一阶系统的数学模型

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1、其 闭 环 传 递 函 数 为 ： 11111)( )()( TssR sYs KssKsK式 中 ， ， 称 为 时 间 常 数 ， 开 环 放 大 系 数 越 大 ， 时 间常 数 越 小 。 KT 1 由 一 阶 微 分 方 程 描 述 的 系 统 称 为 一 阶 系 统 。 其 传 递 函 数是 s的 一 次 有 理 分 式 。 一 阶 系 统 的 微 分 方 程 为 ： )(sY- sK)(sE)(sR典 型 的 一 阶 系 统 的 结 构 图 如 图 所 示 。)()()( trtydttdyT 3.2.1 一 阶 系 统 的 数 学 模 型 n 单 位 脉 冲 信 号 与 单 位

2、 阶 跃 信 号 的 一 阶 导 数 、 单 位 斜 坡 信号 的 二 阶 导 数 和 单 位 加 速 度 信 号 的 三 阶 导 数 相 等 。n 单 位 脉 冲 响 应 与 单 位 阶 跃 响 应 的 一 阶 导 数 、 单 位 斜 坡 响应 的 二 阶 导 数 和 单 位 加 速 度 响 应 的 三 阶 导 数 也 相 等 。3.2.5 一 阶 系 统 的 单 位 加 速 度 响 应 线 性 系 统 的 特 点 开 环 传 递 函 数 为 : sssG nn2)( 2 2闭 环 传 递 函 数 为 : 22 22)(1 )()( nnn sssGsGs )2( 2 nnss )(sR )

3、(sY-典 型 结 构 的 二 阶 系 统 如 右 图 所 示 ： 由 二 阶 微 分 方 程 描 述 的 系 统 称 为 二 阶 系 统 。 它 在 控 制 工 程中 的 应 用 极 为 广 泛 。 许 多 高 阶 系 统 在 一 定 的 条 件 下 ， 也 可 简化 为 二 阶 系 统 来 研 究 。典 型 二 阶 系 统 的 微 分 方 程 ： 0)()(2)(222 ttrtydtdyTdt tydT ， 3.3.1 典 型 二 阶 系 统 的 数 学 模 型 称 为 典 型 二 阶 系 统 的 传 递 函 数 ， 称 为 阻 尼 系 数 ， 称为 无 阻 尼 振 荡 圆 频 率 或

4、自 然 频 率 。 这 两 个 参 数 称 为 二 阶 系 统 特征 参 数 。 T称 为 二 阶 系 统 的 时 间 常 数 。 )(s n 1212)(1 )()( 2222 2 TssTsssGsGs nnn 122,1 nnp其 特 征 根 为 ：二 阶 系 统 的 特 征 方 程 为 ： 02 22 nnss 注 意 ： 当 不 同 时 ， 特 征 根 有 不 同 的 形 式 ， 系 统 的 阶 跃 响应 形 式 也 不 同 。 它 的 阶 跃 响 应 有 振 荡 和 非 振 荡 两 种 情 况 。 当 时 ， 特 征 方 程 有 一 对 共 轭 的 虚 根 ， 称 为 零(无 )阻

5、 尼 系 统 ， 系 统 的 阶 跃 响 应 为 持 续 的 等 幅 振 荡 。0 当 时 ， 特 征 方 程 有 一 对 实 部 为 负 的 共 轭 复根 ， 称 为 欠 阻 尼 系 统 ， 系 统 的 阶 跃 响 应 为 衰 减 的 振 荡 过 程 。10 当 时 ， 特 征 方 程 有 一 对 相 等 的 实 根 ， 称 为 临 界阻 尼 系 统 ， 系 统 的 阶 跃 响 应 为 非 振 荡 过 程 。1 当 时 ， 特 征 方 程 有 一 对 不 等 的 实 根 ， 称 为 过 阻尼 系 统 ， 系 统 的 阶 跃 响 应 为 非 振 荡 过 程 。1 122,1 nnp 阻 尼 系

