高校力学经典课件-理论力学II-第8次课new

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1、1 哈 密 顿 正 则 方 程哈 密 顿 正 则 方 程 的 首 次 积 分 ： 能 量 积分 、 循 环 积 分内容回顾 ( 1,2, , )jj j jHp j kHqqp 2 第一章 分析力学基础n6 第一类拉格朗日方程n 在 Lagrange的 经 典 著 作 中 还 没 有 明 确 的 非 完 整 系 统的 概 念 。 完 整 系 与 非 完 整 系 的 区 分 是 从 H ertz开 始 的 。 十九 世 纪 末 至 二 十 世 纪 初 著 名 的 力 学 家 Appell等 对 非 完 整 系的 动 力 学 作 出 了 基 础 性 的 研 究 工 作 。 最 近 ， 关 于 非

2、完 整系 动 力 学 的 研 究 又 有 了 进 一 步 的 发 展 ， 这 些 发 展 一 方 面是 为 了 解 决 工 程 技 术 中 某 些 非 完 整 系 的 应 用 ， 另 一 方 面 ，在 非 完 整 问 题 的 基 础 研 究 上 也 取 得 了 更 进 一 步 的 成 果 。 3 6 第 一 类 拉 格 朗 日 方 程n 第 一 类 拉 格 朗 日 方 程 是 应 用 数 学 分 析 中 的 乘 子 法 ， 采用 直 角 坐 标 形 式 的 普 遍 方 程 和 约 束 方 程 而 建 立 的 一 组动 力 学 方 程 。n 由 于 方 程 式 的 数 目 多 ， 求 解 难 度

3、 大 ， 所 以 在 一 个 时 期内 ， 其 应 用 价 值 远 小 于 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 。n 目 前 随 着 计 算 机 技 术 的 发 展 ， 因 而 计 算 上 的 困 难 已 不是 难 以 跨 越 的 问 题 ， 同 时 由 于 第 一 类 方 程 易 于 编 程 计算 ， 又 适 用 于 非 完 整 系 统 ， 目 前 又 逐 渐 被 人 们 所 重 视 。 4 1 2( , ) 0 ( 1 2 3 )k nf r r r t k s ，约 束 方 程 为 对完整系统，设 由 n个 质 点 组 成 的 系 统 受 s个 完 整 双 侧 约 束两 边 取 变 分

4、)321(01 skrrf ini ik， 其 中 kzfjyfixfrf ikikikik 6 第 一 类 拉 格 朗 日 方 程 5 引 用 拉 格 朗 日 乘 子 )21( skk，1 1 1 1( ) ( ) 0s n n sk kk i k ik i i ki if fr rr r 1 ( ) 0n i i i ii F mr r 1 1( ) 0n s ki i i k ii k ifF mr rr 在 3n个 质 点 坐 标 中 ， 独 立 坐 标 有 3n-s个 。 对 于 s个 不 独立 的 坐 标 变 分 ， 我 们 可 以 选 取 适 当 的 ， 使 得 变 分 前 的系

5、 数 为 零 ， 而 此 时 独 立 坐 标 变 分 前 的 系 数 也 应 等 于 零 。k 6 6 第 一 类 拉 格 朗 日 方 程 7 完 整 和 非 完 整 约 束 可 写 成 统 一 的 形 式3 1 0 ( 1,2, , )n ii if x dx 3 1 0 ( 1,2, , )n i ii A x g 3 1 0 ( 1,2, , )n i ii A x d g 6 第 一 类 拉 格 朗 日 方 程 8 1 2 3( , , , , ) 0 ( 1,2, , )nf x x x t d 3 1 3 1 d d 0 ( 1,2, , )0 ( 1,2, , )n i ii n

