排列组合基础知识及解题技巧

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1、排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！C3C 25=（5X4X3）/（3X2X1）6 =（6X5）/（2X1）通过这2个例子看出Cnm公式是种子数M开始及自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。以取值N的阶层作 为分母P6 X4X3X2X1P35 =5X4X3通过这2个例子Pnm =从皿开始及自身连续N个自然数的降序乘积当N=M时即M的阶层 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m （mWn）个元素，有序和无序摆放的各 种可能性”.区别排列及组合的标志是“有序”及“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序

2、用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类 时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次， 分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不 同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成 n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满 足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，

3、这件事才算最终完成.两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个及分步有关如果完成一件事有n类办法，这n类办 法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件 事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成 所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方 法种类就用乘法原理.在解决排列及组合的应用题时应注意以下几点：1有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”及“不在”“邻”及“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素

4、来看，这是处 理相邻最常用的方法.“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.“在”及“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结 果.2有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”及“不含”“至少”及“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的 发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的 思想方法.J J J J J J J J J J J J J

5、 J *A* *A* A*L提供10道习题供大家练习1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为(C)(A)25 个(B)26 个(C)36 个(D)37 个 【解析】根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是11则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析如果为1 1 ，则另外一个边的长度是1 1 ， 10 ， 9 ， 8 ， 7 ， 6 ， 。 1如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。2，(不能为1 否则两者之和会小于1 1 ，不能为1 1 ，因为第一种情况包含了1 1 ， 10的组合) 如

6、果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。3(理由同上，可见规律出现)规律出现 总数是11 + 9+7+。1=(1 + 11)X6三2 = 362、(1) 将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？ 【解析】每封信都有3个选择。信及信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封，所以分步属于乘法原则即3X3X3X3 =34(2) 3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ 【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知

7、道 最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即4X4X4=43(3) 8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？解析】分步来做第一步：我们先选出3本书即多少种可能性C8取3 = 56种第二步：分配给3个同学。P33 = 6种这里稍微介绍一下为什么是P33，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2 个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3X2X1这是分步选择符合乘法 原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？也是满足这样的分步原 则。用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。所以该题

8、结果是56X6 = 3363、七个同学排成一横排照相.（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600） 【解析】这个题目我们分2步完成第一步：先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个即C5取1 = 5 第二步：剩下的6个人即满足P原则P66 = 720所以 总数是720X5 = 3600（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440）【解析】第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一 C2取1 = 2第二步：剩下的6个人满足P原则P66 = 720 则总数是720X2 = 14403）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120） 【解析】特殊情况先安

9、排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况去除3个位置 剩下4个位置供甲选择C4取1 = 4,剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2 人，其他5人都可以即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5XP55 = 5X 120=600总数 是 4 X600 = 2400第2种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置则剩下的6个位置满足P66 = 720因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即 2400720=3120（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440） 【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论第1：选位置C6取1 = 6第2：选出来的2个位置对甲

10、乙在排即P22 = 2贝9安排甲乙符合情况的种数是2X6 = 12 剩下的5个人即满足P55的规律= 120则 最后结果是120X12 = 1440（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） 【解析】 这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。所以我 们不考虑左右问题 则总数是 P77=5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040三2 = 25204、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.（1）能组成多少个四位数？（300） 【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。则只有5种可能性接下来3个位

11、置满足P53原则=5X4X3=60即总数是60X5 = 300（2）能组成多少个自然数？（1631） 【解析】自然数是从个位数开始所有情况分情况1位数：C6取1 = 62 位数：C5 取 2XP22+C5 取 1XP11=253 位数：C5 取 3XP33+C5 取 2XP22X2 = 1004 位数：C5 取 4XP44+C5 取 3XP33X3 = 3005 位数：C5 取 5XP55+C5 取 4XP44X4=6006 位数：5XP55 = 5X 120=600总数是1631这里解释一下计算方式 比如说2位数：C5取2XP22+C5取1XP11=25先从不是0的5个数字中取2个排列即C5

12、取2XP22还有一种情况是从不是0的5个数字中选 一个和0搭配成2位数即C5取1XP11因为0不能作为最高位所以最高位只有1种可能（3）能组成多少个六位奇数？ （288）【解析】高位不能为0个位为奇数1, 3, 5则 先考虑低位，再考虑高位 即3X4XP44=12X24 =288（4）能组成多少个能被25整除的四位数？（21）【解析】能被25整除的4位数有2种可能后 2 位是 25： 3X3 = 9后 2 位是 50： P42 = 4X3 = 12共计 9 + 12 = 21（5）能组成多少个比201345大的数？（479）【解析】从数字201345这个6位数看是最高位为2的最小6位数所以我们

