通信第三章常见函数的傅里叶变换

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1、1.傅 里 叶 级 数 定 义 及 适 用 条 件2.常 见 周 期 信 号 的 频 谱 ,非 周 期 性 信 号 的 频 谱3.傅 里 叶 变 换 的 定 义 及 适 用 条 件 及 性 质4.周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换5.抽 样 定 理6.功 率 频 谱 与 能 量 频 谱7.系 统 频 域 分 析 法8.希 尔 伯 特 变 换第 3章 傅 里 叶 变 换l 重 点 ： 傅 里 叶 1768年 生 于 法 国 ,1807年 提出 “ 任 何 周 期 信 号 都 可 用 正 弦 函 数级 数 表 示 ” , 1822年 在 “ 热 的 分 析理 论 ” 一 书 中 再 次 提 出

2、 。 1829年 狄里 赫 利 给 出 傅 里 叶 变 换 收 敛 条 件 。傅 里 叶 变 换 得 到 大 规 模 的 应 用 ， 则是 到 了 上 世 纪 60年 代 之 后 。3.1 傅 里 叶 变 换 的 产 生傅 里 叶 的 两 个 最 主 要 的 贡 献 ：（ 1） “ 周 期 信 号 都 可 表 示 为 谐 波 关 系 的 正 弦 信 号 的加 权 和 ” ;（ 2） “ 非 周 期 信 号 都 可 用 正 弦 信 号 的 加 权 积 分 表示 ” . 1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , ,cos ,sin ,t t t t kt kt 2 1 *( ) ( )d

3、1t i it f t f t t 21 *( ) ( )d 0t i jt f t f t t i j ， 三 角 函 数就 是 一 个 标 准 的 两 两 正 交 的 函 数 空 间 。 它 满 足 下 列 完备 正 交 函 数 的 三 个 条 件 ：3.2 周 期 信 号 的 傅 里 叶 分 析1. 归 一 化 ：2. 归 一 正 交 化 ：3. 归 一 化 完 备 性 ： 可 以 用 其 线 性 组 合 表 示 任 意 信 号 周 期 的 终 点 1 1 1 1 1 11,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , ,cos ,sin , t t t t k t k t 1 2 12

4、 2T t t 设 三 角 函 数 的 完 备 函 数 集 为 ：其 中三 角 函 数 集 也 可 表 示 为 ： 1 1cos( ),sin( ) 0,1,2, n t n t n 3.2.1 傅 里 叶 级 数 的 三 角 形 式 基 频 周 期 周 期 的 起 点 21 1 1cos( )sin( )d 0tt n t m t t 212 1 1 11 1cos( )cos( )d 0 ,sin( )sin( )d 0tttt n t m t t m nn t m t t 2 21 12 2 2 11 1cos ( )d sin ( )d 2 2t tt t t tTn t t n t

5、t 21 2 11dtt t T t t 0n 时 ， 有（ 2） “ 单 位 ” 常 数 性 ， 即 当 满 足 ： （ 1） 正 交 性 ： 函 数 集 中 的 任 意 函 数 两 两 相 正 交 ， 有 可 以 将 “ 任 意 ” 周 期 函 数 在 这 个 正 交 函 数 集 中 展 开 为( )f t0 1 11( ) ( cos sin )n nnf t a a n t b n t 22 11 2 21 1 11 2 12 1 2 12 ( )cos( )d , 0( )cos( )d 1cos ( )d ( )d , 0tt ttn t tt t f t n t t nf t n

6、 t t t ta n t t f t t nt t 2 21 2 11 1 12 2 11( )sin( )d 2 ( )sin( )dsin ( )dt ttn t ttf t n t tb f t n t tt tn t t 系数 称 为 傅 里 叶 级 数 0 11( ) cos( )2 n nnaf t c n t 0 1 11 ( ) ( cos sin )2 n nnaf t a n t b n t 或 21 12 12 ( )cos( )dtn ta f t n t tt t 同 上 式 傅 里 叶 级 数 的三 角 展 开 式 另 一 种 形 式 t 直 流 分 量 n=1

7、n1基 波 分 量 n次 谐 波 分 量 可 展 开 为 傅 里 叶 级 数 的 条 件 ：( )f t（ 2） 在 区 间 内 有 有 限 个 间 断 点 ；( )f t（ 1） 绝 对 可 积 ， 即 ：( )f t 21 ( ) dtt f t t （ 3） 在 区 间 内 有 有 限 个 极 值 点 。( )f t Direchlet条 件傅 里 叶 级 数 存在 的 充 要 条 件2 2 OppositeHypotenusen n nc a b arctan nn nba 式 中 ， 为 n次 谐 波 振 幅 。 为 n次 谐 波 初 始 相 位 。！ 并 非 任 意 周 期 信 号

8、 都 能 进 行 傅 里 叶 级 数 展 开 ！ 1. 从 三 角 函 数 形 式 的 傅 里 叶 级 数 推 导3.2.2 傅 里 叶 级 数 的 复 指 数 形 式1 1j( ) j( )1 e ecos( ) 2n nn t n tnn t 利 用 欧 拉 公 式 : 1 1j( ) j( )1 1( ) e e 2 2nn t n tn nn nf t c A 式 中 j 2 2e (cos jsin )nn n n n n nA c a b 2 2n n nc a b arctan( )nn nba 幅 度 相 位 复 指 数 幅 度 2 21 12 2 11 11 1j1 12 2

