复数的有关概念

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1、复数的有关概念重点难点1. 复数的定义:形如a+bi(a,bUR)的数叫做复数。a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。 复数的分类如下：实数& = 0)；(虚数3工0),当盘=0且b H 0时为纯虚数2. 复数相等的充要条件设 a,b,c,dUR,则 a+bi=c+di a=c 且 b=d。特别地:a+bi=O a=b=O。应当理解:(1)一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样 (2)复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础。3. 复数的几何表示(1)坐标表示:在复平面内以(a,b)为坐标的点Z表示复数z=a+bi。(2)向量表示:以原点O为起点，点Z(a,b)为

2、终点的向量?表示复数z=a+bi。向量?的长度叫做复数a+bi的模，记作la+bil。V=l?l=lzl=0o 应当理解:10向量可以平移，只有位置向量。？零向量除外可以与点Z(a,b)以及复数z=a+bi有一一对应的关系。20 两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。 例题选讲:例1.实数 m 取何值时，复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。解：(1)当m2-3m+2=0 即m=1或m=2时，z为实数；(2) 当m2-3m+20 即ml且m工2时，z为虚数；(m2 - 3 - 2 = 0(3) 当即m=-1时，z为纯虚数。

3、例2.已知复数z=(3m2-5m+2)+(m-1)i (mUR)若殳所对应的点在第四象限，求m的取值范围。解:*/ z =(3m2-5m+2)-(m-1)i解得 m1。mU(l,+w)为所求。例 3.已知方程 2x2-(2i-1)x+m-i=0 有实根，求实数 m。 解:设实根为 x0, 则 2x02-(2i-1)x0+m-i=0,即 2x02+x0+m-(2x0+1)i=0k-l解得m=0为所求。例4.已知Z=3-4i, z2=2-x-l+4i(xUR),且闯三引，求x的取值范围。解:皆J八日)l引丿旷-小平-20例5.设zUC,满足条件l|z|2且-1I(z)z2B、zi=z2z2=虚数，

4、贝I（Z+Z2）UR,充分不必要条件B、必要不充分条件D、不能比较大小zi0时，方程无解。2) 若 x0, (3)式变为 x2+2x=a，即(x+1)2=1+a(4)当a=0时，方程(4)无正根；当a0时，方程(4)的正根有x=-1 + a ,即z=-1+ + a 03)若 xvO, (3)式变为 x2-2x=a,即(x-1)2=1+a.(5)当a=0时，方程(5)无负根；当a0时，方程(5)的负根有x=1+ ,即z=1-拆毛。(2)若x=0，由于y=0的情况已经在前面讨论过，但需要考虑即求原方程的纯虚数解z=yi(yO).此时， (1)式可化为 -y2+2lyl=a(6)1) 若 y0,式变

5、为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a(7)当 a=0 时，解方程(7)得 y=2, 即 z=2i；当0a1 时，方程(7)无实根，即原方程无解。2) 若 yvO, (6)式变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a(8)当 a=0 时，方程(8)得 y=-2, 即 z=-2i；当0a1 时，方程(8)无实根，即原方程无解。综上可知，原方程的实数解是：当a=0时，z=0；当a0时,z=(1-护匚).原方程的纯虚数解是：当a=0时,z=2i；当0a1 时，原方程无纯虚数解。注：本题是“已知z是虚数，解方程z+|z|=2+i”的发展题。如果仅把已知量“2+i”换成参变量a,会熟知就a 的不同

6、取值讨论求解，仅需进行一级讨论，是高考中的容易题。进一步发展，将未知量才换成,力”，情况就复 杂得多，因为要对a的不同取值，表示z的实部和虚部的x,y的零与非零，正与负交叉研究，达到三级讨论之 多，对考生的分类思想的考查提出了相当高的要求。例2.在xOy平面上给定曲线y2=2x。设点A坐标为(a,0) , aUR.求曲线上的点到点A距离的最小值d,并 写出d=f(a)的函数表达式。分析：本题是求两点间距离的最小值问题，常规方法是建立两点间线段长的平方的函数，易知这是一个二 次函数，因此问题就成了求二次函数的最小值问题。但是由于所给曲线中变量x的取值范围的约束，必须考虑 顶点横坐标的范围。因此引

7、起对a的取值的讨论。解：设M为曲线y2=2x上的一点，贝I|MA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2x=x2-2(a-1)x+a2=x-(a-1)2+(2a-1)(1)由于曲线y2=2x限定x0，对于(1)式，顶点的横坐标x=a-l,由此作如下讨论：(1)a1时，当x=a-1时函数有最小值I曲 =2a-1,即d=a0及A的横坐标为参变量这两点上。由于它们之间是互相约束的，关键是从中找出正确的分类标准，从而得到d=f(a)的函数表达式。例3.在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O (0, 0)，P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中tu(0,+e).

8、求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)。分析：要求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t),必须考虑各顶点的可能位置。由于 t为正数，O是坐标原点，显然点P在第一象限，点R在第二象限，但点Q的横坐标1-2t 可正、可零、可负，即Q点可能在第一象限或在y轴上或在第二象限，需分类求解。解：由于Q点的横坐标1-2t可正、可零、可负，故作如下讨论：1)当1-2t0,即0vtv时，Q点在第一象限，设QR与y轴相交于K,见右上图。y-2 x+2i直线QR的方程是=1 -色+山，-S(t)=SOPQK=SOPQR-SOKR但QP|= Jl + f , IOR|=2 Jl + f ,即 y-2=t(x+2

9、t),故点 K 的坐标是(0,2+2t2).S(t)=212 (2+2t2)2t=2(1-t+t2-t3).12) 当 1-2t=0，即 t=2 时,Q点坐标为(0,见右中图。125S(t)=SOPQ二忑1=习3)当 l-2tv0，即 t2 时,Q点在第二象限，设PQ与y轴相交于L,见右下图。直线PQ的方程是+壬7U-1，即 y-t=J (x-l).故点 L 的坐标是(O,t+f ).1111: S(t)=SopL=2(t+b1=%+f )综上可知，矩形OPQR在第一象限的面积S(t)=5/4/ =1/24 +扣冷本题的发展，可以求S(t)的最小值。本题的变异可以改变图形及有关条件，进一步可以联系向量或三角函数。例如：“已知AABC三个顶点的 坐标是A(t,O), B(-t,0), C(t-1,t+1).点P(x, 0)是AB上的点，点Q是BC上的点，线段PQ把三角形的面积分成相 等的两部分。”把y=|PQ|表示为x的函数f(x)。