13、看最高位大 于 等于2的6位数是多少？4XP55=4X120=480 去掉 201345这个数即比201345大的有4801=479（6）求所有组成三位数的总和. （32640）【解析】每个位置都来分析一下百位上的和:M1=100XP52（5+4+3+2+1） 十位上的和：M2=4X4X10（5+4+3+2+1） 个位上的和：M3=4X4（5+4+3+2+1） 总和 M=M1+M2+M3=326405、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096） 【解析】也就是说被抽查的5件中有3件合格的，即是从98件合格的取出来的

14、所以 即C2取2XC98取3=152096（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？（7224560） 【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个C2 取 1XC98 取 4 = 7224560（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？（67910864）【解析】则即在98个合格的中抽取5个C98取5 = 67910864（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？（7376656） 【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的C100 取 5-C98 取 5 = 7376656（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？（75135424） 【解析】

15、所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的C100 取 5-C98 取 3 = 751354246、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则 不同的取法共有（）（A）140 种 84 种（C）70 种（D）35 种【解析】根据条件我们可以分2种情况第一种情况：2台甲+ 1台乙 即C4取2XC5取1 = 6X5 = 30第二种情况：1台甲+2台乙 即C4取1 XC5取2 = 4X10=40所以总数是30+40 = 70种7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有_种.【解析】至少有3件 则说明是3件或4件3 件：

16、C4 取 3XC46 取 2 = 41404 件：C4 取 4XC46 取 1 =46共计是 4140+46=41868、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三 项任务, 不同的选法共有（ C）（A） 1260 种（B）2025 种（C）2520 种（D）5040 种【解析】分步完成第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4 = 210第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2XC2取1XC1取1 = 6X2X1 = 12种情况 则根据分步原则乘法关系210X 12 = 25209、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则

17、不同的分配方案共有种C(4,12)C(4,8)C(4,4) 【解析】每个路口都按次序考虑第一个路口是C12取4第二个路口是C8取4第三个路口是C4取4则结果是C12取4XC8取4XC4取4可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗其实不是这样的在我们从12人中任意抽 取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再XP33则是重 复考虑了如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候考虑 了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要FP3310、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目

18、，求共有 多少种安排方法？ 990 【解析】 这是排列组合的一种方法叫做2次插空法 直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P(9, 1)种方法；再用另一个节目去插 10个空位，有P(10,1 )种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法原理 得：所有不同的添加方法为P(9,1)XP(10,1)XP(11,1)=990种。另解：先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3 )种，再在余下的8个位置补上原有的8 个节目，只有一解，所以所有方法有P311X1=990种。解决排列组合问题的策略1、逆向思维法：我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可

19、以把这个集合看成数学上的单位1,那么1 = a + b就是我们构建逆向思维的数学模型了，当a不利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出a=1-bo 例题：7个人排座，甲坐在乙的左边(不一定相邻)的情况有多少种？ 例题：一个正方体有 8个顶点 我们任意选出 4个，有多少种情况是这 4个点可以构成四 面体的。例题：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A. 24 个 B. 30 个 C. 40 个 D. 60 个2、解含有特殊元素、特殊位置的题采用特殊优先安排的策略：(1) 无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空

20、集 例题：用0， 1， 2， 3， 4， 5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?(2) 包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?P55 X-P44= 120 24=96用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?25，75（3X3X2X1）X2P44=3624=60（3）影响型：两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。 例题：用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字 的五位数有多少个?3、解含有约束条

21、件的排列组合问题采用合理分类及准确分步的策略例题：平面上4条平行直线及另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有个。简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步.先在4条平行线中任取两条，有C4取2种 取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有C5取2种取法。这样取出的四条直线构成一个矩 形，据乘法原理，构成的矩形共有6X10=60个4、解排列组台混合问题采用先选后排策略 对于排列及组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_种。1445、插板法插板法的条件构成： 1元素相同， 2分组不同， 3必须至少分得1

