线性代数正交规范化

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1、定 义 1 维 向 量设 有 n , 2121 nn yyyyxxxx 第 一 节 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性一 、 内 积 的 定 义 和 性 质 内 积 的 运 算 性 质 :, 为 实 数维 向 量为其 中 nzyx ;,)1( xyyx ;,)2( yxyx ;,)3( zyzxzyx .0,0,0,)4( xxxxx 时 有且 当 nn yxyxyxyx 2211,令 . , 的与为 向 量称 yxyx 内 积 定 义 2 非 负 性.1 齐 次 性.2 三 角 不 等 式.3 , 22221 nxxxxxx 令 . 或的维 向 量为称 xnx 长 度 范 数向

2、量 的 长 度 具 有 下 述 性 质 ： ;0,0;0,0 xxxx 时当时当 ;xx .yxyx 维 向 量 间 的 夹 角单 位 向 量 及 n .,11 为称时当 xx 单 位 向 量 yx yxyx ,arccos,0,02 时当 . 的与维 向 量称 为 yxn 夹 角 正 交 的 概 念 正 交 向 量 组 的 概 念 . ,0, yxyx 与称 向 量时当 正 交 .,0, 与 任 何 向 量 都 正 交则若由 定 义 知 xx 若 一 非 零 向 量 组 中 的 向 量 两 两 正 交 ， 则 称 该 向量 组 为 正 交 向 量 组 ,00 21111 T由 .01 从 而

3、 有.02 r 同 理 可 得 ., 21 线 性 无 关故 r 使设 有 r , 21 证 明 02211 r 得左 乘 上 式 两 端以 ,1aT 0111 T 正 交 向 量 组 的 性 质 线 性 无 关 .,则非 零 向 量 , 是 一 组 两 两 正 交 的,维 向 量若定 理 r rn 21 21 1 例 1 已 知 三 维 向 量 空 间 中 两 个 向 量 121,111 21 正 交 ， 试 求 使 构 成 三 维 空 间 的 一 个 正 交基 . 3 321 , 向 量 空 间 的 正 交 基. , , 21 2121 的 正 交 基向 量 空 间 是则 称组是 两 两

4、正 交 的 非 零 向 量 且的 一 个 基是 向 量 空 间若 V V rr r 即 02, 0, 32132 32131 xxx xxx 解 之 得 .0, 231 xxx则 有若 令 ,13 x 1013213 xxx由 上 可 知 构 成 三 维 空 间 的 一 个 正 交 基 .321 ,则 有 0, 3231 解 .,0, 213213 正 交且 分 别 与设 Txxx 规 范 正 交 基 . , ,) ( , 3 21 21 21 的 一 个 规 范 正 交 基是则 称向 量 两 两 正 交 且 都 是 单 位如 果的 一 个 基 是 向 量 空 间维 向 量设定 义 Veee

5、eeeR VVeeen r rn r .21 21 00,21 21 00,00 21 21,0021 21 4321 eeee例 如 1 2, re e e若 是 规 范 正 交 基 ， 则1 1 2 2 r re e e , Tii ie e 其 中 （ 1） 正 交 化 ， 取 ，1 1a 2 12 2 11 1, ,aa , 21 的 一 个 基为 向 量 空 间若 Vaaa r 求 规 范 正 交 基 的 方 法称 为这 样 一 个 问 题价 等与使位 向 量 的 单就 是 要 找 一 组 两 两 正 交的 一 个 规 范 正 交 基 要 求的 一 个 基是 向 量 空 间设 , ,

6、 , , 212121 21 rrrr eeeeee VV . , 21范 正 交 化 这 个 基 规把 r 1 2 11 2 11 1 2 2 1 1 , , , , , , r r r rr r rr ra a aa 1 1 1, , , , , , .r r rb b 那 么 两 两 正 交 且 与 等 价（ 2） 单 位 化 ， 取1 21 21 2, , , ,rr re e e ., 21 的 一 个 规 范 正 交 基为那 么 Veee r3 1 3 23 3 1 21 1 2 2 , , , , a aa 11 , , , , .rr 上 述 由 线 性 无 关 向 量 组 构

7、 造 出 正 交向 量 组 的 过 程 称 为 施 密 特 正 交 化 过 程 例 3 . ,014,131,121 321 量 规 范 正 交 化特 正 交 化 过 程 把 这 组 向 试 用 施 密设 aaa解 ;11 ab 取 bb baab 121222 1 , 12164131 ;11135 bb babb baab 2223121333 21 , 1113512131014 .1012 再 把 它 们 单 位 化 ， 取bbe 111 ,12161 bbe 222 ,11131 bbe 333 .10121 ., 321 即 合 所 求eee 例 . ,111 3 21321两 两

8、 正 交 使求 一 组 非 零 向 量已 知a aaaaa 解 .0 ,0, 321 132 xxx xaaa T 即应 满 足 方 程 .110,101 21 它 的 基 础 解 系 为 把 基 础 解 系 正 交 化 ， 即 合 所 求 亦 即 取,12 a ., , 111 2123 a 于 是 得其 中 ,2,1, 1121 ,1012 a .12121101211103 a 定 义 4 . , 1正 交 矩 阵为称 则即满 足阶 方 阵若A AAEAAAn TT 1 2 23 3 32 1 23 3 32 2 13 3 3 正 交 矩 阵 的 性 质1 1 1.性 质 、 正 交 矩

9、 阵 的 行 列 式 等 于 或 12 A A A .T 性 质 、 如 果 是 正 交 矩 阵 ， 则 13 A A .性 质 、 如 果 是 正 交 矩 阵 ， 则 也 是 正 交 矩 阵性 质 4、 如 果 A,B是 同 阶 正 交 矩 阵 ， 则 AB也 是 正 交 矩 阵 . 证 明 TAA E E定 理 nnnn nnnnnn nn aaa aaa aaaaaa aaa aaa 21 22212 1211121 22221 11211 为 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 的 行 向 量 都是 单 位 向 量 且 两 两 正 交 A A ETnTTn , 2121 ETnnT

10、nTn TnTT TnTT 21 22212 12111 njiji jiijTji ,2,1,0 ;,1 当当 性 质 正 交 变 换 保 持 向 量 的 长 度 不 变 证 明 ,为 正 交 变 换设 Pxy .xxxPxPxyyy TTTT 则 有定 义 5 若 为 正 交 阵 ， 则 线 性 变 换 称 为 正交 变 换 PxyP 1 将 一 组 基 规 范 正 交 化 的 方 法 ： 先 用 施 密 特 正 交 化 方 法 将 基 正 交 化 ， 然 后 再 将其 单 位 化 ;1 1 TAA ;2 EAAT ;3 单 位 向 量的 列 向 量 是 两 两 正 交 的A .4 单 位 向 量的 行 向 量 是 两 两 正 交 的A2 为 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 下 列 条 件 之 一 成 立 ：A