总结拉格朗日中值定理的应用

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1、总结拉格朗日中值定理的应用总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组 中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。 他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通 过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证 明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等 项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几 何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥 梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格 朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我 们需要对其能够熟练的应用，这对

2、高等数学的学习有着极大的意 义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗 日中值定理证明(不)等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研 究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介 绍几种关于如何构造辅助函数的方法。凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定 理的结论形式，凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论 中的三换成X,变形后观察法凑成F (X),由此求出辅助函数 F(x).如例 1.例1.设函数/(*)在a上连续，在(a,6)内可导，证明:存在w(a,6),使得2f/(6)-/(a) = (fe2-a2)/W分析:结论变形为切卜(歹-刊/“，即可凑成F

3、)L广0将换成兀，结论变形为24/G)-/(a)HM-刃几0 = 0,即说/)一/卜(夕-a2)/(x)r = 0从而可设辅助函数为凡x)“/0)Yq)-(MT)/(x),有F(a)=F(6),本题得证证明：令F=丘/0)-/(。)卜(Z/-aVa)，则 F&)在a,6上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b),由罗尔定理知至少存在一点gm使得 F) = 2f(b)-f(a)-(bz -；)/) = 0常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具 有对称性，通常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般 选取所证等式中含的部分作为k,即使常数部分分离出来并令 其为k,恒等变形使等

4、式一端为a与f)构成的代数式，另一端 为b与f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为 变量x移项即为辅助函数f (x),再用中值定理或待定系数法等 方法确定k, 一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次 运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式.如例3.例3.设/(兀)在a. bih连续在(a,6)内可导，0 v avb,试证存在一点使等式y*(b)TXa) = In(f )成立.Or分析：将结论变形为铲( ,左边为常因此可令K-yu-心nblna贝|J 有才(&)-Kln&=f(a)-Kina.令5=兀可得辅助函数F(x)x)-Klnx,证法设FG冶心_疇瓷亠,则可验证FG )

5、在0丄上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理得证.证法2：将所求证等式的右端恒等变形为牟孚#3 =侔1函数g&)=iw则函数f(x)u) moIna十在闭区问s幻上满足柯西中值定理的全部条件，所以存在使得瓷占需1=弓即/(6)V(a ) In a倒推法：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.如例4。例4.设/(戈)在ziJCO a6)上连续，在(a,b )内可导且 jXa)=b 9fl b )=a*证明：在(a)内至少存在一点C使f(f心e 分析；所耍匹的结论可变形为r(G”(G=o,即 证(x)v(x)jx)=0.证 明：H入使分析疋亠是个恒力正的因子，所证明等式或

6、不 等式的两端都可以或除以这样的一个因子，等式或 不等式仍然成立，于是想到亠是个理想的乘积因子证明：引入辅助函数F3+W由题设知 F(a)=F(6)=O,F(A：)在a, 6上连续，在(。)内可导， 满足罗尔定理条件故存在e (a,6).使F(G=0. 即 e()-Ae )=0.所以广成立.介值法：证明中，通过引入辅助函数g(x)=f(x)-x将原问题 转化为(a, b)可导函数g (x)的最大值或最小值至少有一个在必在内点达到，从而可通过g(x)在(a,b)可导条件，直接运用费马 定理，完成证明。如例6。例6.证明二若在a上可导，WU/X%)可取 到/( a )与fb之冋的一切值.证明：Vt

7、j 丘)(或 77 w (广5). 厂a).令g(%可(害)-由/X*的性质，“)在码叭 上可导，貝gx=fx)-n.由7?的件质，有g (Gg (b)vo,不妨设 ()O,BPlim 也由极限的性质知宁3 5f0,使得当x e()时宁g(%：g(a).即g(a)不是有界闭区间上上的连续函数羔幻 的最大值. 同理，由gVbvO知虽O,使得当兀wU； (6 )时有gSAg(&),即呂(5也不是gd在g,b上的最大值，但g(X)必在sM h达到其最大值故必存在 电 w(ct.b),使 V x有 g(xo)二 gQ).又&(小在力处可导，由Fermat定理.g牡)=0,即f 电)=片.由勺匚(_/(

8、a) f 5 )(或耳 Wb ) ,y (a) 的任意性，命题得证.一拉格朗日中值定理证明(不)等式在不等式的证明中，关键是选取适当的辅助函数f (x)和 区间(a , b ),通过的范围，根据导函数f 确定f (O 和分式的范围，得证。如例题7。例7.X V . F 工”工 V A 一 一 J V g .匚,0 l),对恥)在|g+l|上应用拉氏中值定理则在他a_ j_ j_n+l)内存在&使 f(n+lf(n)=f(e)?即 k-k=-k-e 因为 3,lnk0.所以有一v怜。考虑到函数琴1/在QU上是单调递减Ink fx2HJ_ J_1_1_(.0*1. nHIn niln的又因iKi+

