大学物理 真空中的静电场

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1、第九章 真空中的静电场选择题B 1 （基础训练1）图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线 密度分别为+ （xVO）和一（x0），则Oxy坐标平面上点（0, a）处的场强E为九.y J1(0, a)(A) 0九亍 (O i4兀 a0(B) 2 i 2兀 a0九C J(D)、+ j 丿.4兀 a0+九-九O【提示】左侧与右侧半无限长带电直线在（0, a）处产生的场强大小E+、E大小为:十_厂厂1九E E ，方向如图。+-2 2ks a0矢量叠加后，合场强大小为：厂九E ，方向如图。合 2ks a0B 2（基础训练 2） 半径为 R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场

2、强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为:【提示】由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r，高度为L）为高斯面。据 Guass 定理：0r R 时，有：E扌兀rL= Pf L，即:0:C 3（基础训练3）如图所示，一个电荷为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于：q（A）（B）6s0q12T0(C)q24S0(D)q48s0【提示】添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A处于大立方体的中心。则大立 方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss定理知，通过该高斯面的电通量为。再据对称性可知，通过侧面abed的电场强度通量等于 s0q24T0D

3、 4 （基础训练6）在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ，则 M 点的电势为(B) q8兀s a0q(D)8兀s a0+q_Paa【提示】Vm J即=石s?严二孟00:B 5 （自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R、带电荷 （Q,外球面半径为R、带有电荷Q .设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r处的 P点的电势u为：22(A)Q + Q1 24兀s r0(B)Q , Q+ 24兀s R4兀s R0 1 0 2(C) 0(D)Qi4兀s R01提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。:C 6 （自测提高10）如图所

4、示，在真空中半径分别为R和 2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q和一3q.今将一电荷 为+q的带电粒子从内球面处由静止释放，贝y该粒子到达外球面时的动 能为：(A)Qq4兀s R0Qq(B)2兀s R0Qq(C)8兀s R03Qq(D)8兀s R0提示】：静电力做功QU二Q（V V ）等于动能的增加。其中：ABA B3 q _ q V _ q , 3q8 兀 sR b0V二纟+a 4兀s R 4兀s2R 00 代上即得结果。2q+4兀s - 2 R 4兀s - 2 R8兀s R000二填空题1 （基础训练12）如图所示，真空中两个正点电荷Q相距2R.若 以其中一点电荷所在处O点为中心

5、，以R为半径作高斯球面S，则通过该 球面的电场强度通量=Q /0 ；若以r0表示高斯面外法线方向的单位矢 量，则高斯面上a、b两点的电场强度分别为0； 5Qr / （18兀w R2）.00【提示】直接由高斯定理和场强叠加原理得到。2（基础训练 13） 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密 度分别为+ b和+2b，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：Ea =3o，Eb =20g3o2s EC 2s0 0.（设方向向右为正）.+G +2gIIABC提示】： A、 B、 C 三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域 独自产生场强的矢量叠加。3 （基础训练15）真空中电

6、荷分别为qx和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统 的相互作用电势能W= qiq2。（设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零）。4兀s r0【提示】根据电势能的定义，即将和q2的两个点电荷从该位置移至无穷远处电场力所做功。pL I1 :4 （基础训练17） AC为一根长为21的带电细棒，左半部均 匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为一九和 +九，如图所示。O点在棒的延长线上，距A端的距离为1. P点 在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为1.以棒的中点B为电势 九.3的零点。则O点电势U= 1- ； P点电势U = _0_ .4兀s40【提示】 根据对称性及电势叠加原理，

7、易知P点电势为0, O点 21dx . 31 Mx电势为：1 4兀s x 21 4兀s x005（自测提高17） 一均匀静电场，电场强度E =（4001 + 600j） V *m-i，则点 a（3,2）和点 b（l,0）之间的电势差Uab=-2X103 V _.（点的坐标x,y以米计）。【提示】U =fbEd1 =f（1,0）（400i + 600j）（dxi + dyj）=卜） 400dx + 600dy = 2X103 V ab a 口（3,2）（3,2）6（自测提高18）真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q如图所示。厂设无穷远处为电势零点，则圆心0点处的电势U=Q2,若将一带电量为q

