常见的追及与相遇问题类型及其解法

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1、追及与相遇问题追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运 动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概 念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画 出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起 一幅物体运动关系的图景.借助于 vt 图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了. 知识要点：一、相遇是指两物体分别从相距 S 的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动 的距离之和等于S,分析时要注意：(1) 、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运

2、动时间可建立某种关系；(2) 、两物体各做什么形式的运动；(3) 、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立S=S+S2方程；二、追及问题(1) 、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。若甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距 。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离。2、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： 速度小者匀加速追速度大者 ,一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度，即v二v。甲 乙 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否

3、追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。 若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。 若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟类似。三、分析追及问题的注意点： 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v -1图象的应用。例题分析：1.

4、 一车处于静止状态，车后距车S0=25m处有一个人,当车以Im/S2的加速度开始起动时，人以6m/s的速度匀速追车，能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少？2. 辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰好此时 一辆自行车以6m/s速度驶来，从后边超越汽车.试求： 汽车从路口开动后，追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？ 经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？3. 公共汽车从车站开出以4m/s的速度沿平直公路行驶，2s后一辆摩托车从同一车站开出 匀加速追赶，加速度为2m/s2。试问（1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？（2）摩托

5、车追上汽车时，离出发点多远？（3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？4、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度 v2做匀速运动，已知vlv2司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，加速度a的 大小应满足什么条件？5、某人骑自行车以4m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面7m处以10m/s的速度同向行驶 的汽车开始关闭发动机，而以2m/s2的加速度减速前进，求：自行车未追上前，两车的 最远距离； 自行车需要多长时间才能追上汽车.6. 某人骑自行车以8m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面8m处以1 Om/s的速度同向行驶 的汽车开始关闭发动机，而以2m/

6、s2的加速度减速前进，求： 自行车未追上前，两车的最远距离； 自行车需要多长时间才能追上汽车.课后练习：1、一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m处有一货车正以6m/s 速度匀速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s才停止，问是否发生碰 车事故？（会发生碰车事故）2、同一高度有AB两球，A球自由下落5米后，B球以12米/秒竖直投下，问B球开始运动 后经过多少时间追上A球。从B球投下时算起到追上A球时，AB下落的高度各为多少？ （g=10m/s2）（2.5 秒；61.25 米）3、如图所示，A、B两物体相距s=7m，物体A在水平拉力和摩擦力作用下，正以v 1

7、=4m/s 的速度向右运动，而物体B此时的速度v2=10m/s，由于摩擦力作用向右匀减速运 动,加速度a=2m/s2,求，物体A追上B所用的时间。（2.67s）vvv 24、羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s,并能维持一段较长的时间； 猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度 4.0 s.设猎豹距离羚羊xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑， 假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：猎豹要在从 最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？解析：先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度

8、所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m2 x 60s = 11达到最大速度用时间t2,则30羚羊从静止开始匀加速奔跑2 x 5050m达到最大速度用时间11,则25=4s猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s而被追上，此 x 值为最大值，即 x=S 豹一$羊=(60 + 30X4)-(50+25X3) =55m，所以应取 x55m。5、高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落.螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少?解析：此题为追及类问题，依题意画出反映这

9、一过程的示意图，如图2 27所示.这样 至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动.从示意图还可以看出, 电梯与螺钉的位移关系：S 梯一 S 钉二 h 式中 S 梯=七+%at2, 5钉=1012可得t =、.：2h/(g + a丿 错误：学生把相遇过程示意图画成如下图，则会出现s梯+$钉=h式中 5梯=v01 十%at2, S 钉=v0t%gt2这样得到 v0t+%at2+v0t%gt2=h，即(ag) t2 + 2v01h=0由于未知v0,无法解得结果。判别方法是对上述方程分析，应该是对任何时间t,都能 相遇，即上式中的A=4v02+2 (a g) h三0 也就是v0W；Q

10、刁石,这就对a与g关系有了限制，而事实上不应有这样的限制的。参考答案1、S -S =S v t-at2/2=S0即 t2-121+50=0人 车 0 人A =b2-4ac=122-4X50=-560方程无解.人追不上车当v i=v =at时,人车距离最小t=6/1=6s人车AS =S +S -S =25+1X62/2-6 X 6=7mmin 0 车 人t=2s2、1解一：速度关系，位移关系 v = at = v 汽自As = v t一 at2 = 6x2一丄x3x2 = 6（m） 自 2 2解二：极值法13仃）As = v t - at 2 = 6t -12自2 2由二次函数的极值条件可知t

11、= = 2s时，As最大2 x (3/2)时最大3As = 6 x 2 一一x 22 = 6(m) m2(2) 汽车追上自行车时，二车位移相等vt1 2v2 x 6=at 2t = 4 s2 t 3v=at = 3 x 4 = 12m / s(1) t = N = 6 = 2s a3解三：用相对运动求解选匀速运动的自行车位参照物，则从运动开始到相距最远,这段时间内,起初相对此参照物的 各个物理量为初速 v = v 一 v = 0 一 6 = 6m / s0 汽初 自末速 v = v 一 v = 6 一 6 = 0t 汽末 自加速度 a = a a = 3 0 = 3m / s2汽自v2 一 v

12、20 一（一6）2（负号表示汽车落后）.相距最远s二十=卞 = 6m解四：图象求解tttAs = v at 2 = 6 x 2 -x 3 x 22 = 6m t 22(2) t = 2t = 4sv = 2v = 12m / s自3、 解：开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩 托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上，显然，在上述过 程中，摩托车的速度等于汽车速度时，它们间的距离最大。(1)摩托车追上汽车时，两者位 移相等，即1v(t+2)= at22解得摩托车追上汽车经历的时间为t=5.46s(2) 摩托车追上汽车时通过的位移为

13、1s= at 2=29.9m2(3) 摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即v=a t/vt/二=2sa1最大距离为$=( t/+2)- at /2=12m小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解 列方程的依据，涉及临界问题时要抓住临界条件。4、解法一：由分析运动过程入手后车刹车后虽做匀减速运动，但在速度减小到和v2相等之前，两车的距离将逐渐减小； 当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距 离最近。若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车，发 生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现

14、后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车， 若后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临 界条件，其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。综合以上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列方程：1v t- a t2= v t+sv -a t二v1202t 02(v - v )2联立上式可解得：叮七厂(v - v )2所以不a三七厂时时两车即不会相撞。解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为1v t- at2vm=20m/s这说明摩托车应先做匀加加速运动，达到最大速度vm后，再做匀速运动运动去追赶卡 车。根据上述分析可得12 at12+vm(t-t1)=so+votvm=at1v2m解得 a= 2(Vmt - Vot - So )202=2 x(20 xl20 -10 x 120 -100) m/s 20.18m/s 2 这就是摩托车的加速度。小结：上述解得应用了假设法，这是一种重要的思维方法，当物理过程或物理状态有多 种可能性时，运用它排除谬误，辩明真为是比较方便的。