全国版2017版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.5直接证明与间接证明课件理

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1、第 五 节直 接 证 明 与 间 接 证 明 【 知 识 梳 理 】1.直 接 证 明内容 综 合 法 分 析 法定义 从 已 知 条 件 出 发 ,经过 逐 步 的 推 理 ,最 后达 到 待 证 结 论 的 方法 ,是 一 种 从 _推 导 到 _的 思 维方 法 从 待 证 结 论 出 发 ,一 步 一 步 寻求 结 论 成 立 的 充 分 条 件 ,最 后达 到 题 设 的 已 知 条 件 或 已 被证 明 的 事 实 的 方 法 ,是 一 种 从_追 溯 到 产 生 这 一 结 果 的_的 思 维 方 法原 因结 果 结 果原 因 内容 综 合 法 分 析 法特点 从 “_” 看 “

2、_” ,逐 步 推 向 “未 知 ”,其 逐 步推 理 ,实 际 上 是 要 寻 找 它的 _条 件 从 “_” 看“_” ,逐 步 靠拢 “_” ,其 逐步 推 理 ,实 际 上 是 要寻 找 它 的 _条 件已 知 可 知必 要 未 知需 知已 知 充 分 2.间 接 证 明 反 证 法要 证 明 某 一 结 论 Q是 正 确 的 ,但 不 直 接 证 明 ,而 是 先 去_(即 Q的 反 面 非 Q是 正 确 的 ),经 过 正 确 的推 理 ,最 后 得 出 _,因 此 说 明 非 Q是 _的 ,从 而 断定 结 论 Q是 _的 ,这 种 证 明 方 法 叫 做 反 证 法 .假 设

3、Q不 成 立 矛 盾 错 误正 确 【 特 别 提 醒 】1.用 分 析 法 证 明 数 学 问 题 时 ,要 注 意 书 写 格 式 的 规 范 性 ,常 常 用 “ 要 证 (欲 证 ) ” “ 即 要 证 ” “ 就 要 证 ”等 分 析 到 一 个 明 显 成 立 的 结 论 .2.利 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 时 ,要 假 设 结 论 错 误 ,并 用假 设 命 题 进 行 推 理 ,没 有 用 假 设 命 题 推 理 而 推 出 矛 盾 结果 ,其 推 理 过 程 是 错 误 的 . 【 小 题 快 练 】链 接 教 材 练 一 练1.(选 修 2-2P89练 习 T

4、2改 编 )若 (a 0),则 P,Q的 大 小 关 系 是 ( )A.PQ B.P=QC.PQ,要 证 PQ,只 需 证 P2Q2,只 需 证 :2a+13+ 2a+13+ 只 需 证 a2+13a+42a2+13a+40,只 需 证 4240,因 为 4240成 立 ,所 以 PQ成 立 . 2 a 6 a 7 2 a 8 a 5 , 感 悟 考 题 试 一 试2.(2016 忻 州 模 拟 )用 反 证 法 证 明 命 题 “ 若 a,b N,ab可 被 5整 除 ,那 么 a,b中 至 少 有 一 个 能 被 5整 除 ” 时 ,假 设的 内 容 应 该 是 ( )A.a,b都 能 被

5、 5整 除 B.a,b都 不 能 被 5整 除C.a,b不 都 能 被 5整 除 D.a能 被 5整 除 【 解 析 】 选 B.“ 至 少 有 一 个 能 被 5整 除 ” 的 反 面 是 “ 都不 能 被 5整 除 ” . 3.(2016 亳 州 模 拟 )实 数 a,b,c满 足 a+b+c=0,abc0,则 的 值 ( )A.一 定 是 正 数 B.一 定 是 负 数C.可 能 是 0 D.正 、 负 不 确 定1 1 1a b c 【 解 析 】 选 B.由 a+b+c=0,abc0得 a,b,c中 必 有 两 负 一正 ,不 妨 设 a0,b0,且 |a|c|,则 ,从 而 而 0

