弹塑性力学理论及其在工程上的应用

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1、弹塑性力学理论及其在工程上的应用摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要 手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应 用。关键词：弹塑性力学；工程；应用第一章 弹塑性力学的基本理论（一）应力理论1、 应力和应力张量在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论 应力矢量和某一点处的应力状态。为了说明应力的概念，假想把受组平衡力系作用的物体用一平面A分成A和B两部分（图1.1）。如

2、将B部分移去，则B对A的作用应代之以B部分对A 部分的作用力。这种力在B移去以前是物体内A与B 之间在截面C的内力，且为分布力。如从C面上点P 处取出一包括P点在内的微小面积元素AS，而AS上 的内力矢量为AF，则内力的平均集度为AF / AS , 如令AS无限缩小而趋于点P,则在内力连续分布的条件下AF / AS趋于一定的极限b o,即lim AF 二 bAS tO AS2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P是从一个三维 空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后再 讨论空间问题就比较容易了。当受载物体所受的面

3、力和体力以及其应力都与某个坐标轴（例如 z 轴）无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。（1）平面应力问题如果考虑如图所示物体是一个很薄的平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即xy平面，z方向的体力分量z及面力分量F均为零，则板面上（z =/2处）应力分量为(b ) x = 0z z=a2(T) X =(T) x = 0 zx z=Xzy z=X22图 2.2 平面应力问题因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，在垂直于 z 轴的任一微小面积上均有a = 0， T = T = 0zzx zy根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有 T

4、 =T = 0。因而对 yx xz于平面应力状态的应力张量为a =ijxTyx0Txyy0如果z方向的尺寸为有限量，仍假设b = 0 ,T =T = 0，且认为a ,azzx zyx y和t （ t ）为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。xy yx（2）平面应变问题如果物体纵轴方向（oz坐标方向）的尺寸很长，外荷载及体力为沿z轴均匀分 布地作用在垂直于oz方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略 端部效应，则因外载沿z轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位图 1.3 平面应变问题移与所在z方向的位置无关，即Z方向各点的位移均相同。令u、v、w分 别表示一点在

5、x、y、z坐标方向的位移分量，则有w为常数。等于常数的位移w 并不伴随产生任一 xy平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，可取w = 0。 此外，由于物体的变形只在xy平面内产生，因此w与z无关。故对于平面应变状 态有u = u (x, y)v = v(x, y) w = 0由对称条件可知，在xy平面内T (T )和T (T )xz zx yz zy恒等于零，但因z方向对变形的约束，故b 般并不z为零，所以其应力张量为b T 0 -x xyb = T b 0(/ yx y00bz实际上b并不是独立变量，它可通过b和b求得，因此不管是平面应变问zx y题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个

6、，即b、b和T (=T )，对于x y xy yx平面应变问题的求解，可不考虑b。z(3)平衡微分方程物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系 所导出的方程称为平衡微分方程。如图所示的平面应力问题，除面力外，在这个 微单元体上还有体力的作用单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为 X,Y 而固体的质量密度为P。自弹性体内任一点P处附近截取一单元体,片1書心T广戶+空牡一r 1 -图1.4平面应力状态微元体的应力它在X，y方向的尺寸分别为dx和dy。为了计算方便，在z方向取单位长度, 如图b所示。该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。由于在 一般情况下应力分量

7、是位置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上 的应力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab 上的正应力和剪应力分别为 b，则作用于cd面上的正应力应随之变化。该变化可根据Taylor级数展开，x即I,dodob | =o | +忘 dx + dy + 0(dx2,dy2)x cd x abdxdyabab由于ab,cd线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去 二阶以上的微量后，由上式得cd边上的正应力为doo + x dxxdx同理，如ab边上的切应力为t ，ad边上的正应力和切应力分别为o ，txyy yx可得cd边上的切应力及bc边的应力分量可类推分别得c +

8、 ydyyQyQtt + 匹 dyyxQyQtt + 严 dxxy Qx微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。 如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元 体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘积（即惯性力的投影）。（4） 一点的应力状态所谓一点的应力状态是指受力变形物体内一点的不同截面上的应力变化的状况。现以平面问题为例说明一点处应力状态。在受力物体中取一个如图 1.5 所示的微小三角形单元,，其中AC , AB与坐标轴x, y重合，而BC的外法线与Z zc ,c ,t已知，则BC面上的正应力c ,，和切应力T 可用已知量表示。因9角轴

9、成9角。取坐标x,y，使BC的外法线方向与x方向重合（如图1.5）。如果x y xyxx y的任意性，若BC面趋于点A时，则可认为求得了描绘过点4处的应力状态的表达式。 实际上，这里所讨论的问题是一点处不同方向的面上的应 力的转换，即BC面无限趋于点A时，该面上的应力如何 用与原坐标相平行的面上的应力来表示。在这种问题的分 析中，可不必引入应力增量和体力，因为它们与应力相比 属于小量。第二章 弹塑性力学在工程上的应用弹性和塑性理论是现代固体力学的分支，弹性和塑性理论的任务，一般就是 在实验所建立的关于材料变形的力学基础上，用严谨的数学方法来研究各种形状 的变形固体在外荷载作用下的应力、应变和位