6、 数 、 特 征 根 、 极 点 分 布 和 单 位 阶 跃 响 应 形 式 如 下 表所 示 ： 单 位 阶 跃 响 应极 点 位 置特 征 根阻 尼 系 数 单 调 上 升两 个 互 异 负 实 根 单 调 上 升一 对 负 实 重 根 衰 减 振 荡一 对 共 轭 复 根 (左半 平 面 ） 等 幅 周 期 振 荡一 对 共 轭 虚 根 无 阻 尼,0 njs 2,1欠 阻 尼,1o 2 2,1 1 nn js临 界 阻 尼，1 )(2,1 重 根ns 过 阻 尼，1 122,1 nns 3.3.3 典 型 二 阶 系 统 的 性 能 指 标 （ 衰 减 振 荡 瞬 态 过 程 ） 最

7、大 超 调 量 % %100% 21 e2、 调 节 时 间 ：st 时当 时当 5 2,3 ,4 nnst 例 有 一 位 置 随 动 系 统 ， 其 方 块 图 如 图 所 示 。 其 中 K=4， T=1。试 求 ： (1) 该 系 统 的 无 阻 尼 振 荡 频 率 n； (2)系 统 的 阻 尼 系 数 ；(3)系 统 超 调 量 %和 和 调 整 时 间 ts； （ 4） 如 果 要 求 0.707， 在不 改 变 时 间 常 数 T的 情 况 下 ， 应 怎 样 改 变 系 统 开 环 放 大 系 数 K。 解 ： 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 为 : ,441)( )()

8、( 22 ssTKsTs TKsR sYs 22 22)( )()( nnn sssR sYs 441)( )()( 22 ssTKsTs TKsR sYs 22 22)( )()( nnn sssR sYs 21/4/ TKn 25.02/1 n %4.44%100% 21/ e 8/4 nst （ 4） 当 要 求 在 0.707时 ， n=1/2= 0.707， 则 K n2=0.5。可 见 要 满 足 二 阶 工 程 最 佳 参 数 的 要 求 （ 该 例 中 为 增 加 阻 尼系 数 ） ， 必 须 降 低 开 环 放 大 系 数 K的 值 。 传 递 函 数 ： )2)(1()(

9、)()( 22 2 nnn ssTssR sYs 2 2 1 nn jp当 0 0或 偶 0。根 据 李 纳 德 -戚 帕 特 判 据 ， 若 系 统 特 征 方 程 式 的 各 项 系 数 中 有 负 或 零 （ 缺 项 ） ，则 系 统 是 不 稳 定 的 。对 于 n 4的 线 性 系 统 ,其 稳 定 的 充 要 条 件 还 可 以 表 示 为 如 下 简 单 形 式 :n=2时 :特 征 方 程 的 各 项 系 数 严 格 为 正 .n=3时 :特 征 方 程 的 各 项 系 数 严 格 为 正 ,且 2 0n=4时 :特 征 方 程 的 各 项 系 数 严 格 为 正 ,且 2 0

10、以 及 2an-1 2an-4/an-3 3.5.3 代 数 稳 定 性 判 据 -胡 尔 维 茨 稳 定 性 判 据 的 另 一 种 形 式李 纳 德 -戚 帕 特 判 据 例 2 设 线 性 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 ： ( 1)( ) ( 1)(2 1)K sG s s Ts s 试 判 断 系 统 稳 定 时 K,T应 满 足 的 条 件 。 根 据 李 纳 德 -戚 帕 特 判 据 ， K0,T0且 解 ： 系 统 特 征 方 程 式 为 1+G(s)H(s)=0 0)1()2(2 0)1()12)(1( 23 KsKsTTs sKsTss )1()1(2 02)1)(

11、2( 012202 KTK TKKT KT KT系 统 稳 定 时 ， 要 求 ： )1()1(2 0,0 KTKKT （ 二 ） 、 劳 斯 判 据 设 线 性 系 统 的 特 征 方 程 为 00111 asasasa nnnn 劳 斯 阵 列 的 前 两 行 元 素 由特 征 方 程 的 系 数 组 成 ， 第一 行 由 特 征 方 程 的 第 一 、三 、 五 、 项 系 数 组 成 ，第 二 行 由 特 征 方 程 的 第 二 、四 、 六 、 项 系 数 组 成 。若 特 征 方 程 有 缺 项 ， 则 该项 系 数 以 零 计 。 劳 斯 阵 如 下 ： 01232 1sssss

