均 匀 流 ， 过 流 断 面 是 平 面 ，否 则 就 不 是 平 面 （ 图 3.11） 。 元 流 是 指 过 流断 面 无 限 小 的 流 束 ，它 可 以 看 成 一 条 流线 。 总 流 是 指 过 流断 面 为 有 限 大 的 流束 ， 它 可 以 看 成 由无 限 多 的 元 流 构 成 。工 程 流 体 力 学 图 .11 3 过 流 断 面 图 3.11 过 流 断 面 3.流 量 流 量 是 指 单 位 时 间 内 通 过 某 一 空 间 曲 面 （ 往 往是 过 流 断 面 ） 流 体 的 量 。 用 体 积 表 示 就 称 体 积 流 量 ， 用 QV表 示

32、 ， QV=m3/s；用 质 量 表 示 就 称 质 量 流 量 ， 用 Qm表 示 ， Qm=kg/s； 它 们 之 间 的 关 系 是 m VQ Q其 中 流 体 的 密 度 工 程 流 体 力 学 流 量 的 计 算 方 法 ： 设 A为 流 场 中 的 一 个 任 意 控 制 曲 面 ， 那 么 通 过 A曲面 的 体 积 流 量 Q的 计 算 ， 如 图 3.12。 An vvndA图 .12 3 流 量 的 计 算 方 法 通 过 dA面 的 体 积 流 量 为 d dQ A v ncosv n nv v 式 中 是 和 两 矢 量 的 夹 角 。 v n 工 程 流 体 力 学

33、图 3.12 流 量 的 计 算 方 法 通 过 A曲 面 上 的 体 积 流 量 d ( )d dnA A AQ Q A v A v n规 定 ， 当 流 体 是 流 出 封 闭 曲 面 则 Q0， 当 流 体 是 流入 封 闭 曲 面 ， 则 Q0） 。设 源 的 源 点 位 于 极 坐 标 的 原 点 。 工 程 流 体 力 学 流 速 场 2r mv r 0v ， 速 度 势 d d drr d drv r v r d ln2 2 m mr rr流 函 数 d d drr d d d2 2 r m mv r vr rr 工 程 流 体 力 学 图 .26 3 源y x =Co =Cr

34、3.26 源 等 势 线 是 以 O点 为 圆 心 的 同 心 圆 族 。 C Cr 等 势 线 方 程 ，流 线 是 由 O点 引 出 的 射 线 。 C C流 线 方 程 ，若 以 直 角 坐 标 表 示 2 2( , ) ln2 mx y x y( , ) arctg2 m yx y x 工 程 流 体 力 学 2.汇 流 体 在 平 面 上 从 四 周 沿 径 向 均 匀 地 流 入 一 点 ，这 样 的 流 动 称 为 汇 （ 图 3.27） 。 流 入 汇 点 的 体 积 流量 Q称 为 汇 流 强 度 ， 一 般 用 -m表 示 。 汇 的 速 度 势 和 流 函 数 的 表 达

35、 式 与 源 相 同 ， 符 号相 反 ， 即 ln2 m r2 m若 以 直 角 坐 标 表 示 工 程 流 体 力 学 图 .27 3 汇y x =Co =Cr 图 3.27 汇 2 2( , ) ln2 mx y x y( , ) arctg2 m yx y x 在 实 际 的 油 田 中 ， 对 于 均 匀 等 厚 的 地 层 ， 在 稳定 情 况 下 ， 油 流 向 生 产 井 可 看 作 是 汇 。 【 例 3.13】 如 图 3.28， 有 一 扩 大 的 水 渠 ， 两 壁 面 交角 为 1弧 度 ， 在 两 壁 面 相 交 处 有 一 小 缝 ， 通 过 该 缝流 出 的 体

36、 积 流 量 （ m3/s） 。求 ： （ 1） 该 渠 道 的 速 度 分 布 ； （ 2） t=0时 ， r=2m处 流 体 的 速 度 和 加 速 度 。 1 12Q t 工 程 流 体 力 学 【 解 】 （ 1） 该 渠 道 流 量 壁 面 交 角 1弧 度 时 为 1 12Q t 则 当 交 角 为 2 弧 度 时 的 流 量 为 12 12 m t源 的 速 度 势 1ln 1 ln2 2 m r t r流 场 的 速 度 场 1 112rv tr r 图 .28 3 水 渠 的 流 动1radr=2mo 工 程 流 体 力 学 3.18 水 渠 的 流 动0v r （ 2） 当