22、个 插板法的类型：（1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？（典型插板法点评 略）（2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？（凑数插板法：这个题目对照插板法的3个条 件我们发现至少满足1个这个条件没有，所以我们必须使其满足，最好的方法就是用14块 奶糖来分，至少每人1块，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分了，就回归 到了原题）（3）、10块奶糖放到编号为1，2，3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，则有 几种方法？（定制插板法：已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安 排使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1

23、个，从这个思路出发，跟第二个例 题是姊妹题 思路是一样的对照条件想办法使其和条件吻合！）（4）、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为111的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？（多次插空法这里不多讲，见我排列组合基础讲义）6、递归法（枚举法）公考也有这样的类型， 排错信封问题，还有一些邮票问题 归纳法：例如：5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？枚举法：例如：10张相同的邮票分别装到4个相同的信封里面，每个信封至少1张邮票，有多少种方法？枚举：1，1，1，7 1，1，2，6 1，1，3，5 1，1，4，4 1，2，2，5 1，2，3，4 1，3，3，3

24、 2，2，2，4 2，2，3，3 9种方法！ 疑难问题1、如何验证重复问题2、关于位置及元素的相同问题，例如： 6个人平均分配给3个不同的班级，跟 6个学生平分成3组的区别3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。例题： 1，2，3，4，5五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？ 例题：7个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？ 注解：分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。当对立情况的概率相等，即对称原理。4、环形排列和线性排列问题。（见我的基础排列组合讲义二习题讲解） 例如：3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。问有多少种方法？ 例如：3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的

25、坐法有多少种？ 注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴， 我们知道，环形排列中每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作 为参照位置。5、几何问题：见下面部分的内容。 例析立体几何中的排列组合问题 在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。1点11 共面的点例题：四面体的一个顶点为A,从其它顶点及棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面 上，不同的取法有（ ）A. 30 种 B. 33 种 C. 36 种 D. 39 种答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误

26、的主要原因是没有 把每条棱上的3点及它对棱上的中点共面的情况计算在内。1.2 不共面的点例2：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ） A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种解析：从10个点中任取4个点有C （10, 4）=210种取法，其中4点共面的情况有三类：第一 类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C (6, 2)=15种；第二类，取任一条棱上的3 个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共 面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有210-4X15-6-3

27、 = 141种。答案：Do 点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排 列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。几何型排列组合问题的求解策略 有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要 掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略.一 分步求解例1圆周上有2n个等分点(n1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：先从2n个点中构成直径(即斜边)共有n种取法；再从余下的(2n-2)个点中

28、取一点作为直角顶点，有 (2n-2)种不同取法.故总共有n(2n2)=2n(n 1)个直角三角形.故填2n(n1).例2：从集合0、1、2、3、5、7、11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、 B、C,所得的经过坐标原点原直线共有条(结果用数值来表示)解：因为直线过原点，所以C = 0.从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B，两 数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为P (6，2)=30.二 分类求解例3四边体的一个顶点为A，从其它顶点及各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平面上， 不同取法有( )(A)30 种 (B)33 种 (C)36 种 (

29、D)39 种解：符合条件的取法可分三类：4个点(含A)在同一侧面上，有3 =30种；4个点(含A) 在侧棱及对棱中点的截面上，有3种；由加法原理知不同取法有33种，故选B.三 排除法求解 例4从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )(A) 8种 (B) 12种(C) 16种(D) 20种解：由六个任取3个面共有C (6, 3)=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个 平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有20-8 = 12种，故选(B).例5正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有()个？解：从7个点中任取3个点，共有C (7, 3)=3

30、5个，排除掉不能构成三角形的情形.3点在同 一直线上有3个，故符合条件的三角形共有 35-3=32个.四 转化法求解例6 空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少对异面 直线？解：考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥. 由于这六 个点可构成C (6，4)=15个三棱锥，故共有3X15 =45对异面直线.例7 一个圆的圆周上有10个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几 个？ 解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的个数.显 然可构成C (10, 4)=210个圆内接四边形，故1

31、0个点连成的点最多能在圆中交点210个.6、染色问题： 不涉及环形染色可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。 环形染色可采用如下公式解决：An=(al)b+(aT)X(-l厂n n表示被划分的个数，a表示颜色种类原则：被染色部分编号，并按编号顺序进行染色，根据情况分类 在所有被染色的区域，区分特殊和一般，特殊区域优先处理例题1：将3种作物种植在如图4所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不 能种同一种作物。则有多少种种植方法？A.o !心DE例题2：用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色，相邻部分不能同色，但同一种颜色可以反 复使用，也可以不使用，则符合要求的不同染色方法