12、ssnnnn 1 21 321 321 321 531 42f ee ddd ccc bbb aaa aaa nnn nnn 3.5.3 代 数 稳 定 性 判 据 -劳 斯 稳 定 性 判 据 11 321 321 321 531 42gf ddd ccc bbb aaa aaa nnn nnn 01 4321sssssssnnnnn 以 后 各 项 的 计 算 式 为 ： 1 3211 31 21 n nnnnn nn nn a aaaaa aa aab 1 5411 51 42 n nnnnn nn nn a aaaaa aa aab 1 7611 71 63 n nnnnn nn nn

13、 a aaaaa aa aab 11 321 321 321 531 42gf ddd ccc bbb aaa aaa nnn nnn 01 4321sssssssnnnnn 1 12311 21 311 b ababb bb aac nnnn 1 13511 31 512 b ababb bb aac nnnn 1 14711 41 713 b ababb bb aac nnnn 1 414131 313121 21211 c cbbcdc cbbcdc cbbcd 依 次 类 推 。 可 求 得 ,.)2,1,.(, igfe iii 劳 斯 判 据 ： 系 统 特 征 方 程 具 有 正

14、 实 部 根 的 数 目 与 劳 斯 阵 列 第一 列 元 素 中 符 号 变 化 的 次 数 相 等 。n 根 据 这 个 判 据 可 以 得 出 线 性 系 统 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 为 ：由 系 统 特 征 方 程 系 数 组 成 的 劳 斯 阵 列 的 第 一 列 元 素 没 有 符 号变 化 。n 若 劳 斯 阵 列 第 一 列 元 素 的 符 号 有 变 化 ， 其 变 化 的 次 数 等于 该 特 征 方 程 的 根 在 s右 半 平 面 的 个 数 ， 表 明 相 应 的 线 性 系统 不 稳 定 。 一 . 劳 思 阵 某 一 行 第 一 项 系 数 为 零 ，

15、 而 其 余 系 数 不 全 为 零 。 导 致劳 思 阵 下 一 列 无 法 计 算 。q 处 理 办 法 ： 用 很 小 的 正 数 代 替 零 的 那 一 项 ， 然 后 据 此计 算 出 劳 斯 阵 列 中 的 其 他 项 。 若 第 一 次 零 （ 即 ） 与 其 上 项 或下 项 的 符 号 相 反 ， 计 作 一 次 符 号 变 化 。 3.5.3 代 数 稳 定 性 判 据 -劳 斯 稳 定 性 判 据 的 特 殊 情 况二 .劳 斯 阵 某 行 系 数 全 为 零 的 情 况 。 表 明 特 征 方 程 具 有 大 小 相 等 而 位置 径 向 相 反 的 根 。 至 少 有

16、 下 述 几 种 情 况 之 一 出 现 ， 如 ： 大 小 相 等 ，符 号 相 反 的 一 对 实 根 ， 或 一 对 共 轭 虚 根 ， 或 对 称 于 虚 轴 的 两 对 共 轭复 根 。处 理 办 法 ： 可 将 不 为 零 的 最 后 一 行 的 系 数 组 成 辅 助 方 程 ， 对 此辅 助 方 程 式 对 s求 导 所 得 方 程 的 系 数 代 替 全 零 的 行 。 大 小 相 等 ， 位置 径 向 相 反 的 根 可 以 通 过 求 解 辅 助 方 程 得 到 。 辅 助 方 程 应 为 偶 次数 的 。 例 5： 设 线 性 系 统 特 征 方 程 式 为 ： 4 3

17、 2( ) 2 2 4 5 0D s s s s s 试 判 断 系 统 的 稳 定 性 。 解 ： 建 立 劳 斯 表 ： 01234 50 042 521sssss 若 劳 斯 表 某 行 第 一 列 系 数 为 零 ， 则 劳 斯 表 无 法 计 算 下 去 ，可 以 用 无 穷 小 的 正 数 代 替 0， 接 着 进 行 计 算 ， 劳 斯 判 据 结 论不 变 。 5104 5 042 52101234sssss 由 于 劳 斯 表 中 第 一 列 系 数 有 负 ， 系 统 是 不 稳 定 的 。 例 9系 统 的 特 征 方 程 为 ： 该系 统 稳 定 吗 ？ 0462348

18、242 2345 sssss解 ： 劳 斯 阵 如 下000 46482 23241345sss 行 全 为 零 。 由 前 一 行 系 数 构 成 辅 助 方 程 得 ： 3s 2324)(46482)( 2424 sssQsssQ 或其 导 数 为 ： 将 4， 48或 1， 12代 替 行 ， 可 继 续 排 列 劳 斯 阵 如 下 ：sssQ 484)( 3 3s 0023 0010 02312 0121 23242 23241012345ssssss 劳 斯 阵 第 一 列 系 数 全 为 正 ， 所 以 系 统 稳 定)50(,0 iai 控 制 系 统 的 稳 态 误 差 ： 定

