高中数学必修二1.3柱锥台的表面积与体积

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1、1.3 1.3 柱、锥、台体的表面积柱、锥、台体的表面积在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图,正方体和长方体的展开图与其表面积有什么关系？正方体和长方体的展开图与其表面积有什么关系？几何体表面积几何体表面积 展开图展开图 平面图形面积平面图形面积 空间问题空间问题 平面问题平面问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的们的表面积就是各个面的面积和表面积就是各个面的面积和 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求

2、面积的方法，求立体图形的表面积引入新课引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，依据上述方法如何计算它们的表面积？体，依据上述方法如何计算它们的表面积？h直棱柱的侧面展开图直棱柱的侧面展开图S表表=S底底+S侧侧正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图侧面展开S表表=S底底+S侧侧hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图侧面展开S表表=S底底+S侧侧hh棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体多面体，它们的侧面展开图还是平面图形，它，它们的侧面展开图还是平面图形，它们的们的表面积就是各个侧面面

3、积与底面面积之和表面积就是各个侧面面积与底面面积之和hS表表=S底底+S侧侧底面积为底面积为_,侧面积为侧面积为_,表面积为表面积为_.8,则它的则它的的三棱锥的三棱锥例例1:已知棱长为已知棱长为 ,各面均为等边三角形各面均为等边三角形典型例题典型例题圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形O圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积的求法：圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积的求法：圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形OOO圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环OOOO圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小

4、r/=0r/=r 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 典型例题典型例题练习：看图回答问题练习：看图回答问题柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各

5、面面积之和各面面积之和小结小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥 柱、锥、台体的体积与球柱、锥、台体的体积与球其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高柱体体积公式柱体体积公式(其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高)锥体体积公式锥体体积公式由于圆台由于圆台(棱台棱台)是由圆锥是由圆锥(棱锥棱锥)截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台(棱台棱台)的体积公式的体积公式(过程略过程略)根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？台体（棱台、圆台）的体积公式台体（棱台、圆台）的体积公式:其中其中 ，分别

6、为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？关系？例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，已知底面是正六边形，边长为边长为12mm，内孔直径为内孔直径为10mm，高为高为10mm，问这问这堆螺帽大约有多少个（

7、堆螺帽大约有多少个（取取3.14）？）？解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个典型例题典型例题球的体积球的体积球的表面积球的表面积说明：公式以后可以证明说明：公式以后可以证明(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍.(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的 倍倍.(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是 .(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是 .随堂练习随堂练习 影响球的表面积及体积的只有一个元素，影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是就是球的半径球的半径.例例4 4：圆柱的底面直径与高都等于球的直径：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：求证：（1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积.柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积锥体锥体台体台体柱体柱体知识小结知识小结球的体积球的体积球的表面积球的表面积