6、,所 以 0.1 1 1a b c 1 1a c1 1,a c 1b 4.(2016 肇 庆 模 拟 )在 不 等 边 三 角 形 中 ,a为 最 大 边 ,要想 得 到 A为 钝 角 的 结 论 ,三 边 a,b,c应 满 足 .【 解 析 】 根 据 余 弦 定 理 ,cosA= 所 以 b2+c2a2.答 案 :b2+c20,a,b R,求 证 : 【 解 题 提 示 】 结 论 较 为 复 杂 ,采 用 分 析 法 倒 推 较 为 简 单 .2 22a mb a mb( ) .1 m 1 m 【 证 明 】 因 为 m0,所 以 1+m0,所 以 要 证 即 证 (a+mb)2 (1+

7、m)(a2+mb2),即 证 m(a2-2ab+b2) 0,即 证 (a-b)2 0,又 (a-b)2 0显 然 成 立 ,所 以 2 22a mb a mb( ) ,1 m 1 m 2 22a mb a mb( ) .1 m 1 m 【 加 固 训 练 】1.已 知 非 零 向 量 a,b且 a b,求 证 : 【 证 明 】 要 证 只 需 证 |a|+|b| |a+b|只 需 证 |a|2+2|a|b|+|b|2 2(a2+2a b+b2)因 为 a b,所 以 a b=0, 2. a ba b2, a ba b2 所 以 只 需 证 |a|2+|b|2-2|a|b| 0,即 证 (|a

8、|-|b|)2 0,上 式 显 然 成 立 ,故 原 不 等 式 得 证 . 2.已 知 函 数 f(x)=tanx,x 若 x1,x2 且 x1 x2,求 证 : f(x1)+f(x2) (0, )2， (0, )2，12 1 2x xf( ).2 【 证 明 】 要 证 f(x1)+f(x2) 即 证 (tanx1+tanx2)tan ,只 需 证 明 只 需 证 明 由 于 x1,x2 故 x1+x2 (0, ),所 以 cosx1cosx20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0,12 1 2x xf( ),212 1 2x x21 2 1 21 2sin x sin x

9、 x x1( ) tan2 cos x cos x 2 ， 1 2 1 21 2 1 2sin x x sin x x .2cos xcos x 1 cos x x (0, )2， 故 只 需 证 明 1+cos(x1+x2)2cosx1cosx2,即 证1+cosx1cosx2-sinx1sinx22cosx1cosx2,即 证 cos(x1-x2) (0, )2，12 1 2x xf( ).2 3.已 知 a,b (0,+ ),求 证 : 【 证 明 】 因 为 a,b (0,+ ),所 以 要 证 原 不 等 式 成 立 ,只 需 证 即 证 (a3+b3)2(a2+b2)3,即 证 a

10、6+2a3b3+b6a6+3a4b2+3a2b4+b6,只 需 证 2a3b33a4b2+3a2b4. 1 13 3 2 23 2a b a b . 1 13 3 6 2 2 63 2 a b a b , 因 为 a,b (0,+ ),所 以 即 证 2ab2ab成 立 ,以 上 步 骤 步 步 可 逆 ,所 以 1 13 3 2 23 2a b a b . 考 向 二 综 合 法 【 考 情 快 递 】命 题 方 向 命 题 视 角与 几 何 有 关 的证 明 主 要 考 查 证 明 立 体 几 何 中 线 线 、 线面 、 面 面 垂 直 或 平 行 关 系与 不 等 式 有 关的 证 明

