二水准部分阶层实验设计2kp

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1、&二水準部分階層實驗設計(2k-p)n2k-pDesign具有k個因子，每個因子有兩個水準，共有2k-p次實驗。n2kDesign所需之實驗次數隨k(因子數)之增加而據增，例如24=16、26=64、28=256、。然而，以26為例，64個實驗產生64-1=63個自由度，其中只有C61=6個自由度是主因子作用，C62=15個自由度是給兩因子之交互作用，卻有63-6-15=42個自由度是給三個(含)以上的因子交互作用。n故，假设以專業知識可以假設多因子交互作用是不顯著的，且可以予以忽略(大多數情況是如此)，則吾人只須做此2k個實驗中的部份實驗，即可瞭解主因子作用以及低階之因子交互作用。&Seve

2、n12k-p實驗用途n2k-pDesign主要用於實驗初期的ScreeningExperiments，用以從多數可能之因子中篩選出具有顯著作用之因子，以為之後更詳細實驗之依據。n可用於產品與製程之設計。n可用於製程上之問題排除。&Seven22k-p基本理念n多數系統或製程之執行成效皆由主因子作用以及低階之因子交互作用所決定。n部份階層實驗可被進一步用來投入涵蓋部份重要因子之較大實驗。n兩個以上之部份階層實驗可被整合來估計所有主因子作用以及因子之交互作用。&Seven323-1設計n23Design分成兩個23-1Designs。n符號表符號表(一一)&Seven4部分階層設計之產生器(Gen

3、erator)nABC稱為此部份階層之產生器(Generator)。&Seven523-1設計之圖示n第一組之ABC皆為+號，其產生器為I=ABC。n第二組之ABC皆為-號，其產生器為I=-ABC。&Seven623-1Design(I=ABC)n在23-1Design(I=ABC)中共有4次實驗，4-1=3個自由度，可被用來估算各因子之主作用。&Seven723-1對比差異與平均效應nContrastA=abc+a-b-cContrastAB=abc+c-a-bContrastB=abc+b-a-cContrastAC=abc+b-a-cContrastC=abc+c-a-b Contras

4、tBC=abc+a-b-cnAEA=1/2(abc+a-b-c)=AEBCAEB=1/2(abc+b-a-c)=AEACAEC=1/2(abc+c-a-b)=AEAB&Seven8Alias關係n計算A平均效應之公式與計算BC平均效應之公式相同；亦即，當吾人利用上述之公式計算A之平均效應時，實際上，乃是在做A+BC之平均效應計算。此種現象稱之為Alias，以 lAA+BC來表示。n所以，在23-1Design(I=ABC)下之Aliases為lAA+BClBB+AClCC+AB&Seven923-1Design(I=-ABC)下之Aliasesn在23-1Design(I=-ABC)下之Ali

5、ases為lAA-BClBB-AClCC-ABnWHY?&Seven10連續部分階層實驗n假设吾人做兩階段之實驗皆為 23-1 Design，但第一次用 I=ABC，第二次用 I=-ABC，則因為nlA A+BCnlA A-BCn所以n(lA+lA)/2 An(lA lA)/2 BCn吾人可清楚界定出主因子作用與兩因子交互作用之大小，但對ABC而言，則無法估算，此為部份階層實驗所必須犧牲。&Seven11部份階層實驗之解析度(Resolution)n定義：一個具有解析度為R之設計，p-因子交互作用之效應不與R-p因子交互作用之效應相互Alias。n解析度之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作

6、用相互Alias；但主因子作用卻和2因子交互作用相互Alias。如23-1Design。n解析度之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用或2因子交互作用相互Alias；但2因子交互作用卻相互Alias。如24-1Design(I=ABCD)。n解析度之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用或2因子交互作用相互Alias；但2因子交互作用卻與3因子交互作用相互Alias。如25-1Design(I=ABCDE)。&Seven122k-2Design(1/4階層設計)n2k-1Design需要一個GeneratorI=ABCDE.最高階交互作用來構建。n2k-2Design需要兩個Genera

7、tors。n26-2Design(I=ABCE=BCDF)，建構之方式如2k-1Design，下頁之表為利用第二種方式構建而成。n由於取 I=ABCE 與 I=BCDF 共有4組，除了ABCE與BCDF外，應有另一個交互作用會被犧牲掉，此交互作用為(ABCE)(BCDF)=AB2C2DEF=ADEF所以完整之寫法應為 I=ABCE=BCDF=ADEF&Seven1326-2Design符號表&Seven1426-2Design(I=ABCE=BCDF=ADEF)之AliasesnA=BCE=DEF=ABCDFB=ACE=CDF=ABDEFC=E=F=AB=BC=ABD=n完整之Aliases結