9、j ( )cos( )d j ( )sin( )d2 2 ( )cos( ) jsin( )d ( )e dt tn n n t tt t n tt tA a b f t n t t f t n t tT Tf t n t n t t f t tT T nA 的 具 体 求 法 如 下 ： 1j( )( ) e n tnnf t F 2. 直 接 从 复 变 正 交 函 数 集 推 导1j( )e 1,2, n t n 中 展 开 ， 有( )f t 在 复 变 正 交 函 数 空 间将 原 函 数 2 1 21 12 11 11 j * jj j *( )(e ) d 1 ( )e d(e

10、)(e ) dt n t tt n tn t tn t n tt f t tF f t tTt je 2n nn n AF F 式 中例 0 0( ) ( )T kt t kT 求 的 指 数 傅 里 叶 级 数 和 三 角 傅 里 叶 级 数 。0( )T t已 知 冲 激 序 列 -T0 O T0 2T0 t0( )T t 0( )t T ( )t 00 j01( ) e n tT nt T 0 010 01 2( ) cosT nt n tT T 0( )T t 的 三 角 傅 里 叶 级 数 为 ： 0 01a T 002 00 022 2( )cos dTTna t n t tT T

11、 0nb 又解 0 00 j20 021 1( )e dT n tTnF t tT T 1 00( ) ( ) ( ) ( )Af t A t u t u t TT 1 0 0 0 00() ( ) ( ) ( ) ( ( 1) )n n Af t f t nT A t nT u t nT u t n TT 求 下 图 中 三 角 波 的 三 角 傅 里 叶 级 数 。1( )f t( )f t则 为 的 周 期 延 拓 ， 即 将 ( )f t AC( )f t去 除 直 流 分 量 ， 则 仅 剩 交 流 分 量 ( )f t 00, t T在 内 的 函 数 记 为（ 1） 将 周 期

12、函 数例解 A ( )f t-T0 O T0 2T0 t AC 0 00 0 0 000 0 01 10 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ( 1) ) ( ) ( ) ( ( 1) )1 2 2( ) ( cos ) cosnnn n nAf t f t u t nT u t n TTAA t nT t nT t n TTA A AA t nT A n t n tT T T T T 0AC 01 10 sin2( ) cos d tn n n tA Af t nT n D /2f A 01 sin( ) 2 n n tA Af t n 故 000 0 01 d 2T A Aa t t

13、T T 0na 00 00 02 sin d n T A Ab t n t tT T n （ 2） 利 用 直 接 法 求 解故 01 sin( ) 2 n n tA Af t n 1 1 1j 0 1 1( ) e cos( ) sin( )N N Nn tn n nn N n nf t F a a n t b n t 常 称 为 f(t)的 截 断 傅 里 叶 级 数 表 示 式 。用 MATLAB的 符 号 积 分 函 数 int()可 表 示 上 式 。 格 式 为 ：（ 1） intf=int(f,v) ； 给 出 符 号 表 达 式 f对 指 定 变 量 v的（ 不 带 积 分 常

14、 数 ） 不 定 积 分 ；（ 2） intf=int(f,v,a,b) ； 给 出 符 号 表 达 式 f对 指 定 变 量 v的 定 积 分 。3.2.3 傅 里 叶 级 数 的 MATLAB仿 真 实 现 3.3 周 期 信 号 的 对 称 性 1 纵 轴 对 称 性 （ 1） 如 果 原 函 数 是 偶 函 数 ， 则 其 傅 里 叶 级 数 中 只 有直 流 和 余 弦 分 量 （ 即 偶 函 数 之 和 仍 然 是 偶 函 数 ） 。 （ 2） 如 果 原 函 数 是 奇 函 数 ， 则 其 傅 里 叶 级 数 中 只 有正 弦 分 量 （ 即 奇 函 数 之 和 仍 然 是 奇

15、函 数 ） 。满 足 的 周 期 为 T 的函 数 ； 即 平 移 半 个 周 期 后 的 信 号 与 原信 号 关 于 横 轴 对 称 。( /2) ( )f t T f t 定 义 ：l 奇 谐 函 数l 偶 谐 函 数 满 足 的 周 期 为 T 的函 数 ； 即 平 移 半 个 周 期 后 信 号 与 原 信号 重 合 。 ( /2) ( )f t T f t 2 横 轴 对 称 性（ 2） 偶 谐 函 数 的 傅 里 叶 级 数 中 只 有 偶 次 谐 波 分 量 。（ 1） 奇 谐 函 数 的 傅 里 叶 级 数 中 只 有 奇 次 谐 波 分 量 。 如 果 原 信 号 既 不

16、是 奇 谐 函 数 也 不 是 偶 谐 函 数 ，那 么 其 傅 里 叶 级 数 展 开 式 中 就 会 既 包 含 有 奇 次 谐波 分 量 也 包 含 有 偶 次 谐 波 分 量 。！ 利 用 奇 谐 函 数 、 偶 谐 函 数 性 质 的 时 候 ， 最 好 将其 直 流 分 量 去 掉 ， 以 免 发 生 误 判 。 已 知 奇 谐 函 数 ：例解 t( )f to 12T 12T2E2E1cos t 11cos( )2Tt t( )f to12T 12T2E2E1sin t 11sin( )2Tt t( )f t o12T 12T2E2E( )f t 1( )2Tf t t( )f

17、to 12T 12T2E2E1sin2 t t( )f to12T 12T2E2E1cos2 t 3.4 常 见 周 期 信 号 的 频 谱3.4.1 频 谱 的 概 念频谱图 表 示 信 号 含 有 的 各 个 频 率 分 量的 幅 度 值 。 其 横 坐 标 为 频 率 （ 单 位 为 赫 兹 ） ， 纵 坐 标 对 应各 频 率 分 量 的 幅 度 值 。 nFl 振 幅 频 谱（ 幅 频 特 性 图 ） 表 示 信 号 含 有 的 各 个 频 率 分 量的 相 位 。 其 横 坐 标 为 频 率 ； 纵坐 标 对 应 各 频 率 分 量 的 相 位 （ 单 位 常 用 度 或 弧 度