11、 结 合 函 数 、 方 程 、 基 本 不 等 式 等 考查 证 明 不 等 式 的 成 立 问 题与 数 列 有 关 的证 明 主 要 考 查 等 差 数 列 或 等 比 数 列 的 判定 【 考 题 例 析 】命 题 方 向 1:与 几 何 有 关 的 证 明【 典 例 2】 (2015 高 邮 模 拟 )如 图 ,已 知 斜三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ,AB=AC,D为 BC的 中 点 .(1)若 平 面 ABC 平 面 BCC1B1,求 证 :AD DC1.(2)求 证 :A1B 平 面 ADC1. 【 解 题 导 引 】 (1)由 点 D为 等 腰 三 角 形 底 边 BC

12、的 中 点 ,利用 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 AD BC,再 利 用 已 知 面 面 垂 直的 性 质 即 可 证 出 .(2)可 以 连 接 A1C,交 AC1于 点 O,再 连 接 OD,利 用 三 角 形 的中 位 线 定 理 ,即 可 证 得 A1B OD,进 而 再 利 用 线 面 平 行 的判 定 定 理 证 得 . 也 可 以 取 B1C1的 中 点 D1,连 接 A1D1,DD1,D1B,可 得 四 边 形BDC1D1及 D1A1AD是 平 行 四 边 形 ,进 而 可 得 平 面 A1BD1 平面 ADC1,再 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可

13、 证 得 结 论 . 【 规 范 解 答 】 (1)因 为 AB=AC,D为 BC的 中 点 ,所 以 AD BC,因 为 平 面 ABC 平 面 BCC1B1,平 面 ABC 平 面 BCC1B1=BC,AD 平 面 ABC,所 以 AD 平 面 BCC1B1,因 为 DC1 平 面 BCC1B1,所 以 AD DC1. (2)方 法 一 :连 接 A1C,交 AC1于 点 O,连 接 OD,则 O为 A1C的 中 点 ,因 为 D为 BC的 中 点 ,所 以 OD A1B,因 为 OD 平 面 ADC1,A1B 平 面 ADC1,所 以 A1B 平 面 ADC1. 方 法 二 :取 B1C

14、1的 中 点 D1,连 接 A1D1,DD1,D1B,则 D1C1 BD.所 以 四 边 形 BDC1D1是 平 行 四 边 形 ,所 以 D1B C1D.因 为 C1D 平 面 ADC1,D1B 平 面 ADC1,所 以 D1B 平 面 ADC1,同 理 可 证 :A1D1 平 面 ADC1, 因 为 A1D1 平 面 A1BD1,D1B 平 面 A1BD1,A1D1 D1B=D1,所 以 平 面 A1BD1 平 面 ADC1,因 为 A1B 平 面 A1BD1,所 以 A1B 平 面 ADC1. 命 题 方 向 2:与 不 等 式 有 关 的 证 明【 典 例 3】 (2016 九 江 模

15、 拟 )已 知 a0,b0,证 明 :a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.【 解 题 导 引 】 由 已 知 条 件 利 用 基 本 不 等 式 证 明 . 【 规 范 解 答 】 因 为 b2+c2 2bc,a0,所 以 a(b2+c2) 2abc,又 因 为 c2+a2 2ac,b0,所 以 b(c2+a2) 2abc,因 此 a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc. 【 母 题 变 式 】1.本 例 条 件 不 变 ,证 明 【 证 明 】 因 为 a0,b0,所 以 a+b 2 ,当 且 仅 当 a=b时 取等 号 ,所 以 (a+b)2 4ab,所 以 即 1 1 1

16、 .4a 4b a b aba b 1 ,4ab a b 1 1 1 .4a 4b a b 2.本 例 条 件 不 变 ,证 明 a3+b3 (a2+b2).【 证 明 】 a3+b3- (a2+b2)当 a b时 , 从 而 得 abab 2 25 5a a a b b b b aa b a b a b, 5 5a b , 5 5a b a b 0; 当 ab时 , 从 而 得 所 以 a3+b3 (a2+b2).a b, 5 5a b ， 5 5a b a b 0, ab 命 题 方 向 3:与 数 列 有 关 的 证 明【 典 例 4】 (2016 石 家 庄 模 拟 )已 知 数 列