6、 i iiA x D t gA x D g 1 ( 1,2, ,3 )i i i d g im x F i nA 6 第 一 类 拉 格 朗 日 方 程 9 讨 论 ： 拉 格 朗 日 第 一 类 方 程未 知 数 个 数 ：3n个 位 置 坐 标 +(d+g)个 拉 格 朗 日 乘 子 =3n+d+g个方 程 个 数 ： 3n个还 需 要 补 充 d+g个考 虑 了 完 整 和 非 完 整 约 束 ， 第 一 类 拉 格 朗 日 方 程 可 以 处 理完 整 、 非 完 整 问 题 ， 更 具 有 普 遍 性 ；代 价 ： 增 加 方 程 数 目 ， 微 分 代 数 混 合 方 程 。6 第

7、 一 类 拉 格 朗 日 方 程 10 拉格朗日乘子的物理含义 1 ( 1,2, ,3 )d gi i i im x F A i n 拉 格 朗 日 乘 子 结 合 约 束 方 程可 以 完 全 决 定 约 束 反 力 。1 ( 1,2, ,3 )d gi iN A i n 事 实 上 ， 在 给 定 系 统初 始 条 件 后 ，结 合 拉 格 朗 日 第 一 类方 程 及 约 束 方 程 可 以求 解 系 统 运 动 ，然 后 借 助 于 求 出 的 不定 乘 子 可 以 决 定 系 统内 部 的 约 束 力 。 11 例试 求 ： 此 系 统 的 运 动 微 分 方 程 。已 知 ： 如

8、图 所 示 的 运 动 系 统 中 ， 重 物 的 质 量 为 ， 可 沿 光滑 水 平 面 移 动 。 摆 锤 的 质 量 为 ， 两 个 物 体 用 无 重 杆 连接 杆 长 为 l。1M 1m2M 2m 12 解：取 系 统 为 研 究 对 象设 质 点 的 坐 标 为1M 11 yx，质 点 的 坐 标 为2M 22 yx，则 系 统 的 约 束 方 程 为 0)()(0 2221221211 lyyxxfyf，（a）约 束 方 程 对 各 质 点 坐 标 的 梯 度 项 02111 rfjrf ，（b）kzfjyfixfrf ikikikik 由 13 作 用 在 各 质 点 上 的

9、 主 动 力 为 jgmFjgmF 2211 ，（d）)(2)(2( )(2)(2 212122 212112 jyyixxrf jyyixxrf （c）)21(01 nirfrmF iksk kiii， 第 一 类 拉 格 朗 日 方 程 14 0)()()()( 0 22121212212121 yyyyyyxxxxxxy （f） 将 约 束 方 程 两 边 对 时 间 求 二 阶 导 数 0)(2 0)(2 0)(2 0)(2 221222 21222 1212111 21211 gmyyym xxxm gmyyym xxxm （e）0)()(0 2221221211 lyyxxfyf，

10、 15 与 式 （ e） 式 联 立 ， 消 去 21 ， 得 到 系 统 的 运 动 微 分 方 程 0)()()()( 00 0 22121212212121 2221121 211 2211 yyyyyyxxxxxx gmymxmxx yyy xmxm （g）而 )(2 21 222 2211211 xx xm ymymgmgm （h）与 矢 量 力 学 的 运 动 学 方 程 相 对 照 :可 知 是 光 滑 接 触 面 的 约 束 力 ;)( 1 是 二 力 杆 的 内 力)2( 2l 21MM 16 17 解 ： 主 动 力 重 力0,x yF F mg 稳 定 几 何 约 束2

11、2 2 0f x y R 拉 格 朗 日 第 一 类 方 程2 2mx xmy mg y 约 束 方 程 求 导0 xx yy 2 2 2 20( )x xx y yyxx yy x y 2 22 2xm xmx xmy mg y y gm y 02 2x y gm x m yxx yy gy 在 0,t 0, 0y v 2 221 ( )2 1 02x y gyv gy C 2 2v gy 2xx yy gy 18 2 2mx xmy mg y 2xx yy gy 2 2xx mmg yy m 2 2 23 32( ) 2mgy mgyx y R 22 2x mg yx y gym m 22 22 232 32 32 32mgymx xR mgym gxyx R gyy mg y yR g R 2 2 22 22 23 3gxy gya gR Rx y 2 22 2 2323mgyRf fN x yx ym yyxgR i ji ji j 2 2v gy