32、有多少种？AE!C打例题3：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一条棱的2个端点不同色，且只由五个颜色可以使例题4：一个地区分为如图4所示的五个行政区域，现在有4种颜色可供选择，给地图着色，要例题5：某城市中心广场建造了一个花圃，分6个部分(如图5)现在要栽种4种不同的颜色的1. 討乍列组合题(系列之二)一) 1, 2, 3, 4作成数字不同的三位数，试求其总和？但数字不重复。解析组成3位数 我们以其中一个位置(百位，十位，个位)为研究对象就会发现当某个位置固定比如 是1,那么其他的2个位置上有多少种组合？这个大家都知道是剩下的3个数字的全排列P32 我们研究的位置上每个数字都会出现P32次所以每

33、个位置上的数字之和就可以求出来了个位是:P32*(l+2+3+4)=60十位是:P32*(l+2+3+4)*10=600百位是:P32*(l+2+3+4)*100=6000所以总和是6660(二) 将“PROBABILITY ”11个字母排成一列，排列数有种，若保持P, R, 0次序，则排列数有种。解析这个题目就是直线全排列出现相同元素的问题:在我的另外一个帖子里面有介绍：(1) 我们首先把相同元素找出来,B有2个，I有2个 我们先看作都是不同的11个元素全排列 这样就简单的多是P11,11 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可P11/(P2,2*P2,2)=9 979200。第2个小问题因

34、要保持PRO的顺序，就将PRO视为相同元素(跟B, I类似的性质)，则其排 列数有 11! / (2!X2!X3!) = 166320 种。(三) 李先生及其太太有一天邀请邻家四对夫妇共10人围坐一圆桌聊天，试求下列各情形之 排列数：(1)男女间隔而坐。(2) 主人夫妇相对而坐。(3) 每对夫妇相对而坐。(4) 男女间隔且夫妇相邻。(5) 夫妇相邻。(6) 男的坐在一起，女的坐在一起。解析(1) 这个问题也在介绍过 先简单介绍一下环形排列的特征,环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物.第一个坐下来的 人是没有参照物的,所以无论做哪个位置都是一样的. 所以从这里我们就可以看出 环形排列的 特征是

35、第一个人是做参照物,不参及排列.下面就来解答6个小问题:(1) 先让5个男的或5个女的先坐下来全排列应该是P44,空出来的位置他们的妻子(丈夫)， 妻子(丈夫)的全排列这个时候有了参照物所以排列是P55答案就是P44*P55=2880种(2) 先让主人夫妇找一组相对座位入座其排列就是P11(记住不是P22 ),这个时候其他8个人再 入座，就是P88,所以此题答案是P88(3) 每对夫妇相对而坐,就是捆绑的问题.5组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入座 的夫妇的,剩下的4组位置就是P44,考虑到剩下来的4组位置夫妇可以互换位置即P44*24=38 4(4) 夫妇相邻,且间隔而坐.我们先将

36、每对夫妇捆绑那么就是5个元素做环形全排列即P44 这里在从性别上区分男女看作2个元素可以互换位置即答案是P44*2=48种(值得注意的是， 这里不是*24因为要互换位置，必须5对夫妇都得换要不然就不能保持男女间隔)(5) 夫妇相邻这个问题显然比第4个问题简单多了，即看作捆绑答案就是P44但是这里却是每 对夫妇呼唤位置都可以算一种方法的.即最后答案是P44*25(6) 先从大方向上确定男女分开座，那么我们可以通过性别确定为2个元素做环形全排列.即P1,1,剩下的5个男生和5个女生单独做直线全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55(四) 在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变

37、，再增加三个节目，求共 有多少种安排方法？解析这个题目相信大家都见过就是我们这次2008年国家公务员考试的一道题目: 这是排列组合的一种方法叫做2次插空法或多次插空法 直接解答较为麻烦，我们知道8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔,故可先用一个节目去插9个空位，有C9取1种方法；这样9个节目就变成了 10个间隔，再用另一个节目去插10个空位, 有C10取1种方法；同理用最后一个节目去插10个节目形成的11个间隔中的一个，有C11取1 方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为9*10*11=990种。方法2: 我们先安排11个位置，把8个节目按照相对顺序放进去，在放另外3个节目，11个位置选3