8、構如下頁。&Seven15&Seven1626-2Design之計算n26-2Design(I=ABCE=BCDF=ADEF)共有16次實驗，16-1=15個自由度，可用以估算6個主因子作用及多數2因子交互作用。n其計算如下：ContrastA=ae+abf+acf+abce+adef+abd+acd+abcdef-(1)-bef-cef-bc-df-bde-cde-bcdf平均效應：AEA=ContrastA/8SSA=ContrastA2/16n其他因子之計算同此方法。&Seven1726-2Design_Examplen範例：“262.DX5,n 26-2 Design n(I=ABCE

9、=nBCDF=ADEF)n射出成型製程nA 因子：溫度nB 因子：轉速nC 因子：固定之時間長短nD 因子：循環時間nE 因子：孔徑大小nF 因子：壓力n反應變數 Y：收縮程度&Seven18&Seven19&Seven20一般2k-pDesignn需要p個產生器(Generators)。n24-1Design(I=ABCD)n26-2Design(I=ABCE=BCDF)n每一作用(Effect)有2p個Aliases。n23-1Design(I=ABC)中，lAA+BCn26-2Design(I=ABCE=BCDF)中，lAA+BCE+DEF+ABCDFn只允許2k-p-1個作用(及其Al

10、iases)被估算出來。&Seven21在2k-p中使用區隔化(Blocking)n26-2Design(I=ABCE=BCDF)中，用ABD作區隔化：&Seven22&Seven23&Seven24&Seven25&Seven26Why/WhentoUseRSM?n此反應變數(ResponseVariable)受數個因子之影響.n必須經由實驗設計所證實.n吾人想知道此反應變數之最正确值n目標值n最大值n最小值n目的:如何設定因子之水準(區間),使反應變數達到最正确值.&Seven27RSM之基本原理n真正的函數關係Y=f(x1,x2)+en反應曲面(ResponseSurface)=f(x1

11、,x2)n假设因子之區間縮小,則f(x1,x2)可用多項式來趨近.如:nY=b0+b1x1+b2x2+bkxk+e(firstorder)nY=b0+bixi+biix2i+bijxixj+e(secondorder)&Seven28反應曲面-Example&Seven29TheMethodofSteepestAscentn目的:為能快速達到最正确反應變數值之鄰近區域.n假設:在遠離最正确反應變數值的地方,一般而言,使用First-orderModel已經足夠.nSteepestAscent是一種沿著最陡峭的路徑(亦即反應變數增加最快之方向),循序往上爬升的方法.n假设用以求極小值,則稱為St

12、eepestDescent.&Seven30SteepestAscent-圖解&Seven31SteepestAscent-Examplen“525.DX5n因子:1:反應時間(35min.)n2:反應溫度(155oF)n反應變數Y:平均產出水準(40%)nCodedVariable(X1;X2)=(-11;-11)nNaturalVariable(1;2)=(3040;150160)&Seven32Example525之實驗數據n重複中心點nError之估算nFirst-orderModel是否合適(Fit?)&Seven33Example之ANOVATable&Seven34Example

13、之分析結果n實驗所得之回歸模式(RegressionModel)為12nx1與x2之係數(0.775and0.325)相對於係數之standard error=sqrt(MSE/d.f.e大的多;故兩係數均顯著.n下次實驗之移動方向:n以移動係數最大之因子一個單位(以CodedVariable為基礎),故選擇x1=1,則x2=(0.325/0.775)x1&Seven35Example之後續實驗結果(一)&Seven36Example之後續實驗結果(二)&Seven37Example之後續實驗結果(三)-ANOVAn實驗所得之回歸模式(RegressionModel)為n12n需進一步之實驗以

14、求取最正确點.&Seven38SteepestAscent步驟n2k+nccenterpoint或CCD或其他nFirst-orderModel顯著,且Curvature不顯著;否則已在最正确點附近.n取係數之絕對值最大者;選定其StepSizexi.n其他因子之StepSize=nxi/bi=xk/bkn將xi換算成NaturalVariable;回到第一步驟.&Seven39Second-orderModel之分析n當非常接近最正确點時,First-orderModel便不再適用;此時應用Second-orderModel或更高階之Model來趨近真實反應曲面的曲線(曲面)情形.&Seven40CentralCompositeDesign(CCD)-Examplen“534.DX5&Seven41CCD結構圖&Seven42CCDExample之ANOVA&Seven43CCDExample之反應曲面&Seven44CCDExample之反應曲面_ContourPlot&Seven45