18、） 。 nl 相 位 频 谱（ 相 频 特 性 图 ） 1,( ) 2 20, kT t kTf t 其 它例 ， 求 频 谱解 （ 1） 单 边 频 谱 ： 1 114 sin( ), 0 22 Sa( )22 , 0n n n nn TA TnT ( )f t T2 t2 oT 1 （ 2） 双 边 频 谱 ： 111 11 /2j 2/2 j 2/2 1 1/22 12 sin1 1 e 2 4e d j 2sin ( ), 0, 1, 2,2 nn tn tn nn b b acF tT T n T n anSa nT T 包 络 线 频 谱 图 随 参 数 的 变 化 规 律 ： 1

19、） 周 期 T不 变 ， 脉 冲 宽 度 变 化 2Sa( ) 0 2 2 2T nF 2O 14 1, ( ) ( )4 4 4nT n nF Sa SaT T 情 况 1：第 一 个 过 零 点 为 n =4 。 在 有 值 （ 谱 线 ）nF 12/ 4 ( )f t T 2 t2 oT 1 1, ( ) ( )8 8 8nT n nF Sa SaT T 情 况 2： ( )f t T 2 t2 oT 1 nF 2 o182T 1, ( ) ( )16 16 16nT n nF Sa SaT T 情 况 3： ( )f t T 2 t2 oT 1 示 意 图 2T nF 116 2o 由

20、 大 变 小 ， Fn 第 一 过 零 点 频 率 增 大 ， 即 所 以 称 为 信 号 的 带 宽 ， 确 定 了 带 宽 。 由 大 变 小 ， 频 谱 的 幅 度 变 小 。 由 于 T 不 变 ， 谱 线 间 隔 不 变 ， 即 不 变 。结 论 2/T1/f 2/ 第 一 个 过 零 点情 况 1： 4T 2/ /(2 )T 2/ 时 ， 谱 线 间 隔2） 脉 冲 宽 度 不 变 , 周 期 T变 化 ( )f t T2 t2 oT 1 示 意 图 2 2T nF 14 20 41)0(0 SaTF 第 一 个 过 零 点情 况 2： 8T 2 4T 2 时 ， 谱 线 间 隔(

21、 )f t2 t2 oT 1 示 意 图 TnF 41 20 TnF 18 2o 第 一 个 过 零 点 情 况 3： 16T 2 8T 2 时 ， 谱 线 间 隔T ( )f t2 t2 o 1 T2T 2T示 意 图 nF 81 20 nF 116 2 0 不 变 ， Fn 的 第 一 个 过 零 点 频 率 不 变 ， 即 带 宽 不 变 。 T 由 小 变 大 ， 谐 波 频 率 成 分 丰 富 ， 且 频 谱 幅 度 变 小 。 T 时 ， 谱 线 间 隔 0 ， 这 时 ： 周 期 信 号 非 周 期 信 号 ； 离 散 频 谱 连 续 频 谱1f 2 结 论 典 型 周 期 信

22、号 的 频 谱 分 析 ， 可 利 用 傅 里 叶 级 数 或傅 里 叶 变 换 。 典 型 周 期 信 号 如 下 ： 1. 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 2. 周 期 对 称 方 波 信 号 3. 周 期 锯 齿 脉 冲 信 号 4. 周 期 三 角 脉 冲 信 号 5. 周 期 半 波 余 弦 信 号 6. 周 期 全 波 余 弦 信 号3.4.2 常 见 周 期 信 号 的 频 谱 1. 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 (1) 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 的 傅 里 叶 级 数 求 解设 周 期 矩 形 脉 冲 ： 脉 宽 为 ， 脉 冲 幅 度 为 E， 周 期 为 T1 1

23、1( ) ( ) ( ),2 2 2 2T Tf t E u t u t t o /2/2 E 1T t( )f t1T 1 10 1 11, ( ) 20, 0, 01 ( )2 2n nnn nn n n E nEc a c SaTcc nEF F a SaT 1j1 1 1111 1( ) ( )cos( ) ( ) 2 2 e n tn nE n nE Ef t Sa n t SaT T 三 角 指 数 1 10 1 ( ) , 0, ( ) 2n nf t E nEa b a SaT 是 偶 函 数 1,202 1( , )f nB B B 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 的 幅 度

24、 频 谱 中 收 敛 规 律 为主 要 能 量 集 中 在 第 一 个 零 点 以 内 ， 即称 为 其 频 带 宽 度（ 2） 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 的 幅 度 、 相 位 谱 相 位 谱O n 2 411ET nC 1n O 122 4幅 度 谱 复 数 频 11ET nF O2 122 4实 数 频 谱幅 度 谱 与 相 位 谱 合 并 10c nC O 122 4 周 期 对 称 方 波 信 号 是 周 期 矩 形 信 号 的 一 种 特 殊 情 况 ，对 称 方 波 信 号 有 两 个 特 点 ：(1)是 正 负 交 替 的 信 号 ， 其 直 流 分 量 a0等 于 零

25、；(2)它 的 脉 宽 恰 等 于 周 期 的 一 半 ， 即 t =T1/2。2. 周 期 对 称 方 波 信 号 的 傅 里 叶 级 数O2E 1 /4T 1 /4T 1T t( )f t2E1T 0 0 ( ), 1,3,5.20, 0 1 , ( ), 0 2 2 2n nnn n n nn nc c a ESa nc E nF F c Sac ， 1 11 j2 1 ( ) sin( )cos( ) 21 sin( ) , 1,3. 2 en n tnE nf t n tnE n nn 三 角指 数 0 0 0 2( ) , 1,3,5.2 nn a bn Ea ESa nn 偶 函

