复变函数的可导与解析

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1、复 变 函 数 的 导 数 与 函 数 解 析一 . 复 数 域 与 复 数 的 表 示 法 1i,Im,Re ,iC zyzx Ryxyxz复 数 集 ： C C),()1( )0( C 1复 数 域数 域 构 成 一 个于 是 复 数 集及 逆 元单 位 元 ，数 集 中 有 零 元交 换 律 ， 分 配 律 ， 且 复 法 与 乘 法 的中 的 四 则 运 算 满 足 ： 加复 数 集 z 复 平 面复 数 域 有 序 数 组复 数 ),( yxiyxz复 数 的 表 示 法 ： 三 角 表 示 法 ）或 向 量复 平 面 上 的 点 ()sini(cos.3 ),(.2 i.1 rz

2、OPyxPyxz （ 指 数 表 示 法 ） irez .4 ,1,0,2arg .arg,( . 22 kkzArgz zzArgz zyxzr 为内 的 幅 角 为 主 幅 角 ， 记范 围 个 幅 角 ， 称 在任 一 非 零 复 数 有 无 穷 多的 幅 角 的 模其 中 ： 在 第 四 象 限在 第 三 象 限在 第 二 象 限在 第 一 象 限zxy zxy zxy zxyz arctanarctanarctanarctanarg 2121 2121 )( ArgzArgzzzArg ArgzArgzzzArg 2 12121212121 zzzzzzzzzzzz ）（，性 质 ：

3、 212121212 , zzzzzzzzzzz 复 数 的 乘 幂 ： )sini(cos)( ),sini(cos nnrrez nzrrez nnin i 为 次 幂的则设复 数 的 方 根 ： )1,2,1,0( )2sini2(cos ),sini(cos1 nk n kn krz nzrrez nn i 为 次 方 根的则设 二 . 复 变 函 数复 变 函 数 ：一 个 复 变 函 数 二 个 二 元 实 函 数 ),(),()(: yxivyxuzfw uvxy ivuwiyxzf 平 面 上 的 点 集平 面 上 的 点 集例 如 ： xyyxvyxyxu ixyyxiyxz

4、zfw 2),(,),( ,2)()( 22 2222 定 义 域 . 函 数 值 集 合定 义 集 合 复 变 函 数称 其 为 常 常 为 一 个 平 面 区 域今 后 的 讨 论 中 称 为的称 为 或 简 记 为记 为 上 的是 定 义 在则 称与 之 对 应 中 有 一 个 或 多 个 复 数在通 过点 中 每 一 个如 果 对一 个 确 定 的 对 应 规 则 是和 复 数 集设 有 复 平 面 上 的 点 集 , , , : , , , , G GzzfwwG zfG zfwzfwzf Gf wGfz G fGG 定 义 1 可 以 利 用 二 元 实 函 数 的 极 限 ， 连

5、 续 等 概 念 来 定义 复 变 函 数 的 极 限 ， 连 续 。 ),(),(lim)(lim ),(),( 000 yxivyxuzf yxyxzz 极 限例 如 ： ),(),(lim ),(),(lim )()(lim ,(),(),( )( 00),(),( 00),(),(0 000 00000 yxvyxv yxuyxuzfzf yxyxvyxuzzf yxyx yxyxzz （）（ ） 连 续在，连 续在因 此 ， 复 变 函 数 具 有 与 实 函 数 类 似 的 关 于 极 限，连 续 的 性 质 。 因 此 ， 复 变 函 数 具 有 与 实 函 数 类 似 的 关

6、于 极 限 ，连 续 的 性 质 。 但 连 续 函 数 在 闭 区 域 上 的 最 大 (小 )值 应 理 解 为 连 续 的 复 变 函 数 模 的 最 大 (小 )值 定 理 . zzz xyxy arglim,arglim arg 0000 为在 负 实 轴 上 不 连 续 ， 因 三 . 复 变 函 数 的 导 数 0 00 0 0 00 00 00 0 limdd , , limlim ,zz zfzfzwzf zzf zzf zwzz zfzfzzfw zzzz zzz 记 作的在 其 极 限 值 称 为可 导在则 称存 在果 极 限 如的 某 邻 域 内 有 定 义在设 函 数