8、的t-O 点电荷从无穷远处移到圆心0点，则电场力做功A= - qQ /（4兀s 0R ）。【提示】由电势叠加原理求得O点电势，而电场力做的功等于电势能的减少。三 计算题1 （基础训练 18） 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 k四分之一圆弧AB的半径为R,试求圆心O点的场强.解】:在 O 点建立坐标系如图所示。半无限长直线A在O点产生的场强:半无限长直线B在O点产生的场强:四分之一圆弧段在 O 点产生的场强：由场强叠加原理, O 点合场强为:2 （基础训练20）真空中一立方体形的高斯面，边长a = 0.1 m，位于图中所示位置.已知空间 的场强分布为：E =bx

9、 , E =0 , E =0.常量b=1000 N/（Cm）.试求通过该高斯面的电通量.xyz【解】通过x=a处平面1的电场强度通量 1 = -E S= -b a3通过 x= 2a 处平面 2 的电场强度通量=ES = 2b a32 2 2其它平面的电场强度通量都为零因而通过该高斯面的总电场强度通量为= 1+ 2= 2b a3-b a3= b a3 =1 Nm2/C3（基础训练21）带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为心兀sin,式中兀为一常数, 0为半径R与x轴所成的夹角，如图所示.试求环心O处的电场强度.解】：在处取电荷元，其电荷为它在O点产生的场强为dq =Xdl = X0Rsin

10、 d在 x、y 轴上的二个分量d q 九 sin d d E = o4兀w R 24兀w Roo对各分量分别求和：dEx=dEcosdEy=dEsinIK sin cos d =0004兀w R0九 f丄丄九= o J K sin 2 d 二一o4兀w R o8e R00 九 -E二E i +E j 二一j x /8w R04 （基础训练23）如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A 点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此 过程中电场力所作的功【解】用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 U = p r /U兀w

11、r3 丿0式中 r 为从电偶极子中心到场点的矢径于是知：A、B两点电势分别为/U 二-p /U冗w R2U 二 p / Q 冗w R 2 丿B0q从A移到B电场力作功（与路径无关）为/A 二 q（U - U ）= qp /2冗w R2A B05 (基础训练24)图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为3,球层内表面半径为R,外 表面半径为R2设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势.【解】：由高斯定理可知空腔内E=0,故带电球层的空腔是等势区, 各点电势均为U。在球层内取半径为r-r+dr的薄球层.其电荷为dq = p 4 冗 r2dr该薄层电荷在球心处产生的电势为、d U = d q /(

12、4兀w r)= pr d r / & 00 整个带电球层在球心处产生的电势为U =J d U =f R2 r d r = C? 2 - R 2)00 w R2w2 10 1 0因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为U = U =。2 - R 2 )02w 21若根据电势定义U = f Ed 1计算，也可。6 (基础训练25)图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为尢 =XQ (x-a)，尢0为一常量.取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势.【解】：在任意位置x处取长度元dx,其上带有电荷dq=XQ (xa)dx, 它在 O 点产生的电势 C )九 x - a

13、)d xd U = oO 点总电势九U = J dU = o4兀w0九,_ a +1=0l 一 aln4兀w_a _Ja+l d x -aJa+l 空07 (基础训练26) 一球体内均匀分布着电荷体密度为p的正电荷，若保 持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体，球心为0，两球心 间距离OO = d，如图所示.求:在球形空腔内，球心O处的电场强度E0. 在球体内P点处的电场强度E.设O、o、P三点在同一直径上，且 OP = d。【解】：挖去电荷体密度为p的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场,而另 在挖去处放上电荷体密度为一P的同样大小的球体，求出电场E2,并令任意点的场

14、强为此二者 的叠加，即可得：= E +E012在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S,可求出o与p处场强的大小。有：J E - d S = E - 4 兀 d 2 =S 11w0Eio=Eip= Ei = 3T d0方向分别如图所示。图(a)图(c)图(d)在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在O点E2=0.又以O为心，2d为半径作球面为高 斯面S可求得P点场强E2pf： E - d S = E - 4 兀(2 d )2 = 4 兀 r 3(-p )/(3s )E2P12s d 200(1)求O点的场强Eo.由图(a)、(b)可得EO =E1O方向如图(c)所示。(2)求 P点的场强Ep.由图(a)、(b)可得E = E + EP1P2 P3S 0 I、 d-二4d 2丿方向如(d )图所示.8(基础训练 27) 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面0.10 m.已知两者的电势差为450 V,求内球面上所带的电荷.半径分别为R1 = 0.03 m和R2=【解】设内球上所带电荷为Q,则两球间的电场强度的大小为Q两球的电势差E 二4兀s r 20U =fR2 E d r = -12 R4 兀s10(R1r l4，有H0，显然与静电场的环路定理相矛盾，说明假设错误。因此，这种静电场不可能存在。