26、 数 且 ，奇 谐 函 数 1n周 期 对 称 方 波 信 号 的 幅 度 频 谱 中 收 敛 规 律na 1 O 12 13 14 15幅 度 谱 1 na 15 O 12 13 14 相 位 谱O n 1 13 15 17 3. 周 期 锯 齿 脉 冲 信 号 的 傅 里 叶 级 数 求 解周 期 锯 齿 脉 冲 信 号 ， 是 奇 函 数 故 ，可 求 出 傅 里 叶 级 数 系 数 b n。如 何 求 bn留 作 思 考 ！ 0na t ( )f t2EO12T 12T2E 1 1 11 11 1 1( ) sin( ) sin(2 ) sin(3 ) 2 31( 1) sin( )

27、nn Ef t t t tE n tn 其 傅 里 叶 级 数 表 达 式 为 ：此 信 号 的 频 谱 只 包 含 正 弦 分 量 ， 谐 波 的 幅度 以 1/n的 规 律 收 敛 。 4. 周 期 三 角 脉 冲 信 号 的 傅 里 叶 级 数 求 解 t( )f tEO12T 12T0 nb 周 期 三 角 脉 冲 信 号 ， 是 偶 函 数 ， 故 ，可 求 出 傅 里 叶 级 数 系 数 a0 、 an。如 何 求 bn留 作 思 考 ！ 此 信 号 的 频 谱 只 包 含 直 流 、 基 波 及 奇 次 谐波 分 量 ， 谐 波 的 幅 度 以 1/n2的 规 律 收 敛 。1

28、1 12 2 12 214 1 1( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 )2 9 254 1 sin ( )cos( )2 2nE Ef t t t tE E n n tn 其 傅 里 叶 级 数 表 达 式 为 ： 5. 周 期 半 波 余 弦 信 号 的 傅 里 叶 级 数 求 解0 nb 周 期 半 波 余 弦 信 号 ， 是 偶 函 数 ， 故 ，可 求 出 傅 里 叶 级 数 系 数 a0 、 an。如 何 求 bn留 作 思 考 ！ t ( )f tEo12T 12T1T 1T 此 信 号 的 频 谱 只 包 含 直 流 、 基 波 及 偶 次 谐波 分 量 ， 谐 波

29、 的 幅 度 以 1/n2的 规 律 收 敛 。1 1 11 121 14 4( ) cos( ) cos(2 ) cos(4 ) 2 3 152 1 2cos( )cos( ) ( 1) 2nE Ef t t t tE E n n tn T ，其 傅 里 叶 级 数 表 达 式 为 ： 6. 周 期 全 波 余 弦 信 号 的 傅 里 叶 级 数 求 解周 期 全 波 余 弦 信 号 ， 是 偶 函 数 。 令 余 弦 信 号 为 1 0 0 02( ) cos( ),f t E t T t ( )f tEo12T 12T1T 1T则 ， 全 波 余 弦 信 号 为 ： 1 0( ) ( )

30、 cos( )f t f t E t 此 信 号 的 频 谱 只 包 含 直 流 、 基 波 及 偶 次 谐波 分 量 ， 谐 波 的 幅 度 以 1/n2的 规 律 收 敛 。1 1 11 0212 4 1 1 1( ) cos(2 ) cos(4 ) cos(6 ) 3 15 352 4 1( 1) cos(2 ) 4 1nnE Ef t t t tE E n tn 其 傅 里 叶 级 数 表 达 式 为 ： 如 果 用 有 限 傅 里 叶 级 数 代 替 无 穷 傅 里 叶 级 数 表 示 信号 ， 必 然 引 进 一 个 误 差 。 如 果 完 全 逼 近 ， 则 n= . 实 际 中

31、 ， n=N, N是 有 限 整 数 。 如 果 N愈 接 近 n ， 则 其 均 方 误 差 愈 小 若 用 2N 1项 逼 近 ， 则 0 1 11( ) ( cos sin )NN n nnS t a a t b t 3.4.3 吉 布 斯 效 应 误 差 函 数 和 均 方 误 差 误 差 函 数 均 方 误 差 () () ()N Nt f t S t 2 2 2 2 20 1( ) ( ) ( )2N N n nE t f t a a b 对 称 方 波 , 是 偶 函 数 且 奇 谐 函 数 。所 以 其 只 有 奇 次 谐 波 的 余 弦 项 。2 sin 2 n E na n

32、2 1 11 1 1 3 5( ) (cos cos3 cos5 )Ef t t t t 例 -E/2 T1/4-T1/4 tE/2o 对 称 方 波 有 限 项 的 傅 里 叶 级 数 （ N=1、 2、 3时 的 逼 近 波 形 ）（ 3） N=3: 21 0.05E E2 1 12 1(cos cos3 ), 3ES t t 22 0.02E E2 12 (cos ),ES t 3 1 112 1(cos cos3 31 cos5 ),5ES t tt 23 0.01E E（ 1） N=1:（ 2） N=2: -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

33、0.4 0.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2 0.40.60.81 有 限 项 的 N越 大 ， 误 差 越 小 例 如 : N=99 1 1 1 12 1 1 1(cos cos3 cos5 cos11 ) 3 5 11ES t t t t -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6 0.81 N越 大 ， 越 接 近 方 波 快 变 信 号 ， 高 频 分 量 ， 主 要 影 响 跳 变 沿 ； 慢 变 信 号 ， 低 频 分 量 ， 主 要 影 响 顶 部 ； 任 一