7、 导 数定 义 2 . ,内 可 导D在zf Dzf称 则内 每 一 点 都 可 导在 区 域如 果例 1. 求 f(z)=zn, (n 为 正 整 数 ) 的 导 数 .解 z zzz z zfzzfzf nnz z 0 0lim lim 1 12210lim n nnnnznz zzzCnz 1 nn nzz 的 连 续 性 与 可 导 性 。讨 论 zzf )( 在 复 平 面 处 处 连 续解 iyxzzf )( yix yixzz z zzzz zfzzf yxz zz )0,0(),(0 00 limlim lim lim 1limlim 000 yi yiyix yix yyx而

8、 1limlim 000 xxyix yix xxy 例 2 。在 复 平 面 上 处 处 不 可 导不 存 在 ， 因 而 zzf yix yixz zfzzf yxz )0,0(),(0 lim lim可 导 必 连 续 ,连 续 不 一 定 可 导 复 合 函 数 求 导 法 则 : ;,0)1( 为 复 常 数其 中 CC ;)2( 1 nn nzz ;)4( zgzfzgzfzgzf ;)3( zgzfzgzf ;0,)5( 2 zgzg zgzfzfzgzg zf ;,)6( zgwzgwfzgf 其 中 .0, ,1)7( wwzf 且数 的 单 值 函 数 其 中 与 为 两

9、个 互 为 反 函 极 限 。 对 应 于 二 元 实 函 数 的函 数 导 数 定 义 中 的 极 限 函 数 的 极 限 ， 而 复 变定 义 中 的 极 限 是 一 元 实 因 为 一 元 实 函 数 导 数本 质 上 有 很 大 的 不 同 。 然 形 式 上 一 样 ， 但 在实 函 数 的 导 数 定 义 ， 虽 数 的 导 数 定 义 与 一 元需 要 注 意 的 是 ， 复 变 函 ., . , ;, , 00 0 0 奇 点解 析 函 数 在 D内 解 析解 析 点解 析z在 0 的为那 末 称不 解 析在如 果 内 的 一 个是或 称 则 称内 处 处 解 析在若 的是或

10、称则 称 导及 其 某 个 邻 域 内 处 处 可在如 果 函 数 zfzzzf Dzf zfDzf zfzzf zzf定 义 3 内 可 导在 区 域内 解 析在 区 域 DzfDzf )()( 两 个 解 析 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 (除 去 分 母为 零 的 点 )都 是 解 析 函 数 ,解 析 函 数 的 复 合 函数 、 反 函 数 (单 值 )仍 是 解 析 函 数 . .limlim )( 0000 0 存 在可 导 ， 即 极 限在设 z zfzzfzw zzf zz z zfzzf xzyz xz 000lim 0,0时 ， 有 沿 实 轴 趋 于 零 ，

11、即当 xvixu x yxivyxuyxxivyxxux 000000000 ,lim 0,0时 ， 有 沿 虚 轴 趋 于 零 ， 即当 yizxz yuiyv yi yxivyxuyyxivyyxu z zfzzfyyiz 00000000000 000 ,limlim yuiyv xvixu yuxv yvxu柯 西 黎 曼 (Cauchy-Riemann)方 程 处 处 不 可 导 。，中如 例 yuxvyvxuyvxvyuxu yyxvxyxuiyxzzf ,1,0,0,1 ),(,),(,)( 2以 上 得 出 函 数 在 一 点 解 析 的 必 要 条 件 是 它 满 足C-R方

12、 程 ， 反 过 来 ？例 3 0),(,),( ,ImRe)( yxvxyyxu xyzzzf证 ： 条 件 ， 但 不 可 导 。 满 足在证 明 ： 0ImRe)( RCzzzzf )0,0(0)0,0(),0(lim)0,0( )0,0(0)0,0()0,(lim)0,0( 00 xyy yxx vy uyuu vx uxuu .条 件满 足 RC kikxkixkz fzf xxkyz xxkiz 1)1( )(lim0lim )0( 200)1( 趋 于 零 时 ， 有沿但 当 不 存 在z fzfz 0lim0 不 可 导 。在 0)( zzf xyyx vuvu RCyxz D

