河南省焦作市2022—2023学年高二数学（下）期末考试【含答案】

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1、焦作市2022—2023学年（下）高二数学期末考试 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数，则（ ） A

2、．0 B．1 C． D．2 3．已知向量，，若，则实数m＝（ ） A．－5 B．5 C． D． 4．已知等比数列中，，，则（ ） A．16 B．4 C．2 D．1 5．已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则△AOF的面积为（ ） A． B．3 C． D．6 6．已知角满足，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数存在零点a，函数存在零点b，且，则实数m的取值范围是（ ） A． B

3、． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．2014—2022年（2022年为上半年）中国国内生产总值（GDP）统计如下，且已知2022年全年中国国内生产总值（GDP）为121.01万亿元，则下列结论中正确的是（ ） A．2022年下半年中国GDP为64.75万亿元 B．2022年中国GDP大于2014年与2015年的GDP之和 C．2014—2021年中国GDP同比增长率超过10%的有2017年、2018年、2021年 D．2014—2021年

4、中国GDP同比增长最快的是2021年 10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A．当时，是R上的增函数 B．当时，直线y＝a与的图象没有公共点 C．当时，的单调递减区间为 D．当有一个极值点为0时，的极大值为 11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，P，Q为C上的动点，的最大值为6，则下列结论中正确的是（ ） A．椭圆C的短轴长为 B．当P，Q分别在x轴的上方和下方时四边形的周长的取值范围是 C．存在四个不同的点P，使得 D．若为锐角三角形，则点P横坐标的取值范围是 12．如图，在三棱柱中，AB⊥BC，平面ABC，BC＝2，三棱锥的外接球O的表面

5、积为，记直线AC与所成的角为，直线与平面ABC所成的角为，则下列结论中正确的是（ ） A． B．三棱柱的体积的最大值为6 C．球心O到平面的距离为 D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若的展开式中的系数为15，则实数a＝______． 14．某足球队共有30名球员练习点球，其中前锋6人，中场16人，后卫8人．若前锋点球进门的概率均是0.9，中场点球进门的概率均是0.8，后卫点球进门的概率均是0.7，则任选一名球员点球进门的概率是______．（结果保留两位小数） 15．已知函数的定义域为R，是偶函数，当时，，则不等式的解集为______． 1

6、6．已知在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC＝6，，则该四面体外接球的体积为______． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知在等差数列中，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若是等比数列，且，，求数列的前n项和． 18．（12分） 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c＝2，△ABC的面积为，求证：△ABC是正三角形． 19．（12分） 如图，在长方体中，，AD＝8，交于点O． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线AB与平面所成角的正弦值． 20．（12分）

7、2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享． （Ⅰ）若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求和； （Ⅱ）现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和数学期望． 21．（12分） 已知函数．

8、（Ⅰ）证明：在上单调递减； （Ⅱ）若函数（为的导函数），且单调递增，求实数a的取值范围． 22．（12分） 已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点． （Ⅰ）若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值； （Ⅱ）证明以AB为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标． 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

9、选错的得0分． 9．ACD 10．ABC 11．AD 12．BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．或1 14．0.79 15． 16． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解析 （Ⅰ）设的公差为d． 由得解得 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 则，． 因为是等比数列，所以公比为， 所以，所以． 所以． 18．解析 （Ⅰ）由及正弦定理得， 所以， 所以， 所以． 因为，所以，所以． 因为，所以． （Ⅱ）因为，所以ab＝4． 由余弦定理可得，所以，即， 所以a＋b＝4，所以a＝

10、b＝2，所以a＝b＝c， 所以△ABC是正三角形． 19．解析 （Ⅰ）如图，连接，BD． 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 同理可证，平面． 又，，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （Ⅱ）以A为坐标原点，直线AB，AD，分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为． 由得 令y＝1，得平面的一个法向量为． 设直线AB与平面所成的角为， 则， 故直线AB与平面所成角的正弦值为． 20．解析 （Ⅰ）根据题意可知，， ． （Ⅱ）爸爸做经验分享的天数X的所

11、有可能取值为0，1，2，3，4，且， 故，，，，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 根据二项分布的期望公式可知，． 21．解析 （Ⅰ）由题可知的定义域为，． 令，则，． 令，得，令，得． 故在上单调递增，在上单调递减， 故． 所以对任意恒成立， 所以在上单调递减． （Ⅱ）由题可知， 则． 因为单调递增，所以， 即． 令， 则，． 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以，则，解得． 所以a的取值范围为． 22．解析 （Ⅰ）∵点在双曲线C：上 ∴，解得， ∴双曲线C的方程为，则，． 设Q点坐标为，则，， ∴． ∵点Q在双曲线C上，∴， ∴． （Ⅱ）设以AB为直径的圆与x轴的交点为． 由（Ⅰ）可知双曲线的右焦点F为． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， ∵，∴， 整理得到①． 由消去y可得． ∵直线l与双曲线C有两个不同的交点， ∴且， ∴． 由题设有①对任意的总成立， ∵，， ∴①可转化为， 整理得到对任意的总成立， 故解得，即点M的坐标为． 当直线l的斜率不存在时，l：x＝2， 此时，或，， 则，即M在以AB为直径的圆上． 综上，以AB为直径的圆恒过x轴上的定点，且定点的坐标为．