34、分 量 的 幅 度 或 相 位 发 生 相 对 变 化 时 ，波 形 将 会 失 真 ； 有 吉 伯 斯 现 象 发 生 。 lim ( )NN S f t 结 论 以 周 期 矩 形 脉 冲 为 例 ：只 需 修 改 上 面 程 序 (3.2.3节 )中 函 数 CTFShchsym.m的 内 容 ， 需 注 意 ： 因 周 期 信 号 频 谱 是 离 散 的 ， 故 在绘 制 频 谱 时 采 用 stem而 非 plot命 令 。谐 波 阶 数 取还 需 用 到 MATLAB的 反 褶 函 数 fliplr来 实 现 频 谱 的反 褶 。 上 机 练 习 ！( ) ( ),nf t G t

35、 nT ( 1, 5)T 60Nf 3.4.4 周 期 信 号 的 MATLAB仿 真 实 现 1 12 Sa( )n n E nc a T T 对 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 ， 有 t( )f t22 12T12T 1T1T E 1T t( )f t22 E3.5 非 周 期 性 信 号 的 频 谱3.5.1 从 傅 里 叶 级 数 到 傅 里 叶 变 换 1T 1 12T 谱 线 间 隔 1T 1 12 0T 谱 线 间 隔 0 从 物 理 概 念 考 虑 ： 信 号 的 能 量 存 在 ， 其 频 谱分 布 的 规 律 就 存 在 。由 于 1 ,T 1 11 j21 21 ( )

36、e d 0T n tTnF f t tT 1 从 周 期 信 号 到 非 周 期 信 号 从 傅 里 叶 级 数 到 傅 里 叶 变 换 信 号 的 频 谱 分 布 是 不 会 随 着 信 号 的 周期 的 无 限 增 大 而 消 失 的 。 T 时 ，信 号 的 频 谱 分 布 仍 然 存 在 。 结 论无 限 多 个 无 穷 小 量 之 和 仍 可 等 于 一 个 有 限 量 。1 1j j1( ) e e2n t n tn nn nf t F C 从 数 学 角 度 来 看 ： 所 以 ， 傅 里 叶 级 数 展 开 为 ：1j1( ) ( )e n tnf t F n 1 11 j21

37、 1 21( ) ( )e dT n tTF n f t tT 1 111 1 11 1 1 j1 21 1 0 1 2, , 0, 2 ( )lim ( ) lim lim ( )e dT n tTT TT T F nT F n f t t 两 边 同 乘 以 取 极 限 :为 频 谱 密 度 函 数 。 1 111 1 j1 21 22 ( )( ) lim lim ( )e dT n tTT TF nF f t t 定 义 周 期 信 号 ： 频 谱 是 离 散 的 ， 且 各 频 率 分 量的 复 振 幅 为 有 限 值 。nF非 周 期 信 号 ： 频 谱 是 连 续 的 ， 且 各

38、 频 率 分 量 的复 振 幅 为 无 限 小 量 。( )d2F 所 以 ， 对 非 周 期 信 号 来 说 ， 仅 仅 去研 究 那 无 限 小 量 是 没 有 意 义 的 ， 其 频谱 不 能 直 接 引 用 复 振 幅 的 概 念 。！ (j )F ( )f t2 傅 里 叶 逆 变 换 怎 样 用 计 算1 1 11 j j1j j10 (j )( ) lim e lim e1 1lim (j )e (j )e d2 2n t n tnT Tn n n t tn F nf t F TF n F jj ( ) j j ( )1( ) (j )e d21 1(j )e e d (j )e

39、 d2 21 (j ) cos ( ) jsin ( ) d21 j(j )cos ( )d (j )sin ( )d2 21 (j )cos ( )d2 t t tf t FF FF t tF t F tF t 3. 正 、 逆 傅 里 叶 变 换 j( ) ( )e dtF f t t 反 变 换正 变 换 j1( ) ( )e d2 tf t F ! 傅 里 叶 变 换 对 的 形 式 并 不 唯 一傅 里 叶 变 换 存 在 的 充 分 条 件 : ( )df t t 用 广 义 函 数 的 概 念 ， 允 许 奇 异 函 数 也 能 满 足 上 述 条 件 ，因 而 象 阶 跃 、

40、冲 激 一 类 函 数 也 存 在 傅 里 叶 变 换 。 4 傅 里 叶 变 换 的 另 外 几 种 形 式 j2(j2 ) ( )e dftF f f t t j2j21( ) (j2 )e d(2 )2 (j2 )e d f tf tf t F f fF f f j2( ) ( )e dftF f f t t j2( ) ( )e dftf t F f f j(j ) ( ) 2 ( )e dtF F f t f t t 1 j( ) (j ) (j )e dtf t F F F j1(j ) ( ) ( )e d2 tF F f t f t t 1 j1( ) (j ) (j )e d

41、2 tf t F F F 本 节 主 要 介 绍 以 下 几 种 典 型 的 非 周 期 信 号 的 频 谱 。1.单 边 指 数 信 号 6. 符 号 函 数2. 双 边 指 数 信 号 7. 冲 激 函 数 傅 里 叶 变 换 对 3. 奇 双 边 指 数 信 号 8. 冲 激 偶 的 傅 里 叶 变 换 4. 矩 形 脉 冲 信 号 9. 阶 跃 信 号 的 傅 里 叶 变 换5. 钟 形 脉 冲 信 号 10. 复 正 弦 信 号 3.5.2 常 见 信 号 的 傅 里 叶 变 换 1. 单 边 指 数 信 号 的 傅 里 叶 变 换 ( ) ( ) ( 0)e atf t u t a