9、i,故有，所以斗-v=斗(n+l?甲 tr(n+lF Ink 卅例9：设 OVa V(3 V 一，求证*卩 一_口 V tanp - tana V 目蔦 cossetcosp证明：在区间a ,0 上对函数也加使用屮值定理，可知存 在g e(a ,0，使得tail ptaila.= (p - a )Ctarix) .&=由于在 CO 9 耳)Jt cosx 是严格递减的函数，从而由ov a v卩v宁可得cos2G COS2C COS23 0所以 p -a ctanp tana V旦二g。COSaCOSP二利用拉格朗日中值定理求极限求极限的方法有很多，常见的有利用洛必达法则，利用重要极限 等，而对

10、于一些极限也可用拉格朗日中值定理或者只能用这种方 法来求解，如例10, 11.例10：求柳輙也眦伽 M lnarctan分析：因为要求的极限为8.0型，所以我们可先用洛必达法则求解，但姥通过计算，发现利用这个方法很难求解.仔细观察题目后不难 看岀极限中的liiarctan氐+D - biarctanx实际上为函数f=Lnar- c防ni在区间凶x+llk的两个端点的函数值的差，所以我们可先用拉 格朗口中值定理将极限的形式转化然后再求解二解二 设函数F D =kiarctant?在民lJs对F础 运用拉格朗口中值定理得Itiarctan 幺 + 1 一 lnarctafcix=J+ 其中 xx-

11、4-1.arctan 1 1 + 孑勺因希次 2又丙为 X-+8 时羔 也f y2*|.1 4 WH- 42所些由夹逼定理可得如。故原极限arctan 1 + F可见，运用拉格朗中值定理之后，问懸很容易就可以得到解决 To下面再来看一个例子。=limxarctan 例们:求极限回住-击皿叭分析：所娈求的极限为8.8型。类個1上_题.我彳门可先将分埒 通分后”然后用洛必迖法则求解 通过壬十箕不雅发现要两次用到洛必达 法则，而且计耸呈:非常大现在我彳门用列一种方法隶解Q所求极限为二元函数f g 9=遛y 、.在区问m,町上的两个靖点的函数值的差. 因1 X-此可羽用拉格顛口中值定理先将扱限转化门解

12、二 令函数f匕 y = 17xy T在可上对变呈y运用拉格朗口 中值定理得“竺円_ 门=（m_Q 1 一幷+$屮玄其中三丘b Cmn)lim 1x-4-xl nx1 X 1 X11（ 1 - X *F所以.原扱卩艮 1 x.m 1 x异- + 孑工一叮 nix-Ex-1可以看到，虽然这种方法中也用到洛必达法则.但先用拉格朗口 中值定理将极限转化为较简单的形式可使计算虽:小许多。例此，对于类 似上面的两种类型的未定式的极限一一极限的表达式中出现拉格朗口中值定理中的吐）心）或F - f 的形式的时候丁先用拉格朗口 b- a中值定理将极限转化然后再求解.常可以达到岀其不意的效果:，这就 要求我们平时

13、做题时耍善于观察题鬥的待征、总结解题方法。同时，例 2也告诉我们对于多元函数我们也可以对其中的一个变呈运用拉格朗口 中值定理，此时只需将其它的变屋看作常数即可Q三研究函数在区间上的性质因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候。我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义 域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的符号、单调性、 一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的结论。通过 对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要 的方法。如例12：训摘研丽ift耐郦龍f（训斷紬沖哦辄证明设当时fU）l対于V32亡侬1小在以xi2为端点的区间上由拉氏中值定理，有

14、脈沪叭、诧唐在曲心之间;那么有I呛）| 0 X1WM,对于V o r取2*p则当3W仙）,且I叶禺|l annx |f（2Q |J to許，从而|r（x）|（ixm ： |rgh |三| ；仪血=|卩（&卜淹|再利用（caXl c）W 咛匚,即得所证。五证明级数收敛证明：若的三o,不等式显然成立，若不恒等于o3ce（xhv使 l】m |尊）|=仗）,在闵及口）|上分别用拉氏中值定理:有临尸他,逆沪 圧 w uC- 11 c-L- a）-；-（1 de- a）（&0）收敛。吉一正项级数工恥码“）发散,焉三屮血+每,证明级数X 爲mlji-1 1亠丄00n.ln证明:作辅助函数IUF右P则他戶缶，当心2时,在民忍I上用拉氏中值定理，得血业卫齐4于-rr-rr x% 匕 5A L收敛，即得所证。Li sa