38、个出来进行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990（五）0， 1， 2， 3， 4， 5五个数字能组成多少个被25整除的四位数？ 解析这里考察了一个常识性的问题即什么样数才能被25整除 即这个数的后2位必须是 25或者50，或者75或者00 方可.后两位是25的情况有:千位只有3个数字可选（0不能） 百位也是3个可选 即3*3=9种后两位是50的情况有:剩下的4个数字进行选2位排列P4,2=12种75不可能，因为数字中没有700也不可能，因为数字不能重复共计 9+12=21种2. “插板法”的条件模式隐藏运用分析在说这2道关于“插板法”的排列组合题目之前，我们需要弄懂一个问题： 插板法

39、排列组合是需要什么条件下才可以使用？这个问题清楚了，我们在以后的答题中就可以 尽量的变化题目使其满足这个条件。这个条件就是：分组或者分班等等至少分得一个元素。 注意条件是至少分得1个元素！ 好我们先来看题目，例题1：某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种？【解析】这个题目是Q友出的题目，题目中是不考虑节目的不同性你可以视为18个相同的节目不区分! 发现3个年级都是需要至少4个节目以上！ 跟插板法的条件有出入，插板法的条件是至少1 个，这个时候对比一下，我们就有了这样的思路，为什么我们不把18个节

40、目中分别给这3个年 级各分配3个节目。这样这3个班级就都少1个，从而满足至少1个的情况了3X3 = 9 还剩下18 9 = 9个剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。 9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取其中任 意2个间隔就可以分成3份（班级） !C8 取 2 = 28练习题目：有1 0个相同的小球。分别放到编号为1 ， 2 ， 3的盒子里 要使得每个盒子的小球个数不小于 其编号数。那么有多少种放法？【解析】 还是同样的原理。每个盒子至少的要求和插板法有出入那么我们第一步就是想办法满足插板法 的要求。编号1的盒子是满足的至少需要1个， 编号2至少需要2个，那么我们先给它1个，这样就差1个 编

41、号3至少需要3个，那么我们先给它2个，这样就差1个 现在三个盒子都满足插板法的要求了 我们看还剩下几个小球？1012=77个小球6个间隔再按照插板法来做C6, 2 = 15种！3. 【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两个正方体 放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？（）A9 B12 C18 D24很多教材给出的答案是18这里我更正以下：请大家注意红色字体“相同”如果一个显示3，一个显示1， 交换以下是 1，3 是否是2种呢？显然不是是1种 这是这个题目存在的陷阱方法一：为偶数的

42、情形分2种情况(1)、奇数奇数：(1，3，5)C (3,1)XC(3,1)注意因为这里是相同的两个色子。所以3,1和1, 3是不区分的要去掉C3, 2 = 3种实际上是6种，(2)、偶数偶数(2,4,6) 偶数的情况跟奇数相同 也是6种！答案是 66=12方法二：当然我们也可以算总的，那么就是 C6,1XC6, 1-C6, 2 = 36-15 = 21种(为什么要减去C (6,2),因为任意2个数字颠倒都是一种情况)看奇数：奇数=奇数+偶数C3,1XC3, 1=9种所以答案是 21-9=12种4. 【讨论】裴波纳契数列的另类运用先说典型的裴波纳契数列：图片：页假定一对刚出生的小兔一个月能扶感大

43、兔，再过一个.月便能生下一对小兎 并且此后每个月都生一对 小兔如果一切正常没有死亡，卑母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可段鑿殖成 )对兔子.心忒A.144E庶閣 C； 2S8D-. 466裴波纳契数列就是移动求和A+B = C因为第一个月这对小兔长成大兔所以第一个月还是1对 即A从1开始。第2个月开始剩下一对小兔合计2对 B从2开始。1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？A：54B：64C：57D：37 这个题目刚刚看到讨论我也用

44、排列组合的办法参及了讨论 现在我再来说说裴波纳契数列的 解法楼梯级数：1，2，3，4，5，6走法情况：0，1，1，1，2，2这是一个裴波纳契的间隔运用 因为他没有走1步的情况即 A+B=D0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37在举例1题：小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈一级，两级或三级台阶。已知相邻 楼层之间有10级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 因为是1，2，3级都可以所以可以采用A+B+C=D的裴波纳契数列变式！列举前3个 分别是1，2，3则 10个是 1，2，4，7，13，24，44，81，149，274练习题目：小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈一级或三级台阶。已知相邻楼层之间有10级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？