42、 单 边 指 数 ：（ 复 函 数 ） 2 21( )1( ) ,j ( ) arctanF aF a a （ ）其 傅 里 叶 变 换 为 ： 利 用 傅 里 叶 变 换 定 义 公 式jj0 ( j ) ( j ) 00( ) ( )e d ( 0)e e d 1 1e d e( j ) jtat ta t a tF f t t att a a ( ) ( )( 0)e atf t u ta O1 t时 域 波 形2 21( )F a O1a 12a 3a单 边 指 数 信 号 的 频 谱 如 下 ： O 2( ) arctan( )a 2频 域 频 谱 ( ) ( 0)e a tf t

43、a 偶 双 边 指 数 ：2. 双 边 指 数 信 号 的 傅 里 叶 变 换 2 2 2 22( ) 2( )( ) 0 aF a aF a 其 傅 里 叶 变 换 为 ： （ 正 实 函 数 ） 利 用 傅 里 叶 变 换 定 义 公 式求 解 过 程 j j0 j j0 0( j ) ( j ) 02 2( ) ( )e d e e d e e d e e d1 1 e e( j ) ( j )1 1 2 , ( 0)j j att tat t at ta t a tF f t t tt ta aa aa a a ( ) ( 0)e a tf t a O1 t时域波形 双 边 指 数 信

44、 号 的 频 谱 如 下 ：频域频谱 2 22( ) aF a O2a 1a 3a相 位 ( ) 0 ( ) ( 0)e , 0e , 0atf t aat tt 奇 双 边 指 数 ： 2 22 2 2( )2j ( ) , , 02( ) , 02F aF a （ 纯 虚 函 数 ）3. 奇 双 边 指 数 信 号 的 傅 里 叶 变 换 频 域 频 谱 O2 02( ) 02 2O1a a 2 22( )F a a O1 t时 域 波 形 ( ) ( 0)e 0e 0atf t ata tt ， ， 频 谱 如 下 ： ( ) ( ) ( )2 2f t E u t u t 矩 形 脉

45、冲 ： ( ) 2( ) , 2 0, ( ) 0( ) , ( ) 0F E SaF E Sa FF 4. 矩 形 脉 冲 信 号 的 傅 里 叶 变 换实 函 数 2 1, 21 fB f 时 域 有 限 的 矩 形 脉 冲 信号 ， 在 频 域 上 是 无 限 分布 。 常 认 为 信 号 占 有 频率 范 围 （ 频 带 B） 为() ( ) ( )2 2f t Eu t u t O t( ) 2F E Sa （ ）O 22 6E - 2( ) e tf t E （ ）钟 形 脉 冲 ：5. 钟 形 脉 冲 信 号 的 傅 里 叶 变 换 （ 高 斯 脉 冲 ） 22( ) eF E

46、（ ）其 傅 里 叶 变 换 为 ： （ 正 实 函 数 ） 22( ) ( ) 0 eF E （ ） 22( ) eF E （ ）OE 2eE 因 为 钟 形 脉 冲 信 号 是一 正 实 函 数 ， 所 以 其相 位 频 谱 为 零 。 2( ) e tf t E （ ）O tEeE 时 域 波 形频 域 频 谱 01 0 e , 0sgn( ) 0 0 lim e , 01 0 at atat tf t t t tt ，( )= ， ，6. 符 号 函 数 的 傅 里 叶 变 换2( ) jF ；其 傅 里 叶 变 换 为 ： 2( ) , 02( ) , 02F （ 纯 虚 数 函 数

47、 ） sgn( )tO t1 1 O ( ) 22 符 号 函 数 不 满 足 绝 对 可 积条 件 ， 但 它 却 存 在 傅 里 叶 变 换 。 采 用 符 号 函 数 与 双 边 指 数衰 减 函 数 相 乘 ， 求 出 奇 双 边 指数 的 频 谱 ， 再 取 极 限 ， 从 而 求得 符 号 函 数 的 频 谱 。 O ( )F 7. 冲 激 函 数 傅 里 叶 变 换 对直 流 信 号 的 傅 里 叶 变 换 是 冲 激 函 数)(21 F )(2 EEF 1de)()()( j tttFF t 21de)(21)( j1 F t！ ( ) ( )f t t 均 匀 谱 或 白 色

48、 谱1O )(F t)(to 1)( tf1O t)(2 O 8. 冲 激 偶 的 傅 里 叶 变 换 ( ) ( )f t t j1( ) e d2 tt jd ( ) 1 (j )e dd 2 ttt d( ) ( ) jdF FT tt 记 为 d ( ) jd FTtt d ( ) (j )d n nnFT tt d( ) 2(j) ( )d nn n nFT t 同 理 ， 有 9. 阶 跃 信 号 的 傅 里 叶 变 换 1 1( ) ( ) sgn( )2 2f t u t t 1 1( ) sgn( )2 21 ( ) jF FT FT t 2 2 21( ) ( )F 幅 频

49、 特 性 0, 0( ) /2, 0/2, 0 相 频 特 性 u(t)O t1 )(FO 10 复 正 弦 信 号 j( ) e ctf t j1(1) e d ( )2 tIF T t j j je d e d e dt xt tx je d 2 ( )t t j j( )(e ) e d 2 ( )c ct t cFT t t ct je 2 ( )ct c je ctc 2的 傅 里 叶 变 换 为 一 位 于且 强 度 为 的 冲 激 函 数 。 结 论 ( )F 2 O c 升 余 弦 脉 冲 信 号 的 傅 里 叶 变 换 补 充升 余 弦 脉 冲 信 号 ：( ) 1 cos(