37、 t=0， r=2m处 m/s， 负 号 表 示 流 向 O点 。 12rv ddr r rr rv v va vt t r 2 231 1 1 m1 s2 2 8tr r 工 程 流 体 力 学 3.7.3 环 流 流 体 绕 某 一 固 定 点 作 圆 周 运 动 ， 并 且 它 的 速 度大 小 与 圆 周 半 径 成 反 比 ， 这 样 的 流 动 称 为 环 流 （ 图3.29） 。 该 固 定 点 称 为 环 流 中 心 。 将 坐 标 系 原 点 置 于 环 流 中 心 ， 则 速 度 场 为 ， 0rv v 2 r 式 中 是 个 常 数 ， 称 为 环 流 强 度 ， 当 质

38、 点 逆 时 针作 圆 周 运 动 时 ， 0； 当 质 点 顺 时 针 作 圆 周 运 动 时 ， 0。 工 程 流 体 力 学 速 度 势 d d drv r v r d2 2 rr 流 函 数 d d drvr v r d ln2 2 r rr 等 势 线 方 程 等 势 线 是 由 O点 引 出 的 射 线 族 。 C C即 工 程 流 体 力 学 流 线 方 程 ， C Cr流 线 是 以 O点 为 圆 心 的 同 心 圆 族 。 若 以 直 角 坐 标 表 示 ： ( , ) arctg yx y 2 x( , ) ln 2 2x y x y2 在 实 际 情 况 中 ， 如 大

39、气 中 出 现 气 旋 ， 除 去 涡 核 区以 外 的 区 域 ， 则 涡 核 所 引 起 的 诱 导 速 度 场 可 用 环 流 表征 。 工 程 流 体 力 学 3.7.4 偶 极 子 设 在 坐 标 原 点 有 一 强 度 为 -m的 汇 ， 在 处 有强 度 为 m的 源 ， 图 （ 3.30） ， ( ,0)1 2 1 1( )2 2 2m m m 0 1 当 源 和 汇 无 限 靠 近 时 ， ， 形 成 偶 极 子 ， 因 此 ， sin sinlim2 210m mr r 工 程 流 体 力 学 图 .30 3 偶 极 子 的 形 式1 P(r,)r xy oB 图 3.30

40、 偶 极 子 的 形 式 m M 常 数 ， 称 为 偶 极 子 强 度 ， 它 的 方 向 从 汇指 向 源 为 正 ， 可 得 偶 极 子 的 流 函 数 为 sin2M r cos2M r 等 势 线 方 程 ， C cosCr 等 势 线 是 圆 心 在 x轴 上 的 圆 族 。 流 线 方 程 ， C sinCr 工 程 流 体 力 学 流 线 是 圆 心 在 y轴 上 的 圆 族 。 （ 如 图 3.30） 若 以 直 角 坐 标 表 示 2 2( , ) 2M xx y x y 2 2( , ) 2M yx y x y 工 程 流 体 力 学 =C =Cy xO 图 3.31 偶

41、 极 子 【 例 3.14】 已 知 位 于 原 点 的 强 度 为 m的 源 和 沿 x方 向 速度 为 的 均 流 叠 加 成 一 平 面 流 场 。 0U 求 1） 该 平 面 流 动 的 速 度 势 和 流 函 数 ； 2） 流 场 中 的 速 度 分 布 ；3） 流 线 方 程 ；4） 画 出 零 流 线 及 部 分 流 线 图 。 【 解 】 （ 1） 速 度 势 的 极 坐 标 形 式 为 : 1 2 0 cos ln2mU r r 流 函 数 的 极 坐 标 形 式 为 : 1 2 0 sin 2mU r （ 2） 流 场 中 速 度 分 布 为 : 0 cos 2r mv U

42、r r 01 sinv Ur （ 3） 流 线 方 程 为 ： 令 常 数 ， 流 线 方 程 为 ： 0 sin 2mU r C 式 中 C取 不 同 值 代 表 不 同 的 流 线 。 工 程 流 体 力 学 （ 4） 如 图 3.32， 所 示 ， 零 流 线 的 左 半 支 是 负 x轴的 一 部 分 ， 驻 点 由 （ c） 式 决 定 ： ( ) ( ,0)A b, 0 0cos 02 2r m mv U Ur b 故 02mb U 通 过 驻 点 的 右 半部 分 零 流 线 由 A点 的 流函 数 值 决 定 ： 即 0 sin ,2 2AmU r b 图 .32 3 兰 金 半 体U0 y x bbbA O 工 程 流 体 力 学 图 3.32 兰 金 半 体 0 2 sin sinm br U 故 称 右 半 部 分 所 围 区 域 为 兰 金 （ Rankine） 半 体 ， 它 们 的 渐 近 线 如 下 ： 当 无 穷 远 处 和 时 两 条 流 线 趋 于 平 行 ，渐 近 线 方 程 为 ： 0 2 0 0,2 0,2sin y r b b 工 程 流 体 力 学零 流 线 方 程 为 ： 第 3章 结 束