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1、2.3.3等比数列的前n项和 目标导航预习引导 目标导航预习引导预习交流1若等比数列an的公比为q,求其前n项和时要注意什么?提示:应讨论q=1还是q1.预习交流2若一个数列是等比数列,它的前n项和写成S n=Aqn+B(q1),则A与B有何关系?提示:A+B=0, 目标导航预习引导 目标导航预习引导预习交流3什么样的数列可采用“错位相减法”求前n项和?提示:如果数列an是等差数列,数列bn是公比不为1的等比数列,则数列a nbn的前n项和可用“错位相减法”求解. 目标导航预习引导预习交流4(1)等比数列an的首项a1=1,公比q=2,则S6=.答案:63提示:S6= =26-1=64-1=6
2、3.(2)设首项为a的数列an既是等差数列,又是等比数列,则此数列的前n项和为.答案:na提示:由题意,此数列公比为1,所以S n=na.提示:2- 一二三一、等比数列前n项和公式及应用活动与探究例1在等比数列an中,(1)S2=30,S3=155,求Sn;(2)a1+a3=10,a4+a6= ,求S5.思路分析:根据条件列方程组,然后再求所要求的量. 一二三 一二三迁移与应用1.等比数列an的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是.答案:211解析: a1=81,a5=16, 一二三 一二三名师点津1.已知a1,an,n或a1,q,n可求得等比数列的前n项和.2.在a1,a
3、n,q,n,Sn五个量中已知其中三个量,可以求得其余两个量.3.在等比数列an中,首项a1与公比q是两个最基本的元素;有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)利用等比数列的有关性质;(3)注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1. 一二三二、等比数列前n项和的性质及应用活动与探究例2各项均为正数的等比数列an中,若S10=10,S20=30,求S30.思路分析:可以利用解方程组处理,也可以利用等比数列的前n项和的性质来解决.解:解法一:设an的公比为q,显然q1. 一二三 一二三 一二三2.等比数列an中,已知a1
4、=1,且an共有偶数项,若其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则公比q=,共有项.答案:28解析:设项数为2k(k N*),则(a1+a3+a5+a2k-1)q=a2+a4+a6+a2k.又a 1=1, S2k=22k-1,即22k-1=170+85. k=4,即共有8项. 一二三名师点津1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,求“基本量”是常见的解题思路,但有时灵活运用性质,可使运算变得简便.2.由于等比数列中,无论是通项公式还是前n项和公式,均与q的若干次幂有关,所以在解决等比数列问题时,经常出现高次方程,为达到降幂的目的,在解方程组时经常利用两式相除,达到整体消元的目的. 一二三三
5、、数列求和问题活动与探究例3求和Sn=x+2x2+3x3+nxn.思路分析:讨论x的取值,根据x的取值情况,选择恰当方法. 一二三 一二三迁移与应用1.数列(-1)nn的前n项和为Sn,则S2014等于.答案:1007解析:S2014=-1+2-3+4+(-2013)+2014=(-1+2)+(-3+4)+(-2013+2014)=1007. 一二三 一二三3.已知数列an是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=2nan,求数列bn的前n项和Sn.解:(1)设公差为d,由已知a1=2,a1+a2+a3=3a1+3d=12得d=2, an=a1+
6、(n-1)d=2n.(2)bn=2nan=2n2n. Sn=221+422+623+2n2n,2S n=222+423+624+2n2n+1.将错位相减得,-Sn=2(21+22+23+2n)-2n2n+1=4(2n-1)-2n2n+1, Sn=(n-1)2n+2+4. 一二三名师点津1.一般地,若数列an是等差数列,bn是等比数列且公比为q,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法.2.运用等比数列前n项和公式时,必须注意公比q是否为1,若不能确定公比q是否为1,应分类讨论.3.在写Sn和qSn表达式时,应特别注意“错项对齐”,以便于下一步准确写出S n.4.分组求和法,它适用通项由两部
7、分组成,并且能拆分成一个等差数列和一个等比数列和的形式的数列求和. 2 3 4 51 61.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于()A.31 B.33 C.35 D.37答案:B解析: S5=1, 2 3 4 51 6 2 3 4 51 6 2 3 4 51 64.数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n-1,的前n项和为.答案:2n+1-n-2解析:根据等比数列的求和公式得an=2n-1,则S n=(2+22+2n)-n=2n+1-n-2. 2 3 4 51 65.在等比数列an中,前n项和Sn=3n+1+r,求r.解:当n2时,an=Sn-Sn-1=3n+1+r-(3n+r) 2 3 41 5 66.求数列n3n的前n项和Sn.解:Sn=3+232+333+n3n.3Sn=32+233+334+(n-1)3n+n3n+1.由-,得2Sn=n3n+1-(3+32+33+3n),
高中数学 第2章 数列 2.3.3 等比数列的前n项和课件 苏教版必修5
