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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页判别一个函数fx在ab上是否可积就是判别 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理9.1 (可积必有界）可积必有界）若函数若函数 在在 上可积，则上可积，则 在在 上必有界上必有界.证证 设设由定义由定义,对对于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是矛盾矛盾.以下例子告诉我们以下例子告
2、诉我们,有界性并不是可积的充分条有界性并不是可积的充分条件件.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页称为称为 f 关于分割关于分割 T 的上和的上和,其中其中称为称为 f 关于分割关于分割 T 的下和的下和,其中其中对任意分割对任意分割定义定义2返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理9.3（可积准则）（可积准则）函数函数 f 在在a,b上可积的充要上可积的充要条件是：条件是：此定理将在本章第六节定理此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明中证明.在用它在用它振幅反映了函数在区间内的变化范围振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连是一个与连续性相关联的概念续性相
3、关联的概念.证明可积性问题时证明可积性问题时,有多种方法可使有多种方法可使返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页常见的有三种方法常见的有三种方法,下面分别作出介绍下面分别作出介绍.每个每个，从而，从而第一种方法第一种方法:定理定理9.4（连续必可积）（连续必可积）连续，则可积连续，则可积.若若连续连续,从而从而一致连续一致连续.于于证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而从而因此当因此当返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第二种方法第二种方法:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理9.5（单调必可积）（单调必可积）证证 不妨设不妨设是非常
4、值的增函数，则对任意分割是非常值的增函数，则对任意分割于是于是因此因此,若若返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第三种方法第三种方法:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）（有限个间断点的有界函数必可积）若若有界有界,且只有有限多个不连续点，且只有有限多个不连续点，此时可用第三种方法证明此时可用第三种方法证明 f 可积可积.f 在在 a,b 上可积上可积.只有一个间断点只有一个间断点,且为且为 b.证证 不妨设不妨设返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页使使则存在分割则存在分割返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令令则则
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