50、 ), (0 )2E tf t t 其 傅 里 叶 变 换 为 ： 2 2sin( ) Sa( )( ) 1 ( ) 1 ( ) E EF （ 实 数 ）其 频 谱 由 三 项 构 成 ， 均 为 矩形 脉 冲 频 谱 ， 只 是 有 两 项 沿频 率 轴 左 、 右 平 移 了 / ( )f tO tE/2E 22 2( )F O2EE 3 4 利 用 傅 里 叶 变 换 定 义 公 式j jj j0 j j j0 0( ) ( )e d 1 cos( )e d2e d e e d e e d2 4 4 Sa( ) Sa( ) Sa( ) 2 2t tt tt t tE tF f t t t

51、E E Et t tE EE 化 简 得 ：求 解 过 程 2 2sin( ) Sa( )( ) 1 ( ) 1 ( ) E EF 3.5.3 MATLAB仿 真 实 现MATLAB数 学 工 具 箱 Symbolic Math Toolbox提 供了 能 直 接 求 解 傅 氏 变 换 及 逆 变 换 的 函 数 fourier()和ifourier()。（ 1） 傅 里 叶 变 换 调 用 格 式1） F=fourier(f) 2） F=fourier(f,v) 3） F=fourier(f,u,v) j(j ) ( )e dvtF v f t t j(j ) ( )e dvtF v f

52、u t )(ff （ 2） 傅 里 叶 逆 变 换 调 用 格 式1） f=ifourier(F) 2） f=ifourier(F,u) 3） f=ifourier(F,v,u) 在 调 用 fourier()和 ifourier()之 前 ， 要 用 syms命 令 对 所 用 到的 变 量 进 行 说 明 ， 即 将 这 些 变 量 说 明 成 符 号 变 量 。 对fourier()中 的 函 数 f及 ifourier()中 的 函 数 F也 要 用 符 号 定 义符 syms将 f或 F说 明 为 符 号 表 达 式 ； 若 f或 F是 MATLAB中 的 通 用 函 数 表 达 式

53、 ， 则 不 必 用 syms加 以 说 明 。 ！ 书 中 例 题 可 上 机 练 习 j1 j( ) ( )( ) ( ) ( )e d1( ) ( ) ( )e d2F t tf t FF F f t f t tf t F F t F 时 间 函 数 频 谱某 种 运 算 变 化 变 化 运 算 关 系建 立 对 应 借 助 基 本 性 质 3.6 傅 里 叶 变 换 的 性 质1. 傅 里 叶 变 换 的 唯 一 性 傅 里 叶 变 换 的 唯一 性 表 明 了 信 号的 时 域 和 频 域 是一 一 对 应 的 关 系 。 ！ 2.对 称 性 （ 频 域 、 时 域 呈 现 的 对

54、应 关 系 ）若 ， 则( ) ( )Ff t F ( ) 2 ( )FF t f j( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )e d12 ( )e d 2 ( )2 1( ) ( ) ( ) 2 ( )2 F tj t FF t ff F F t F t tF t t ff f F t f 即证 明 证 毕 如 冲 激 和 直 流 函 数 的 频 谱 的 对 称 性 就 是 一 例 子 ：！ ( )f t ( ) 2 ( )F t f 1 ( ) ( )2 F t f 若 为 偶 函 数 ， 则 或 即 f(t)为 偶 函 数 ， 则 时 域 和 频 域 完 全 对 称 。 F()O OO

55、 OF(t) tt 2 ( ) ( )t（ 1） 冲 激 函 数 （ 2） 直 流 函 数( )f t /2 t1O/2 ( )F 2 2 O ( )2Sa ( )F 2c2c 1O ( )f t2 c t2c O ( )2 2c ctSa 2 c attf e)( FT j1)( aF ?j1)(1 taFTF对称性 a fF e2)(2)(1 t 换成f 换成F1换成t 21: 1F t 求 2 22e a t aa 221 1e2 11 12 e e1 2tt 例解 3. 线 性 （ 叠 加 性 、 均 匀 性 ） 相 加 信 号 频 谱 各 个 单 独 信 号 的 频 谱 之 和1 1

56、 2 2j1 1 2 2 j j1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )e d( )e d ( )e dtt tF F f t F a f t a f ta f t a f t ta f t t a f t t 1 11 1 2 2 1 1 2 21 1 2 2 1 1 2 21 1 11 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F F a F FF a f t a f t a F f t a F f tF a F a F a F F a F F 证 明推 论 ( )

57、( ) ( ) ( ) ( )2 2f t u t u t u t u t ( ) ( / 2) 2 ( )F Sa Sa 求 f(t) 的 傅 里 叶 变 换例 ( )f t /2 12 t/2解 4. 奇 偶 虚 实 性无 论 f (t) 是 实 函 数 还 是 复 函 数 ， 下 面 四 式 均 成 立 :* * ( ) ( )FT f t F * * ( ) ( )FT f t F ( ) ( )FT f t F ( ) ( )FT f t F 时 域 反 摺频 域 也 反 摺时 域 共 轭 频 域共 轭 并 且 反 摺更 广 泛 地 讲 ， 函 数 f(t)是 t的 复 数 ； 令1

58、 2( ) ( ) j ( )f t f t f t 虚 部实 部 ( ) ( ) j ( )F j R X j1 2j(j ) ( ) ( )e de cos jsin ttF f t f t tt t 整 理 上 式 得 出 ： 1 2( ) ( )cos ( )sin dR f t t f t t t 21( ) ( )sin ( )cos dX f t t f t t t je cos jsin . 3t t t j1( ) (j )e d . 12 tf t F (j ) (j ) j ( ). 2F R X 把 式 （ 2） 、 （ 3） 代 入 式 （ 1） 整 理 得 ：1 1