10、移。弹塑性理论研究的对象是弹性 体，指的是一种物体在每一种给定的温度下，存在着应力和应变的单值关系，与 时间无关。通需这一关系是线性的，当外力取消后，应变即行消失，物体能够恢 复原来的状态。同时物体内的应力也完全消失。弹塑性理论在工程上有着广泛的应用，经常结合有限元软件分析结构及杆件 产生的内力、位移、变形等判断结构是否满足安全性，耐久性等其他方面的要求。 （一）弹塑性力学在材料上的应用 1、三轴围压下砂浆弹塑性损伤变形的研究水泥砂浆可以视为无粗骨料的混凝土，在工程上有着广泛的应用，其力学性 能的研究也得到广泛的关注。砂浆材料作为一种类岩石材料，其三轴围压作用下的力学行为作为表征其材 料性质的

11、一个重要方面。大量的实验结果表明，应力状态对脆性材料的力学性能 有着重要影响。一般情况下，对于许多脆性材料，在单轴加载或低围压下，表现 出明显的脆性特性；而随着围压的增大，试件的强度和韧性都有着显著地提高。 然而，据目前的研究现状而言，对于砂浆材料三轴压缩状态下的力学响应的研究 成果较少，在模拟方面大多数是基于唯象模型，缺乏结构的信息，模型结构没有 材料内部的结构变化相联系。因此，利用基于微观物理机制的本构模型研究三轴 压缩状态下的砂浆材料的力学响应有着非常重要的科学意义。砂浆的弹塑性损伤变形的研究是基于对泛函数和 Cauchy-born 准则，抽象出 弹簧束构元和体积构元，组集两种构元的力学

12、响应，给出了材料的弹性损伤的本 构关系；考虑滑移作为主要的弹塑性变形机制，提出了滑移构元，给出了材料的 塑性本构关系利用变形分解机制，得到了三种构元共同描述的弹塑性损伤的本构 关系。阐述了给定应变条件下弹塑性损伤本构关系的迭代流程。从材料细观变形 角度解释了随着围压增加，材料的承载能力增加的现象，初步验证了弹塑性理论 处理非比例加载的问题。2、基于弹塑性理论计算钢筋锈胀力以弹塑性为基础，视钢筋混凝土为半脆性材料，取外半径为（R+r）、内径为 R 的厚壁圆环为研究对象，根据厚壁简原理假定材料是体积不可压缩，外部混凝 土受到钢筋的锈蚀的挤压经过弹性阶段、弹塑性阶段、塑性阶段三种状态。由于 混凝土的

13、非均质性、在混凝土开裂之前会存在一定的塑性，故裂缝出现在弹塑性 阶段，在弹塑性阶段弹塑性区与弹性区的交界处应力 将达到最大。x （二）基于弹塑性力学理论分析工程构件的内力变形 1、钢筋混凝土壳体结构弹性理论分析壳体结构是由曲面形板与边缘构件组成的空间结构。壳体结构有很好的空间 传力性能，能以较小的构件厚度形成承载力高、刚度大的承重结构，能覆盖或围 护大跨度的空间而不需要中间支柱，能兼承重结构和围护结构的双重作用，从而 节约结构材料。 壳体结构可做成各种形状，以适应工程造型的需要，因而广泛 的应用于工程结构中（大跨度建筑物顶盖、中小跨度屋面板、工程结构与衬砌）。壳体结构理论的基本假定：（1）“薄

14、膜理论”通常应用于整个壳体结构的绝 大部分。（2）考虑弯曲效应的“弯曲理论”可用于分析荷载或结构不连续处邻近 的局部区域所发生的不连续应力。壳体结构的基本方程：（1）几何方程 采用正交曲线坐标系，根据壳体理论 的基本假设，由弹性体在正交曲线坐标下的集合方程，可以推导薄壳的几何方程， 共三个方程（2）物理方程 根据壳体理论的第三个基本假设，不考虑 z 轴方向的 应力对变形的影响，将内力用中面形变量，积分推导后可以得出薄壳的物理方程 的内力表达式，由表达式可以得到，在薄壳体中，由薄膜力N1,N2，和S引起的 应力沿壳厚均匀分布，弯矩和扭转引起的弯矩应力沿厚度直线分布。（3）平衡方 程 在曲线坐标系

15、下，考虑壳微元，同时将外荷载折算为单位中面面积的荷载分 量X,Y和Z。2、自由杆件对简支梁的多次弹塑性撞击柔性结构的弹塑性撞击是航空、航天、船舶、和机械领域中普遍存在的问题， 对此类问题的研究分析，是工程领域的一项长期又艰巨的重要的任务。可以通过弹塑性理论对自由杆件多次弹塑性撞击进行分析，将单轴压结模型 应用于模拟多次撞击的分离过程中接触区的弹塑性接触行为，推导出弹性杆件和 弹塑性梁的动力学方程并采用有限差分方法加以求解，研究了弹性自由杆撞击弹 塑性简支梁的全过程。研究发现整个撞击过程实际上是一个复杂的多次弹塑性撞 击过程，存在两个以上的明显撞击区，每个撞击区包含了形式多样的复杂撞击过 程，相

16、对于第一个撞击区，剩余撞击区的撞击冲量不可忽略所以多个撞击区将对 撞击系数产生重要影响。撞击产生的纵向应力波在弹性杆件中的传播和反射，直接影响多次弹塑性撞击。参考文献：1 王建军.从弹塑性力学的角度谈软岩巷道支护理论J.机械管理开 发,2014,(01):16-17+37.2 李金柱，朱向荣，刘用海.结构性软土弹塑性损伤模型及其应用J.浙江大学 学报(工学版),2010,(04):806-811.3 杨强，薛利军,王仁坤，赵文光.岩体变形加固理论及非平衡态弹塑性力学J. 岩石力学与工程学报，2005，(20):106-114.4 陈莘莘.弹塑性力学问题中的无单元伽辽金法D.湖南大学,2002.