19、 义 ： 误 差 信 号 在 时 间 趋 于 无 穷 大 时 的 数 值 定 义 为 系 统 的 稳 态 误 差 ，记 为 。 即 ： )(te tsse )(lim tee tss 误 差 信 号 包 括 瞬 态 分 量 和 稳 态 分 量 两 部 分 .由 于 系 统必 须 稳 定 ,故 当 时 间 趋 于 无 穷 大 时 ,必 有 瞬 态 分 量 趋 于 零 ,因 而 ,控 制系 统 的 稳 态 误 差 定 义 为 误 差 信 号 的 稳 态 分 量 ( )ess ets sse)(te )(te ets 对 于 稳 定 的 系 统 ， 稳 态 误 差 可 以 借 助 拉 氏 变 换 的

20、 终 值 定 理方 便 的 计 算 出 ： )(lim)(lim 0 ssEtee stss 使 用 上 式 的 条 件 是 有 理 函 数 在 右 半 平 面 和 虚 轴上 必 需 解 析 ， 即 的 全 部 极 点 都 必 需 分 布 在 左 半 平面 （ 包 括 坐 标 原 点 ） 。 )(ssE s)(ssE s )(2 sG)(sH)(sR -)(sB )(sE)(1 sG )()()(1 1)( )()( 21 sHsGsGsR sEsE 给 定 作 用 下 的 误 差 传 递 函 数稳 态 误 差 的 计 算 （ 总 结 ） ：)(sR )(sN )(sC)(2 sG)(1 sG

21、- +)(sE )(sH)(sB 扰 动 作 用 下 的 误 差 传 递 函 数)(1 sG)(2 sG )(sH)(sN + )(sE1 )()()(1 )()()( )()( 21 2 sHsGsG sHsGsN sEsNE 给 定 和 扰 动 同 时 作 用 下 的 误 差 表 达 式)()()()()( sNssRssE NEE )()()(1 )()()()()()(1 )( 21221 sHsGsG sNsHsGsHsGsG sR 对 稳 定 的 系 统 ， 可 利 用 拉 氏 变 换 的 终 值 定 理 计 算 稳 态 误 差)()()(1 )()()(lim)()()(1 )(

22、lim )(lim)(lim 2120210 0 sHsGsG sNsHssGsHsGsG ssR ssEtee ss stss 终 值 定 理 要 求 有 理 函 数 的 所 有 极 点 都 在 s平 面 的 左 半开 平 面 （ 包 括 原 点 ） 。 )(ssE)(sR )(sN )(sC )(2 sG)(1 sG- +)(sE )(sH)(sB 例 2 系 统 方 块 图 如 图 所 示 ， 当输 入 为 单 位 斜 坡 函 数 时 ， 求 系 统 在输 入 信 号 作 用 下 的 稳 态 误 差 ； 调 整K值 能 使 稳 态 误 差 小 于 0.1吗 ？ )12)(1( )15.0

23、( sss sK)(sR )(sY-解 ： 只 有 稳 定 的 系 统 计 算 稳 态 误 差 才 有 意 义 ， 所 以 先 判 稳 ：系 统 特 征 方 程 为 0)5.01(32 23 KsKss由 劳 斯 判 据 知 稳 定 的 条 件 为 ： 60 K )15.0()12)(1( )12)(1()()()(1 1)( )()( 21 sKsss ssssHsGsGsR sEsE 21)( ssR 21)15.0()12)(1( )12)(1()( ssKsss ssssE KssKsss ssssssEe ssss 11)15.0()12)(1( )12)(1(lim)(lim 200 由 稳 定 的 条 件 知 ： 不 能 满 足 的 要 求61sse 1.0sse 典 型 输 入 作 用 下 的 稳 态 误 差上 表 中 ， k为 开 环 放 大 系 数 （ 开 环 传 递 函 数 写 成 时 间 常 数 形 式 时的 开 环 增 益 ） 3.6.2 稳 态 误 差 分 析 典 型 输 入 作 用 下 的 稳 态 误 差 （ 总 结 ）