59、( ) ( ) cos ( ) sin( )d2f t R t X t 2 1( ) ( )sin ( ) cos d2f t R t X t ( ) ( )cos d ,R f t t t ( ) ( )sin dX f t t t 性 质 1 实 数 函 数 设 f(t)是 t的 实 函 数 ,则 的 实 部 与 虚 部 将分 别 等 于 f2(t)=0， f(t)=f1(t)， 则 有 ( )F 特 殊 情 况 讨 论 ：从 上 式 可 以 得 出 结 论 : *( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) j ( ), ( ) ( ) j ( )( ) ( )R R X XF R

60、X F R XF F )()( )()( * FtfFT FtfFT 实 信 号 的 频 谱 具 有 很 重 要 的 特 点 ， 正负 频 率 部 分 的 频 谱 是 相 互 共 轭 的 .特 点 ( ) ( )cos d j ( )sin dF f t t t f t t t ( ) ( )R R *( ) ( )F F ( ) ( )X X 偶 函 数 奇 函 数 性 质 2 虚 函 数设 f(t)是 纯 虚 函 数 2 1() j (), () 0f t f t f t 则 2 2( ) ( )sin d( ) ( )cos dR f t t tX f t t t *( ) ( )F F

61、 反 之 也 正 确 .因 而 是 的 奇 函 数 ,而 是 的 偶 函 数 。( )R ( )X j( ) ( )e d ( )cos d j ( )sin dtF f t t f t t t f t t t 0( ) ( )cos d 2 ( )cos d ( ) 0R f t t t f t t tX 性 质 3 实 偶 函 数 实 偶 函 数 的 傅 里 叶变 换 仍 为 实 偶 函 数结 论反 之 ， 若 一 实 函 数 f(t)的 傅 里 叶 积 分也 是 实 函 数 ， 则 f(t)必 是 偶 函 数 。推 论 ( ) ( )f t f t 设 f(t)是 t的 实 偶 函 数

62、， 则 ( ) e ( )tf t t 例 2 22( )F ( ) 0 解 tO f(t) F() tO 性 质 4 奇 实 函 数 设 f(-t)=-f(t) ， 则 ：(j ) 0R 0( ) ( )sin d 2 ( )sin dX f t t t f t t t 01( ) ( )sin df t X t 反 之 ， 若 一 实 函 数 f(t)付 里 叶 积 分 是一 纯 虚 函 数 ， 则 f(t)必 是 奇 函 数 。实 奇 函 数 的 傅 里 叶 变 换 则 为 虚 奇 函 数结 论推 论 ( ) ( )cos d 0R f t t t ( ) ( )sin dX f t t

63、 t ( 0)2( ) ( 0)2 2 22( )F e ( 0)( ) e ( 0)at at tf t t 2 22j( )F 例解 tO f(t)O |F()| O F() O ()/2 -/2 同 理 可 以 推 出 ：若 是 虚 函 数 且 还 是 偶 函 数 ， 则 的 傅里 叶 变 换 为 虚 偶 函 数 。性 质 5：性 质 6： 若 是 虚 函 数 且 还 是 奇 函 数 ， 则 的 傅里 叶 变 换 为 实 奇 函 数 。( )f t ( )f t( )f t ( )f t读 者 可 以 仿 照 性 质 3、 性 质 4给 予 简 单 证 明 e o ee o o0 0e

64、o0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), f ( ) ( )( ) 2 ( )cos d , ( ) 2 ( )sin d1 1( ) ( )cos d , ( ) ( )sin d f t f t f tf t R t XR f t t t X f t t tf t R t f t X t e o je o( ) ( ) ( )e d( )cos d j ( )sin dtF f t f t tf t t t f t t t 如 果 将 按 照 奇 偶 来 划 分( )f t ( ) Re ( ) jIm ( )F F F 而 e o ( ) Re ( ), ( ) jIm ( )

65、f t F f t F 1 2( ) ( )cos ( )sin dR f t t f t t t 21( ) ( )sin ( )cos dX f t t f t t t 1 1( ) ( )cos ( )sin d2f t R t X t 2 1( ) ( )sin ( )cos d2f t R t X t 由 此 可 看 出 ， 此 时 F()是 虚 函 数 且 是 的 奇 函 数 。 对于 f(t)为 虚 函 数 的 情 况 ， 分 析 方 法 同 上 ， 结 论 相 反 。 上 述 讨 论 的 结 果 如 下 :f(t) F()实 一 般 实 部 偶 、 虚 部 奇 、 幅 频 偶

66、、 相 频 奇偶 实 部 偶奇 虚 部 奇虚 偶 虚 部 偶奇 实 部 奇 5. 尺 度 变 换 特 性时 间 波 形 的 扩 展 和 压 缩 ,将 影 响 频 谱 的 波 形对 于 一 个 实 常 数 a ， 其 关 系 为 1( ) ( ) ( ) ( )f t F f at Fa a -j ( ) ( )e dtF f at f at t 令 x=at， 则 dx=adt ， 代 入 上 式 可 得则证 明 时 域 压 缩 则 频 域 展 宽 ； 展 宽 时 域 则 频 域 压 缩 。结 论 j1 1 ( ) ( )e d (j )xaFT f at f x x Fa a a 时 域 中 的 压 缩 （ 扩 展 ） 等 于 频 域 中 的 扩 展 （ 压 缩 ）f(t/2)缩 tO 缩f(2t) /4缩 /4 tO 缩1 1 ( /2)2F /2 4 4 展 展O )2(2 F2 展 展O 尺 度 变 换 变 换 后 语 音 信 号 的 变 化 f (t) f (1.5t) f (0.5t) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.5 -