17、an满 足 a1= ,且 an+1= (n N*).(1)证 明 :数 列 是 等 差 数 列 ,并 求 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)设 bn=anan+1(n N*),数 列 bn的 前 n项 和 记 为 Tn,证 明 :Tn0,所 以 Tn0,证 明 : 【 证 明 】 因 为 a,b,c0,根 据 基 本 不 等 式 ,有 三 式 相 加 , +a+b+c 2(a+b+c),即 2 2 2a b c a b c.b c a 2 2 2a b cb 2a, c 2b, a 2c,b c a 2 2 2a b cb c a 2 2 2a b c a b c.b c a 2.(20

18、16 邯 郸 模 拟 )在 ABC中 ,角 A,B,C的 对 边 分 别 为a,b,c,已 知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求 证 :a,b,c成 等 差 数 列 .(2)若 C= ,求 证 5a=3b.23 【 证 明 】 (1)由 已 知 得 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因 为 sinB 0,所 以 sinA+sinC=2sinB,由 正 弦 定 理 ,有 a+c=2b,即 a,b,c成 等 差 数 列 . (2)由 C= ,c=2b-a及 余 弦 定 理 得(2b-a)2=a2+b2+ab,即 有 5ab-3b2=0,所 以 即 5a=

19、3b.23a 3b 5 ， 考 向 三 反 证 法【 典 例 5】 (2015 湖 南 高 考 )设 a0,b0,且 a+b=证 明 :(1)a+b 2.(2)a2+a2与 b2+b2不 可 能 同 时 成 立 . 1 1a b ， 【 解 题 导 引 】 (1)将 已 知 条 件 中 的 式 子 等 价 变 形 为 ab=1,再 由 基 本 不 等 式 即 可 得 证 .(2)利 用 反 证 法 ,假 设 a2+a2与 b2+b2同 时 成 立 ,可 求 得 0a1,0b0,b0,得 ab=1.(1)由 基 本 不 等 式 及 ab=1,有 a+b 2 =2,即 a+b 2.(2)假 设 a

20、2+a2与 b2+b2同 时 成 立 ,则 由 a2+a0得0a1,同 理 0b1,从 而 ab1,这 与 ab=1矛 盾 ,故 a2+a2与 b2+b2不 可 能 同 时 成 立 .1 1 a ba b ab ， ab 【 规 律 方 法 】 反 证 法 的 适 用 范 围 及 证 明 步 骤(1)适 用 范 围 : 否 定 性 命 题 ; 命 题 的 结 论 中 出 现 “ 至 少 ” “ 至 多 ” “ 唯 一 ” 等 词语 的 ; 当 命 题 成 立 非 常 明 显 ,而 要 直 接 证 明 所 用 的 理 论 太 少 ,且 不 容 易 说 明 ,而 其 逆 否 命 题 又 是 非 常

21、 容 易 证 明 的 ; 要 讨 论 的 情 况 很 复 杂 ,而 反 面 情 况 很 少 . (2)证 明 步 骤 : 假 设 命 题 的 结 论 不 成 立 ,即 假 设 结 论 的 反 面 成 立 ; 由 假 设 出 发 进 行 正 确 的 推 理 ,直 到 推 出 矛 盾 为 止 ; 由 矛 盾 断 言 假 设 不 成 立 ,从 而 肯 定 原 命 题 的 结 论 成 立 . 【 变 式 训 练 】 已 知 a -1,求 证 三 个 方 程 :x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中 至 少 有 一 个 方 程 有 实数 根 . 【 证 明 】