13、yxvyxu Dyxvyxuzf , :,i ,: ,i,00 方 程而 且 满 足可 微 内 任 一 点在和充 要 条 件 是 上 解 析 的在函 数定 理 1 yuyvxvxuzf ii 且 ) ( )()( ,)( 12 21 2100 210 yx yaxbiyxybxa yixiyixiba viuzfzzf yixziibazf 则 ，设 )0lim( )(lim)( )( 0 000 0000 0 z z zzzfzfzzf z zfzzfzf zzf其 中 可 导 ， 即 有在必 要 性 ） 设证 0)()(lim ,0)()(lim 22 1200 22 2100 12 21

14、 yx yx yx yx yxyaxbv yxybxauyx yx 而 前 已 证 得 。条 件 处 满 足在且 处 可 微在 点所 以 , ),(),(),( ),(),(),( 00 00RC yxyxvyxu yxyxvyxu 处 可 微在 点充 分 性 ） ),(),(),( 00 yxyxvyxu yix viuzw yxoyvxvv yxoyuxuu yx yx )()( )()( 22 22yix yxoyvxviyxoyuxu yxyx )()()()( 2222 yix yxoyixivu yix yxoyuxviyvxu xx xxxxRC )()()( )()() 22

15、22（条 件 xxz ivuzw 0lim .)( 0 可 导在 zzf一 般 用 验 证 偏 导 数 连 续 来 代 替 验 证 函 数 可 微 。 )sin(cos)(1 yiyezf x ）（ 解 析 ？可 导 ？ 何 处判 断 下 列 函 数 何 处 )()sin(cos)( )( zfyiyeivuzf zf xxx 解 析 ， 且处 处在 复 平 面 上 处 处 可 导 ， 例 4解 条 件 ，且 满 足在 复 平 面 上 处 处 连 续 ， ， 而RCyevyev yeuyeu yeyxvyeyxu x yxx xyxx xx cos,sin ,sin,cos sin),(,co

16、s),( ixyyxzf )(2）（ 条 件时 满 足 但 仅 在在 复 平 面 上 处 处 连 续 ， 而RCyx vvuu xvyvuu xyyxvyxyxu yxyx yxyx 1,1 , ,1,1 ),(,),(解 . 1)( 不 解 析处 处 处 可 导 ， 在 复 平 面 上在 izzf iyxzf 2)(3）（ 条 件上 满 足但 仅 在 直 线 在 复 平 面 上 处 处 连 续 ， 而 RCxvvuu vvuxu yyxvxyxu yxyx yxyx 21, 1,0,0,2 ),(,),( 2解 . 21)( 不 解 析处 处 可 导 ， 在 复 平 面 上上在 直 线 xz

17、f 。求的 虚 部已 知 解 析 函 数 )(,)( 22 zfyx yvzf )()( 2 )( 2 22222 222 xgyx xdyyx xyu yx xyvu xy zCyx iyxCivuzf Cxgxg yx yxv xgyx yxu yx 1)( )(,0)( )( )()( 22222 22 222 22 解例 5 三 初 等 函 数1. 指 数 函 数 )sin(cos yiyeew xz zzzikz zzzzzzzz zxz eeee eeeeee kyArgeee )()4( )3( ,)2( 2,1 2 21212121处 处 解 析 ， 且 有周 期 性 ：）（

18、性 质 ： 复 变 函 数 中 无 中 值 定 理公 式实 指 数 函 数）注 ： 0)(,0)2( )(sincos0 )(01( zzxz iyx eeee Euleryiyewx ewy 2. 对 数 函 数 )2i(arglniArglnLn kzzzzzw )Arg,lnln2, , .( zvzrukver reerezivuwez u iivuiw 则，设 反 函 数的对 数 函 数 为 指 数 函 数 ),2,1(2lnLn Lnarglnln lnLnarg .)Ln(Ln1 kikzz zzizz zzz Argzz kz k 的 主 值 支 ， 即的 主 值 ， 记 为时

19、 ， 相 应 的 对 数 称 为 取 主 值当， 记 为可 确 定 的 一 个 单 值 分 支 ，于 每 个 固 定 的为 无 穷 多 值 函 数 。 对 应）注 ： （ ikik ii xx )12(2)1ln()1(Ln )1arg(1ln)1ln()3( )0(ln2 如 在 复 变 函 数 中 不 成 立 。“ 负 数 无 对 数 ” 的 说 法 实 对 数 函 数正 实 数 的 对 数 主 值 就 是）（ ) LnLnLn,LnLn)(Ln1 21212121（ 理 解 为 二 集 合 相 等运 算 性 质 同 实 对 数 ：）（ 性 质 ： zzzzzzzz .lnLn )111l