22、 假 设 三 个 方 程 都 没 有 实 数 根 ,则 所 以 - a-1.这 与 已 知 a -1矛 盾 ,所 以 假 设 不 成 立 ,故 原 结 论 成 立 . 2 2 22(4a) 4( 4a 3) 0a 1 4a 0(2a) 4 ( 2a) 0, ， 3 1a ,2 21a a 1,32 a 0, 或32 【 加 固 训 练 】1.等 差 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,a1=1+ ,S3=9+3 .(1)求 数 列 an的 通 项 an与 前 n项 和 Sn.(2)设 bn= (n N*),求 证 :数 列 bn中 任 意 不 同 的 三 项都 不 可 能 成 为 等 比

23、数 列 . 2 2nSn 【 解 析 】 (1)设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d.由 已 知 得所 以 d=2,故 an=2n-1+ ,Sn=n(n+ ).1 1a 2 1,3a 3d 9 3 2, 2 2 (2)由 (1)得 bn= 假 设 数 列 bn中 存 在 三 项 bp,bq,br(p,q,r N*,且 互 不相 等 )成 等 比 数 列 ,则 bq2=bpbr.即 (q+ )2=(p+ )(r+ ),所 以 (q2-pr)+ (2q-p-r)=0,因 为 p,q,r N*, nS n 2,n 2 2 22 所 以所 以 =pr,(p-r)2=0,所 以 p=r,与 p r

24、矛 盾 ,所 以 数 列 bn中 任 意 不 同 的 三 项 都 不 可 能 成 等 比 数 列 .2q pr 02q p r 0 ， ，2p r( )2 2.已 知 a,b,c是 互 不 相 等 的 实 数 .求 证 :由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和 y=cx2+2ax+b确 定 的 三 条 抛 物 线 至 少 有一 条 与 x轴 有 两 个 不 同 的 交 点 . 【 证 明 】 假 设 题 设 中 的 函 数 确 定 的 三 条 抛 物 线 都 不 与 x轴有 两 个 不 同 的 交 点 (即 任 何 一 条 抛 物 线 与 x轴 没 有 两 个 不 同的 交 点

25、),由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得 1=(2b)2-4ac 0, 2=(2c)2-4ab 0, 3=(2a)2-4bc 0. 上 述 三 个 同 向 不 等 式 相 加 得 ,4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc 0,所 以 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca 0,所 以 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0,所 以 a=b=c,这 与 题 设 a,b,c互 不 相 等 矛 盾 ,因 此 假 设 不 成 立 ,从 而 原 命 题 得 证 . 3.设 数 列 an是 公 比 为 q的 等 比 数 列 ,Sn是 它 的

26、前 n项 和 .(1)求 证 :数 列 Sn不 是 等 比 数 列 .(2)数 列 Sn是 等 差 数 列 吗 ?为 什 么 ? 【 解 析 】 (1)假 设 数 列 Sn是 等 比 数 列 ,则 S22=S1S3,即 a12(1+q)2=a1 a1 (1+q+q2),因 为 a1 0,所 以 (1+q)2=1+q+q2,即 q=0,这 与 公 比 q 0矛 盾 ,所 以 数 列 Sn不 是 等 比 数 列 . (2)当 q=1时 ,Sn=na1,故 Sn是 等 差 数 列 ;当 q 1时 ,Sn不 是 等 差 数 列 ,否 则 2S2=S1+S3,即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q

27、2),得 q=0,这 与 公 比 q 0矛 盾 . 4.已 知 f(x)=x2+ax+b.(1)求 f(1)+f(3)-2f(2).(2)求 证 :|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中 至 少 有 一 个 不 小 于 .【 解 析 】 (1)因 为 f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,所 以 f(1)+f(3)-2f(2)=2. 12 (2)假 设 |f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都 小 于 ,则 - f(1) ,- f(2) ,- f(3) .所 以 -1-2f(2)1,-1f(1)+f(3)1,所 以 -2f(1)+f(3)-2f(2)2,这 与 f(1)+f(3)-2f(2)=2矛 盾 ,所 以 假 设 错 误 ,即 所 证 结 论 成 立 . 12 121212121212