20、n(lnarg arglim,arglimln( Ln )2( 00 有 相 同 的 导 数 值点 处 解 析 ， 且 与 负 实 轴 外 的 其 它的 各 个 分 支 在 除 原 点 与）（）（ 其 它 点 处 解 析在 除 原 点 与 负 实 轴 外 的 ）除 原 点 与 负 实 轴 外 连 续除 原 点 外 连 续 ， 其 它 点 处 连 续在 除 原 点 与 负 实 轴 外 的 解 析 性 ： zz zeezz z zzzz ww yy .)2( ,25)(Ln 的 值并 计 算 此 时 一 个 分 支 ， 使求 iw iiwzw i iiiiw k iki kiiiiw kzizzw

21、 232ln )2)2(arg(2ln)2( 1 25)22( )2(argln)( )2(arglnLn 解 例 6 ）（ 错 误 。 ）证 ： （命 题 ： 对 悖 论 ）在 ： （指 出 下 列 论 断 的 错 误 所 )12(argln)Ln(- )2(arglnLn .Ln)(Ln Ln2)(Ln2Ln)(Ln )(1 .Ln)(Ln,0 Bernoulli22 22 kzizz kzizz zz zzzz zz zzz 思 考 题 ： 3.幂 函 数 为 复 数 ）（ ,0(),2,1,0 ee )i2(ln)iArg(lnLn zk ezw kzzzz 有 无 穷 多 值对 其

22、他 的 次 方 根的时 ， 即 为为 正 整 数特 别 ， 当 个 值时 的取 ） 时 ，互 质（当 为 有 理 数 次 幂的为 正 整 数 时 ， 即 为特 别 ， 当 单 值为 整 数 时 ，当）性 质 ： （ z nznn qqkez qqpqp zzqpkzqpzqp z, )(1 1,2,1,0,e 0, e1 i2lnLn ln 的 主 值称 为相 应 的时取 主 值）（ zezzz zln,lnLn2 1)( Ln)3( zz zz 处 解 析 ， 且 有点 与 负 实 轴 外 的 其 它 点 的 各 个 单 值 分 支 在 除 原的 各 个 单 值 分 支 ，对 应 于解 析

23、性 ： 2i)2(1(1 i ）计 算 （ ),2,1,0 ei2 ),2,1,0 e1)1( i)212(2 )(iArg(ln222 )12(i)12( )1(iArg1(ln)1( kee keee k iiLni kki iiLni （）（ （）（ 解 例 7 4.三 角 函 数 2eecos 2ie-esin i-i -ii zz zzzz 无 界时 如不 成 立）（ 且在 复 平 面 上 处 处 解 析 ，）（ 为 奇 函 数为 偶 函 数）（ 为 周 期以）（性 质 zz iyy zz zzzz zz zz zz yyyycos,sin 2e2 eecos 0 .1cos,1si

24、n4 sin)(cos,cos)(sin cos,sin3 ;sin,cos2 ;2cos,sin1 四 解 析 函 数 与 调 和 函 数内 的 调 和 函 数 。 ， 则 称 为方 程 ：且 满 足 ，内 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数在 区 域若 二 元 实 函 数D yxyxLapLace Dyx ),(0 ),( 2222 4定 理 内 的 调 和 函 数 。都 是与 虚 部则 它 的 实 部 内 解 析 ，在 区 域若 函 数 Dyxvyxu Dyxivyxuzf ),(),( ),(),()( 的 共 轭 调 和 函 数 。为 实 部虚 部 内 解 析 ， 则 称在 区 域若

25、 函 数 ),(),( ),(),()( yxuyxv Dyxivyxuzf .1)()( ),(),( 22 iifivuzf yxvxyyxyxu 满 足并 使 解 析 函 数 的 共 轭 调 和 函 数求 Cxyxyv Cxxxx 22 221212 21)()( 解 例 8 CiziCiziz Cxyxyixyyxivuzf 222 2222 )21(2 )21212()( xyxyxyuv xyxyvyxuv yx xy 2)(22 )(2122 2 2)21()(21 21)( izizfCiif 习 题 三 P.20-21 1. (2), (3); 2. (3); 3. (2); 5.(2)(3); 6.; 7. (3), (4); 8. (1), (4), (5); 9.; 11. (1), (3).12